曹广福版实变函数第一章习题解答
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?.
反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故,
C B A ?-)(?)(C B A --.
最后证，C B A C B A ?-?--)()(
事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而, C B A C B A ?-?--)()(.
A A C
B A
C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?.
反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??-
另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；
如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而
C B A C B A ?-?--)()(
于是，)()(C B A C B A --=?-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
一集列 ，证明：
（i ）)(inf lim )(inf lim x x n n
A n
n
A χχ=
（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n
A n
n
A χχ=
证明：（i ）)(inf lim n n
m N n n n
A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈.
所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0
=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n
m N b A n
χχ
N n A x n n
∈????inf lim ，有n k A x n n n
m ≥????≥
有0)(inf 0=?=??≥x A x m n
k m A n
m A k χχ，故0)(i n f s
u p =≥∈x m
A n
m N b χ ，即)(i n
f lim x n
A n
χ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n n
A n
n
A χχ=
5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(1
1
>?-=-=i A A B j i j i i 证明
（i ）}{n B 互相正交
（ii ）i n
i i n
i B A N n 1
1
,===∈?
证明：（i ）m n N m n ≠∈?,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -?-=-=1
1
，又因
为m m A B ?，所以m n m n n B A A A B -?-?，故 ?=m n B B ，从而 {
∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤?，有i i A B ?，所以i n
i i n
i A B 1
1
==???，现在来证：i n
i i n
i B A 1
1
==???
当n=1时，11B A =；
当1≥n 时，有：i n
i i n
i B A 1
1
===
则)()()()()(1
11
1
111
11
11
i n
i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==
事实上，i n
i A x 1
=?∈?，则)1(n i i ≤≤?使得i A x ∈，令}{n
i A x i i i ≤≤∈=1|min 0且
则 i n
i i i i i i B B A A x 1
11
000=-=?=-∈ ，其中，当10=i 时，?=-=i i i A 11
0 ，从而， i n
i i n
i B A 1
1
===
6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1
)({1n a x f n +≥∞
=
(ii)})(|{a x f x E ≥=}1
)({1n
a x f n ->∞=
证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈?E x ∈?且a x f >)(
}1)(|{1)(,n
a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈?∈>+
≥∈??且使得 ∈?x ?>?+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1
)(|{1n
a x f x E n +≥∞=
反过来，{N n n a x f x x E x n ∈?+≥∈?∞=},1)(|{1 ，使}1
)(|{n a x f x E x +≥∈
即E x a n
a x f ∈>+
≥且1
)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1
)(|{1a x f x E n
a x f x E n >?+≥?∞= 故
}
1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞
=
7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：
}
1
)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞
=
证明：N ∈?≤∈?k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1
)(+
≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈?=∞→，)()(lim ，使n m ≥?，有k
a x f n 1
)(+≤，故
，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥?+≤∈ 所以∈x }1
)(|{k
a x f x E m n m +≤≥
}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1
)(|{inf lim k
a x f x E m n +≤，由k 的任意性：
}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1k
a x f x E x n n k +≤∈?∞= ，
N k ∈?，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1
)(|{k
a x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即
n m N n ≥?∈?，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，k
a x f x f m m 1
)()(lim +≤≤且
E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈
故 })(|{a x f x E ≤=}1
)(|{inf lim 1
k
a x f x E n n k +≤∞
=
8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即
≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n
若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈?，})({})({1a x f E a x f E n n >?=>∞
=
证明： })({a x f E x >∈?，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞
→
所以00,n n N n ≥?∈?，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈
})({1
a x f E n n >?∞
=
反过来，N n a x f E x n n ∈?>∈?∞
=01
},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥?，因此，
a x f x f x f n n n >≥=∞
→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，
从而，})({})({1
a x f E a x f E n n >=>∞
=
10．证明：3
R 中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q 为有理数集，由定理6：Q 是不可数的。
现在证：z y x z y x Q Q Q ,,|),,{(=??}都是有理数可数Q x ∈?，因为Q Q ?
)}({Q
x Q x ?=∈ 是可数个有理数集的并，故可数，
又因为)}({Q Q Q Q
x Q Q x ??=??∈ 并且Q Q Q Q x Q x ???∈?~}{，
，所以Q Q x ??}{可数
故Q Q Q ??可数
14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数
证明： 设Q 为可数集，不妨记为：},,,,,{321 n r r r r Q =
N n ∈?,令}},,,,{|{321n n r r r r a a A ?=则 n A 为有限集（n 2n =A ），则
n A =∈N
n A 为正交可数集，即0n C ≤A
又因为}{A Q
x x Q ?∈|}{~，所以A Q C ≤=0 ，故0C A =
A 是Q 上一切有限子集的全体。
15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：
?==∞
→∞
→n n n n E E lim lim
证明： 因为{ ,,21E E }两两不相交，所以，?=∈?∞
=m n
m E N n ,，故
?=?=∈=∞
=∞=∞=∞
→1
1
)(lim n m n
m n n n E E
另一方面，若?≠=∞
=∞
=∞
→)(lim 1m n
m n n n E E ，我们取n n E x ∞
→∈lim 0
则k n N k k ≥?∈?,，使得k n E x ∈.特别的，当 N k ∈=1时，n E x n ∈≥?有,11，当
11+=n k 时：211221,E x n n k n N n ∈>+=≥∈?，有（)21n n < 从而，21n n E E x ∈
这与?=21n n E E 矛盾，故?=∞
→n n E lim
从而?==∞
→∞
→n n n n E E lim lim
16．若集A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A=}{21 x x a ，而每个指标i x 在一个势为C 的集中变化，则集A 的势为C 。
证明：设i x 在势为C 的集合中变化，即A=∏∞
=∈1
21}),,(|{21i i
x x B x x a
因R B R B i i i i
'→':,~?? 是既单又满的映射， 定义
∏∏∞
=∞
∞=∈=?→1
211
),,(;:i i i i B x x x R B ?,)),(),((),,()(2121 x x x x x ????==
故∞
∞
=∏R
B i i
到是
1
?得既单又满的映射,从而，∞∞
=∏R B
A i i
~~
1
从而 C R A ==∞
17．设n n A ∞
=1 的势是C ，证明至少有一个n A 的势也是C 。
证明：因为n n n A A N n ∞=?∈?1
, ，所以C A A n n n =≤∞
=1
如果C A N n n ≠∈?,，则C A N n n <∈?,，即，n A 正交可数，从而，n n A ∞
=1
正交可数.
这与C A n n =∞
=1
矛盾.
故，N ∈?n ,使C A n =.
18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势C
2 证明：设]}1,0[|{?=A A ，则C 2= 记[0，1]上全体是函数所构成的集合为? 对于 ∈?x ，定义函数
??
??∈=A
x A
x x A .0,1)(χ ,即A χ是集合A 的特征函数。
}{???=]1,0[|A A ? ?≤= C 2
另一方面，?∈?f ，定义 ]}1,0[|))(,{(∈=x x f x B f 则 2R R R B f =??，}|{2R R B B R ??=，则C
R 22
=
}|{~??∈f B f 2R ?，所以 C R 22=≤?，从而，C 2=?
20．证明：n
R 中孤立点集市有限或可数集
证明：E x ∈?中，E 是n
R 的一些孤立点所构成的集合 由定义，0>?x δ，使得}{),(x E x O x = δ.现在令 }|)2
,({E x x O x
∈=δξ，
则ξ中任意二领域是不相交的
事实上，若y x E y x ≠∈?,,，有?≠)2
,
()2
,
(y
x
y x O δδ
取)2
,
()2
,
(y
x
y x O z δδ?∈，并且不失一般性设：y x δδ≤，则
y y
x
y z z x y x δδδρρρ=+
<
+≤2
2
),(),(),(.故 }{)2
,
()2
,
(y y x O x y
x
=∈δδ ，这推出
y x =，这与y x ≠矛盾.
E x ∈?，取一个有限点)2
,
(x
x x O r δ∈，则，当，y x r r y x =?≠,所以}|{~E x r E x ∈，
故ξ≥∈=}|{E x r E x .E 正交可数.
19．设|{0x E R E n
=?，}的内点是E x 称为E 的内点集，证明：0
E 是开集。
证明：0
E x ∈?，因为x 为E 的内点，0>?ε使得：E x x ?+-),(εε，现在证：
),(E x x ?+-εε
事实上，),(εε+-∈?x x y ，取0|y -x |>-=εδ
则E x x y y ?+-?+-),(),(εεεε，故0
E y ∈，从而，0
),(E x x ?+-εε，即0
E 中每个点都是0
E 得内点
因此，0E 为开集
21．假设f(x)是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。 证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的.
令)0()(lim |),[{+=∈=+→'x f x f b a x S x
x 有限}，N ∈?n ，
作：}0|),[{>?∈=δb a x E n ,时，使得),[),(,b a x x x x δδ+-∈'''? 则：（1）),{)(1b a x f E n n 在是∞
= 上连续点的集合
事实上，0,1
0>??∈?∞
=εn n E x ，取)1
(1
εε<>
n
n 即 因n E x ∈0，故),[),(,,000b a x x x x ?+-∈'''?>?δδδ有ε<-|)()(|0x f x f 即，)(x f 在0x 点连续。
（2）n E S N n -∈?,，因)()(lim 0
+→'='+x f x f x
x 有限，故0>?x δ使得
),[),(b a x x x x ?+∈'?δ ，n
x f x f 21
|)()(|0<
-'+，故，),,(,x x x x x δ+∈'''?有n
x f x f 1
|)()(|<
''-'，从而，n x E x x ?+),(δ.现在证：}|),{(n x E S x x x A -∈+=δ 是两两不相交的开区间集
,,2121x x E S x x n ≠-∈?，不妨设 21x x <，如果
?≠++),(),(212211x x x x x x δδ ，取),(),(212211x x x x x x x δδ++∈*
则 1121x x x x x δ+<<<*
即，n x E x x x ?+∈),(2112δ，这与n E S x -∈2矛盾，故A 两两不相交，从而n E S -可数
故)(11
n n n E S S -?=?-∞
=∞
=至多可数。
即，),[b a 中第一类间断点至多可数。 20．证明n
R 中孤立点集是至多可数集
证明：设F 是点集E 中一些孤立点所构成的集合
0,>?∈?x F x δ，有}{),(x E x O x = δ
现在先证：}|)2
,
({F x x O x
∈δ是两两不相交的
事实上，2121,,x x F x x ≠∈?，如果)2
,
()2
,
(2
1
21x
x
x O x O y δδ?∈?，则
),(),(),(2121x y y x x x ρρρ+≤22
1
2
2
x x
x
δδδ≤+
<
（不妨设21x x δδ≤）
，故 }{),(2,212x E x O x x =?∈δ,这与21x x =矛盾.
所以，}|)2
,
({F x x O x
∈δ是两两不相交的.
F x ∈?,取有理点)2
,
(x
x x O r δ∈，故Q F x r F x ?∈}|{~，从而，0C Q F =≤
22．证明：n
R 中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并. 证明：设F 是R '中的一个闭集，先证：0>?δ，),(δF O =R ∈x {|}
),(δρ ),(δF O x ∈?，则δρ<),(F x ，取δρδε<-=),(F x ，故),(δF O ),(δF O ? 事实上，),(εx O t ∈?，所以),(δF O 是开集 现在证：)1 ,(1 n F O F n ∞ == 、 事实上，N n ∈?，)1,(n F O F ?，所以)1 ,(1n F O F n ∞=? . 反过来，)1,(1n F O x n ∞=∈? ，有n F x 1 ),(<ρ.故0),(=F x ρ. F x ?,即F R x -∈.0>?δ，使),(δx O F R -?.所以),(δx O ?=F .故， δρ≥),(F x ，这与0),(=F x ρ矛盾.所以F x ∈，从而)1,(1 n F O F n ∞ == . 再来证：每个开集必是可数个闭集的并. 事实上，若G 是开集，则G R -是闭集.所以存在可数个开集N n n O ∈}{，使得 }{n O G R =-，所以)(}{1 1 n n n n Q R O R G -=-=∞ =∞ = .即G 是可数个闭区间集 ∞=-1)}{(n n Q R 的并. 23.假设∞ =1} {i i I 是一列开区间，如果 ?≠∞=i i I 1 ，证明i i I ∞ =1 是一个开区间 证明：N ∈?i ，记}N ∈=i i |i nf{αα，}N ∈=i i |sup{ββ ，其中),(i i i I βα=， 因为?≠∞ =i n I 1 ，所以可取),(1 0βα?∈∈∞ =i i n I I x 现在我们证：i i I ∞ ==1 ),( βα 因为N i ∈?， ),(),(βαβα?=i i i I ，故),(1 βα?∞ =i i I 反过来，),(βα∈?x ，即βα< =?=∈1),(111 βα. 如果β<≤x x 0， N ∈?2i ，使220i i x x x β<≤<，故i i i i i I I x ∞ =?=∈1 2111),( βα，从而 i i I ∞ ==1 ),( βα 24.设R E '?，}|{A B ∈λλ是E 的一个开覆盖，证明：}|{A B ∈λλ中必存在至 多可数个}|{N ∈i B i λ，使得i B E i λN ∈? . 证明：不妨设}|{A B ∈λλ中每一个元都是开区间.E x ∈?，存在A x ∈λ，有 x B x λ∈，故有：R ?端点的开区间),(R r x x =δ，使得x B x x λδ??.即，i x E x E δ∈? . 又因为}|),({E x R r x x x ∈=δ~Q Q E x R r x x ??∈}|),{( 所以}|{E x x ∈δ可数.不妨设}|{E x x ∈δ=}|{N n x ∈δ，又记=∈}|{E x B n λ }|{N n B n ∈λ.其中，n B n λδ?}(N n ∈? 故n B E n n x λδδN n N E x ∈∈∈?=? 25.已知：可数集},2 1,21,21,1{2 n E =，开区间列)1,1(εε+-，)21,21(εε+-， ),2 1,21(,n n εε+-，覆盖了它，这里21 0<<ε，从此覆盖中能否选出集E 的有限子 覆盖. 答：不能，证明如下： 证明：（反正）如果k n n n ,,21?，N k ∈，使得)2 1,21( 1n n k i E ε ε+-?= （*），不妨设 k n n n <<< 21，因为)1(k i i ≤≤?，121 221 12121+=- >-≥-k k k i n n n n εε，则 121+k n )21,21(1k k n n k i εε+-?= .这与E k n ∈+12 1 矛盾.所以（*）不真. 26.设}|{A F ∈λλ是一簇集合，如果A n ∈?λλλ,,,21 ，有?≠=i F n i λ1 ，则称集 合簇}|{A F ∈λλ具有有限交性质. 证明：如果}|{A F ∈λλ是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么?≠∈λλF A . 证明：取A ∈0λ，令}1),(|{0<∈=λρF x R x G n ，其中=),(0λρF x }|),(inf{0λρF y y x ∈，∑=-= n i i i y x y x 1 2)(),(ρ，则G 是n R 中开集.且G F ?0λ， 如果?=∈λλF A ，则)(0λλλλλF G F G G F A A -=-=?∈∈ . 由Borel 有限覆盖定理（P27 定理9），存在m λλλ,,,21 ，使得?0λF i m i m i F G F G i λλ1 1 )(==-=- .从而，?====i m i i m i F F F λλλ0 1 )(0 ，这与}|{A F ∈λλ具有 有限交性质矛盾. 27.试用Borel 有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass 定理（P24定理4，若E 是是 一个有界无穷点集，则?≠'E ）. 证明：设E 是n R 中的有界无穷点集，如果?='E ，则E x ∈?，0>?x δ，使得 }{),(x E x O x = δ，则),(x E x x O E δ∈? .由Borel 有限覆盖定理，E x x x n ∈?,,,21 ，有),(1 i x i m i x O E δ=? ，从而)],([1 i x i m i x O E E δ== =),(1 i x i m i x O E δ ==}{1 i m i x = = },,,{21n x x x ，这与E 为无穷集矛盾，从而?≠'E . 29.可数个开集的交称为δG 型集，可数个闭集的并称为σF 型集.证明：有理数集不 是δG 型集，但是σF 型集. 证明：设Q 为R '中全体有理数所构成的集合.如果Q 是δG 型集，即n n G Q ∞ ==1 ， 其中n G 是开集，由开集的结构，N n ∈?，),(k k n n k n G βα =，其中k n n k k )},{(βα是 互不相交的开区间. 不是一般性，设 ≤≤≤≤<≤<11111n n n n n n k βαβαβα这是，必有 （1）-∞=1n α 事实上，如果-∞≠1n α，即r ?为有理数，1n r α<.因为N k ∈?，k n n r αα<<1， 故Q G G r n n n n n k k k =?=?∞ =1 ),( βα，这与Q r ∈矛盾. (2)N k ∈?, 1,,+=k n k n αβ 如果N k ∈?* ，1,,**+≠k n k n αβ.则1,,**+ 1,,* * +< k k ?=?),(βα 这是一矛盾. (3) +∞==}{sup ,k n k n ββ. 事实上，若+∞≠n β，则n β为有限实数，Q r ∈?，使得k ?，r n k n <≤ββ,， 故Q G r n n n k k k ?=?),(βα ，这也是一矛盾. }|{}{),(,,,,k R G R k n k k n k k n k n k n ααβα ==-'=-' },|{}|{}{,,1 1 1 k N n k G R G R Q R k n k n n n n n n ∈==-'=-'=-'∞ =∞=∞=αα 为可数集， 这与C Q R =-'矛盾. 因为在R '中单点集是闭集，所以Q r ∈?，令}{r F r =，则F 为闭集，所以 r Q r F Q ∈= ，故Q 为σF 型集. 30．定义在]1,0[上的任何函数的连续点构成的集合是一个δG 型集. 92'.证明：开区间)1,0(中有理点的全体不是一个δG 型集，但是一个δG 型集. 30.是否存在]1,0[上的的函数满足：在有理点处连续，而在无理点处都不连续？是 证明你的结论. 回答：不存在.为此，只需证明如下命题 命题（*）：开区间)1,0(中的任何函数的连续点构成的集合是一个δG 型集.这是因 为，如果存在]1,0[上的函数f ，使得)()(lim |)1,0({)1,0(x f x f x Q x x ='∈=→'' . 当命题（*）成立时，必有Q )1,0(为δG 型集，这与92'题的结论矛盾. 命题（*）的证明： 设)(x f 是开区间)1,0(有定义的一实函数，记)()(lim |)1,0({x f x f x E x x ='∈=→''， 下证：E 是一个δG 型集. N n ∈?，令10|),{(<<<=βαβαn A 且?∈?),(2,1βαx x n x f x f 1 |)()(|21< -.又记n n A G =.于是，我们只需证：n N n G E ∈= . 事实上，E x ∈?，因为)()(lim x f x f x x ='→''，所以N n ∈?，0>?n δ，使得 )1,0(),(?+-∈'?n n x x x δδ，恒有n x f x f 21 |)()(|< -'，所以 )1,0(),(,21?+-∈?n n x x x x δδ，恒有+-≤-|)()(||)()(|121x f x f x f x f n x f x f 1 |)()(|2<-，故n n n G x x ?+-),(δδ，所以n n n n n G x x x ∞=∞=?+-∈11),( δδ 即，n n G E ∞ =?1 反过来，n n G x ∞ =∈?1 .?+-∈'?>?>?),(,0,0:(n n x x x f δδδε )|)()(|2ε<-'x f x f 0>?ε，取N n ∈0，使得ε<0 1 n .因为001n n n n A G G x =?∈∈∞ = 所以R ∈?βα,：10<<<βα，使得),(βα∈x ，并且),(,21βα∈?x x 有 ε<< -0 211 |)()(|n x f x f ，取0},min{>--=x x βαδ，故x '?：δ<-'||x x ，即 x '，),(),(βαδδ?+-∈x x x ，所以ε<< -'0 1 |)()(|n x f x f .从而='→'')(lim x f x x )(x f .故E x ∈.因此，n n G E ∞ ==1 真. 31.假设R A '?，且对任意R x '∈，存在x 的一个δ-领域),(δδ+-x x ，使得 A x x ),(δδ+-最多只有可数个点，证明：A 必有有限级或可列集. 证明：因为A x ∈?，0>?x δ使得x x x B A x x =+- ),(δδ是一个至多可数集， 而),(x x A x x x A δδ+-?∈ 由24题，A N i x i ?∈?}|{使得：),(1i i x x i n x x A δδ+-?∞ = 又i i i i i x n x x i n x x i n B x x A x x A A ∞ =∞ =∞ ==+-=+-=1 1 1 )),(()],([ δδδδ.即A 至多 可数. 32.证明下列陈述相互等价. (i) A 是无处稠密集 (ii) A 不包含任何非空开区间 (iii) A 是无处稠密集 （iv ）A 的余集A C 是稠密集 无处稠密集：n R E ?，E 称为是无处稠密的，如果，0>?δ，n R x ∈?， ),(δx O E ?. 证明：（i ）?(ii).设A 是无处稠密集，即0>?δ，R x '∈?有A x x ?+-),(δδ. 如果)(,βαβα<'∈?R ，有A ?),(βα.取2 β α+= x ，取02 >-= α βδ，故 A x x ?=+-),(),(βαδδ.这与A x x ?+-),(δδ得假设矛盾.所以i ?(ii)真. （ii ）?(iii).如果A 不是无处稠密的，即n R x ∈?0，0>?δ，使得),(δδ+-x x A ?=),(βα.这与A 不包含任何非区间矛盾. (iii)?(iv).设A 无处稠密.现在我们证：R A R '=-'. R x '∈?,如果A R x -'?，则A x ∈，所以0>?δ，有A A x x =?+-),(δδ. 故?≠-'+-)(),(A R x x δδ.所以A R x -'∈. (iv)?(i).设R A R '=-'，R x '∈?，0>?δ，?≠-'+-][),(A R x x δδ. 所以A x x ?+-),(δδ.从而，A 无处稠密. 33.证明：若集合E 的聚点0x 不属于E ，则0x 是E 的边界点. 定义：0x 称为E 的边界点，如果0>?δ，有?≠E x O ),(0δ且 ?≠E x O ),(0δ. 证明：设E E x -'∈0，则0>?δ，?≠=-E x O E x x O ),(}]{),([000δδ. 且?≠-∈)(),(00E R x O x n δ，即，0x 是E 的界点. 第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D) 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 第一章习题 B 36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ． 证一：（反证）不妨设，?x 0∈B ,且x 0?C 1) x 0∈A ,则x 0?A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0?A ，则x 0∈A ΔB ，x 0?A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ??()[]()[]A B A B A A \\??= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =??，现在已知A B A C ?=?故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛?{A n }的任何子列收敛． 证 由习题8集列{}n A 收敛?特征函数列{} n A χ收敛，由数分知识得数列 {}n A χ收敛?{}n A χ的任一子列{}j n A χ 均收敛，又由习题8可得{}j n A 收敛． 38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n A =Z ，lim n n A =Q ． 证 显然有lim lim n n n n Z A A Q ??? 1） 假设?x \,Q Z ∈使x ∈lim n n A ∴?N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴?m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21 m n + 从而1 21,m m m n =+ 这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ． 2）?x ∈Q,则?m,n ∈Z,使得x = m n ∴x=m n =2m n n ?=…=1k k m n n +?=… ∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n A ∴lim n n A =Q ． 习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D) 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞ 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63) 《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） 第一章集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法： 在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。 例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数 例3 0和1之间的实数全体 0,1上的所有实函数全体 例4 [] 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示 一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义，可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义，并记为 A={x ：x 满足条件p} 如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈ 设A 是一个集合，x 是A 的元素，我们称x 属于A ，记作x A ∈，x 不是A 的元素，记作x A ?。 为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x ：sin x >1}=? 习惯上，N 表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. 设()f x 是定义在E 上的函数，记()f E ={ ()f x ：x ∈E}，称之为f 的值域。若D 是R 中的集合，则 1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像，在不至 混淆时，{x ：x ∈E ，()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }. 2.集合的包含关系 若集合A 和B 满足关系：对任意x ∈A,可以得到x ∈B ，则成A 是B 的子集，记为A ?B 或B ?A ，若A B 但A 并不与B 相同，则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义，且在[a,b]上有上界M ，即任意对 x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x ：()f x ≤M}. 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续，任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任 意0 0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即 0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+. 3.集合相等 若集合A 和B 满足关系：A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等，记为A=B. 《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例 实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞ 1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知 第一章习题 2、(ii) ()1 1 1n n n n n n n A B A B ∞∞∞ ===-?- 证明：对于1 1 ,n n n n x A B ∞∞ ==?∈- 11 n n n n x A x B ∞∞ ==?∈? 且 001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈- ()1n n n x A B ∞ =?∈- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射. 解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M ()0,1Q M = ；[]{}0,10,1Q M = ,作映射 12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→ 所以[]()0,10,1与等价 29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集. 证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则 要证明E '为闭集()E E '''?? ()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ (){}{}1,x V x x E ε'??∈- ()(){}11,x V x x ε?∈- ()() ()110,,,2V x V x x E δδε??>?' ?∈使得 (){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点 ()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε? ()x E E E '?∈''' ?? 从而E '为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?. 证明：x A x '?∈?为A 的聚点 (){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ A B ? (){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ ?x 为B 的聚点 ?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的 证明：先来证明1 R 中的孤立点是至多可数的 记B 为1 R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m n n m B r r r r Q =∈ 则B 为可数集. 设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域 (),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= ` 对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，() ,y y αβ也不同. 令(){},x x D x A α β= ∈ 则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若A 不可数,则A '也不可数. 证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集 因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾. 第二章习题 2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集 实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）实变函数习题解答(1)
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