线性代数第三章练习题

《第三章 线性方程组解的结构与向量组的线性相关性》复习题

一、填空题

1. 已知向量组T 10,2,1）（=α，T 4,0,22）（-=α，T 35

,,1）（t -=α线性无关，则t 应满足条件 .

2. 已知向量组T )1,1,2,1(1-=α，T t )0,,0,2(2=α，T )2,5,4,0(3=α的秩为2，则=t

3. 已知方程组????

? ??=????? ??????? ??-+43121232121321x x x a a 无解，则a =

4. 设A 是34?型矩阵，B 为3阶方阵，且齐次线性方程组O Bx =只有唯一零解. 若 2)(=A R , 则_________)(=AB R

5. 已知矩阵????

? ??--=11334221k

A 的列向量组线性相关，则___________=k

二、选择题

1. 设向量组321,,ααα线性无关 ，3),,,(321=αααβR ，则下列结论中不正确的是（ ）

(A) 向量组321,,ααα的秩为3. （B ）向量组βααα,,,321线性相关.

（C ）向量β可由321,,ααα线性表示. （D ）向量组βααα,,,321线性无关.

2. 设向量组m ααα,,,A 21 ：的秩为)(m r r <，则（ ）

（A ）向量组A 中任意r 个向量线性无关.

（B ）向量组A 中任意r 个向量线性相关.

（C ）向量组A 中任意1+r 个向量线性相关.

（D ）向量组A 中任意1-r 个向量线性相关.

3.设A 为n m ?矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是（ ）

(A) A 的列向量组线性无关. (B) A 的列向量组线性相关.

（C ） A 的行向量组线性无关. (D) A 的行向量组线性相关.

4. 设A 是n m ?型矩阵，0=Ax 是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）

（A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.

（B ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多组解.

（C ）若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解.

（D ）若b Ax =有无穷多组解，则0=Ax 只有零解.

5. 若向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）

（A ）2121,,αααα+ （B ）2121,,αααα-

（C ）133221,,αααααα--- （D ）133221,,αααααα+++

6. 下列说法正确的是（ ）

（A ）含有零向量的向量组一定是线性无关的

（B ）如果向量组123,,ααα是线性无关的，则向量组12345,,,,ααααα也是线性无关的

（C ）矩阵的行秩不一定等于矩阵的列秩

（D ）一个线性无关的向量组βααα,,,321的最大无关组是其本身

三、解答题

1. 求a 、b 为何值时，线性方程组 ???????-=+++=--+-=++=+++1

232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x （1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解.

2. 设有向量组1(1 , 2 , 0,3)T α=-，T )3,6 , 5, 2(2--=α， T )0 ,3 , 1,0(3=α，

4(2 , 1 ,4,7)T α=--.T ),21 ,8 , 5(5-=α. 求向量组54321,,,,ααααα的秩及其一个最大无关

组，并将剩余向量用最大无关组线性表示.

3.求向量组T )1 , 1 , 1(1=α，T )2 , 4, 3(2=α， T )3 ,1 , 1(3-=α， T a ) , 2 , 3(-=β.求a 为何值时

（1）β不能由321,,ααα线性表示；

（2）β可以由321,,ααα线性表示，并求出表示式.