离散数学参考答案
1.(单选题) A．明年“五一”是晴天。B．这朵花多好看呀！。
C．这个男孩真勇敢啊！D．明天下午有会吗？
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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2.(单选题) 在上面句子中，是命题的是( )
A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。
C．这朵花多好看呀！D．计算机机房有空位吗？
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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3.(单选题) 在上面句子中，是命题的是( )
A．如果天气好，那么我去散步。B．天气多好呀！
C．x=3。D．明天下午有会吗？
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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4.(单选题) 在上面句子中( )是命题
下面的命题不是简单命题的是( )
A．3是素数或4是素数B．2018年元旦下大雪
C．刘宏与魏新是同学D．圆的面积等于半径的平方与π之积
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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5.(单选题) 下面的表述与众不一致的一个是( )
A．P ：广州是一个大城市B．?P ：广州是一个不大的城市C．?P ：广州是一个很不小的城市D．?P ：广州不是一个大城市
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
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6.(单选题) 设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。” 可符号化为：( )
A．P ù Q B．P ? Q
C．P ú ?Q D．P ù?Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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7.(单选题) 设：P ：刘平聪明。Q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：
“刘平不但聪明，而且用功” 可符号化为：( )
A．P ù Q B．?P ú Q
C．P ú ?Q D．P ù?Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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8.(单选题) 设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。”
在命题逻辑中可符号化为( )
A．P ù Q B．P ? Q
C．P ú ?Q D．P ù?Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
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9.(单选题) 设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：
“我们不能既划船又跑步。” 可符号化为：( )
A．P ? Q B．?（P ù Q）
C．P ú Q D．P ù?Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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10.(单选题) 设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为( )
A．P ú Q B．P ? Q
C．P ù?Q D．P ù Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
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随堂练习提交截止时间：2017-12-15 23:59:59
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。
11.(单选题) 设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”
在命题逻辑中可符号化为( )
A．Q?P B．P ? Q
C．? P ?Q D．Q ú?P
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
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12.(单选题) 设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题：
“派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为：（）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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13.(单选题) 设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。”可符号化为（）。
A．P?Q B．Q ? P
C．Q ú?P D．? Q ?? P
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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14.(单选题) 设：P：天下大雨，Q：他才乘班车上班。则命题“只有天下大雨，他才乘班车上班。”可符号化为（）。
A．P?Q B．Q ? P
C．Q ú?P D．? Q ?? P
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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15.(单选题) 设：P：天下大雨，Q：他才乘班车上班。则命题“除非天下大雨，否则他不乘班车上班。”可符号化为（）。
A．?P?Q B．?Q ? ?P
C．Q ú?P D．? P ?? Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
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16.(单选题) 设：P：天下大雨。Q：他乘公共汽车上班。则命题“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。”可符号化为( )
A．P ? Q B．Q?P C．? P ?? Q D．?Q úP
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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17.(单选题) 设：P：天气好。Q：他去郊游。则命题“如果天气好，他就去郊游。”可符号化为( )
A．P?Q B．Q ? P
C．? Q ?? P D．Q ú?P
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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18.(单选题) P：下雪路滑，Q：他迟到了。下雪路滑，他迟到了。可符号化为( ) A．P ú Q B．P ? Q
C．P ù?Q D．P ù Q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
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19.(单选题) 设，p：经一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题：
“不经一事，不长一智。” 可符号化为：( )
A．p?q B．q ? p
C．?p??q D．?p?q
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
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20.(单选题) 下面“”的等价说法中，不正确的为
A．p是q的充分条件B．q是p的必要条件
C．q仅当p D．只有q才p
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
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21.(单选题) 下列式子是合式公式的是( )
A．（P ú ? Q）B．?（P ?（Q ú R））
C．（P ? Q）D．ù Q ? R
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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22.(单选题) 下列式子是合式公式的是( )
A ．（P ú ? Q ）
B ．?（P ù（Q ú R ））
C ．（P ? Q ）
D ．ù Q ? ù R
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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23.(单选题) 公式?（（p?q ）ù（q ? p ））与
的共同成真赋值为( )
A ．01，10
B ．10，01
C ．11，00
D ．01，11
答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A
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24.(单选题) p,q 都是命题，则p?q 的真值为假当且仅当( )
A ．p 为假，q 为真
B ．p 为假，q 也为假
C ．p 为真，q 也为真
D ．p 为真，q 为假
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
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25.(单选题) n 个命题变元组成的命题公式，有( )种真值情况
A ．n
B ．
C ．
D ．2n
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
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26.(单选题) 设A , B 代表任意的命题公式，则德 ？ 摩根律为
?（A ù B ）?( )
A ．?A ù ?
B B ．?A ú ?B
C ． A ù ?B
D ．AúB
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
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27.(单选题) 设P , Q 是命题公式，德？摩根律为：
?（P ú Q ）?( )
A ．?P ù ?Q
B ．?P ú ?Q
C ． P ù ?Q
D ．PúQ
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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28.(单选题) 命题公式A与B是等值的，是指（）。
A．A与B有相同的命题变元B．A?B是可满足式
C．A?B为重言式D．A?B为重言式
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
29.(单选题) 设A , B 代表任意的命题公式，则逆反律为
A ? B?( )
A．? B ? ? A B．B ? ? A
C．? A ? ? B D．? B ? A
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
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30.(单选题) P为任意合式公式，Q：为重言式。则P ú Q是（）
A．矛盾式B．可满足式
C．蕴含式D．重言式
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对8题。
A. B. C.
A. B. C.
A．（Pù Q）úT B．?（PúQ）ù T
C．（PúQ）ù T D．?（PúQ）ù F
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
34.(单选题) 下列命题为假的是( )
A．任意两个不同小项的合取式永假，全体小项的析取式永真
B．任意两个不同大项的合取式永假，全体大项的析取式永真
C．n个命题变元的矛盾式, 主合取范式有个极大项，而主析取范式为0
D．每一个小项当其真值与编码相同时，其真值为真
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
35.(单选题) 下列命题为假的是( )
A．P ù（P? Q）的合取范式是Pù Q
B．P ù（P? Q）的析取范式是Pù Q
C．P ù（P? Q）的合取范式是P ù（?Pú Q）
D．P ù（P? Q）的析取范式是P ù（?Pú Q）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
36.(单选题) 命题（P? Q）ù（P? R）的主析取范式中包含( )
A．Pù Qù R B．Pù Qù ?R
C．Pù ?Qù R D．Pù? Qù ?R
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
37.(单选题) 给定命题公式,该公式在全功能集中的形式为（）A．（（ｐｑ） r）B．ｐｑ r
C．（（ｐｑ） r）D．（ｐｑ） r
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
38.(单选题) 设A，C为两个命题公式，当且仅当( )为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。
A．A ? C B．C ? A
C．A ù ? C D．Aú ?C
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
39.(单选题) 下列推理定律表述不正确的是为( )
A．（P ? Q）ù ?Q拒取式推理定律
B．（P ú ?Q）ù Q析取三段论推理定律
C．（?P ? Q）ù（Q ? ?R）假言三段论推理定律
D．（?P ? ?Q）ù ? P 假言三段论推理定律
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
40.(单选题) 下列推理定律，( ) 不正确
A．Q? P ú Q B．Q? Q
C．?Qù（P ? Q） D．?（P ? Q）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对8题。
41.(单选题) 设F（x）：x是人，G（x）：x早晨吃米饭。命题“有些人早晨吃米饭”在谓词逻辑中的符号化公式是( )
A．（"x）（F（x）? G（x））B．（"x）（F（x）ù G（x））
C．（$x）（F（x）? G（x））D．（$ x）（F（x）ù G（x））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
42.(单选题) 设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是( )
A．$y（G（y）?"x（F（x）ùH（x，y）））
B．$y（G（y）ù"x（F（x）?H（x，y）））
C．"x $y（G（y）?（F（x）ùH（x，y）））
D．$y（G（y）?"x（F（x）?H（x，y）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
43.(单选题) 设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。命题“说有的火车比所有汽车都快是正确的”的符号化公式是( )
A．$y（F（y）?"x（G（x）ùH（x，y）））
B．$y（F（y）ù"x（G（x）?H（x，y）））
C．"x $y（F（y）?（G（x）ùH（x，y）））
D．$x（F（x）ù"y （G（y）?H（x，y）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
44.(单选题) 设Q（x）：x 是有理数，R（x）：x是实数。命题“每一个有理数是实数”在谓词逻辑中的符号化公式是( )
A．（"x）（Q（x）? R（x））B．（"x）（Q（x）ùR（x））
C．（$x）（Q（x）? R（x））D．（$ x）（Q（x）ù R（x））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
45.(单选题) 设S（x）：x是运动员，J（y）：y是教练员，L（x，y）：x钦佩y。命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是( )
A．"x（S（x）ù " y（J（y）ù L（x，y）））
B．"x $y（S（x）?（J（y）? L（x，y）））
C．"x（S（x）? $y（J（y）ù L（x，y）））
D．$y"x（S（x）?（J（y）ù L（x，y）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
46.(单选题) 设S（x）：x是大学生，L（y）：y是运动员，A（x，y）：x钦佩y。命题“有些大学生不佩服运动员”的符号化公式是( )
A．$x（S（x）ù " y（L（y）? ?A（x，y）））
B．"x $y（S（x）?（L（y）? A（x，y）））
C．"x（S（x）? $y（L（y）ù A（x，y）））
D．$y"x（S（x）?（L（y）ù A（x，y）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
47.(单选题) 设C（x）：x是国家选手，L（y）：y是运动员，O（x）：x是老的。命题“所有老的国家选手都是运动员”的符号化公式是( )
A．$x（C（x）ù O（x）ù ?L（x））
B．"x（C（x）ù O（x）? L（x））
C．"x（C（x）ù O（x）ù L（x））
D．$y"x（C（x）? O（x）ù L（x ））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
48.(单选题) 设J（y）：y是教练员，j：金教练，O（x）：x是老的，V（y）：y是健壮的。命题“金教练既不老，但也不健壮”的符号化公式是( )
A．J（j）ù ?O（j）? ? V（j）
B．J（j）ù ?O（j）ù ? V（j）
C．J（j）??O（j）ù ? V（j）
D．J（j）ù O（j）? ? V（j）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
49.(单选题) 设R（x）：x是实数，B(y，x）：x大于y。命题“对于每一个实数x，存在一个更大的实数”利用谓词公式翻译这个命题( )
A．（"x）（R（x）?（$y）（R（y）ù B(y，x）））
B．（"x）（R（x）ù（$y）（R（y）ù B(y，x））)
C．（$x）（R（x）ù（$y）（R（y）ù B(y，x））)
D．（$ x）（R（x）?（$y）（R（y）ù B(y，x）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
50.(单选题) 设L（x）：x是有限个数的乘积，N（x）:x为零，E(x，y）：x是y的因子。命题“如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零”利用谓词公式翻译这个命题( ) A．（"x）（L（x）ùN（x）ù（$y）（E（x，y）ùN(x）））
B．（"x）（L（x）ùN（x）?（$y）（E(x，y）ùN（x）））
C．（$x）（L（x）ùN（x）?（$y）（E(x，y）ùN（x）））
D．（$x）（L（x）ùN（x）ù（$y）（E（x，y）ùN(x）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对9题。
51.(单选题) 下面哪个公式没有自由变元
A．（"x）（R（x）?（$y）（R（z）ù B(y，x）））
B．（"x）（R（x）ù（$y）（R（y）ù B(y，x））)
C．（$x）（R（x）ù（$y）（R（y）ù B(u，x））)
D．（$ x）（R（x）?（$y）（R（y）ù B(y，tx）））
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
52.(单选题) 设个体域为整数集，下列真值为真的公式是( )
A．$y"x (x ？y =2) B．"x"y(x ？y =2)
C．"x$y(x ？y =2) D．$x"y(x ？y =2)
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
53.(单选题) 设个体域为整数集，下列公式中( ) 不是命题
A．"x$y(x y =1) B．"x"y(x y =y)
C．"x (x y =x) D．$x"y(x y =2)
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
54.(单选题) 下面( ) 不是命题
A．（"x）P（x）B．（$x）P（x）
C．" x ?P（x,y）D．" x $ y?P（x,y）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
55.(单选题) 论域，
,
, 则下列个公式赋值后肯定为真的是( )
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
56.(单选题) 下列式子中正确的是( )
A．?（"x）P（x）?（$x）P（x）B．?（"x）P（x）?（"x）? P（x）C．?（$x）P（x）?（$x）? P（x）D．?（$x）P（x）?（"x）? P（x）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
57.(单选题) 下面谓词公式是永真式的是( )
A．P（x）? Q（x）B．（"x）P（x）?（$x）P（x）
C．P（a）?（"x）P（x）D．? P（a）?（$x）P（x）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
58.(单选题) 下列式子中正确的是( )
A．?（"x）P（x）?（$x）P（x）B．?（"x）P（x）?（"x）? P（x）C．?（$x）P（x）?（$x）? P（x）D．?（$x）P（x）?（"x）? P（x）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
59.(单选题) 请选择?$x "yP（x,y）的前束合取范式为( )
A．" x ?"yP（x,y）B．$ x "y?P（x,y）
C．" x "y?P（x,y）D．" x $ y?P（x,y）
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
60.(单选题) 的前束合取范式为( )
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对8题。
61.(单选题) 的前束析取范式为( )
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
62.(单选题) "x（P（x）?Q(x,y)）?（$ yP（y）∧$zQ（y,z））的前束合取范式为( )
A．$x?（?P（x）∨Q(x,y)）∨（$ yP（y）∧$zQ（y,z））
B．$x（P（x）∧?Q(x,y)）∨（$ uP（u）∧$zQ（y,z））
C．$x$ u$z((P（x）∧?Q(x,y)）∨（P（u）∧Q（y,z））)
D．$x$ u$z((P（x）∨P（u））∧（?Q(x,y) ∨P(u)））∧(P（x）∨Q(y,z)）∧（? Q(x,y)∨Q(y,z)））)
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
63.(单选题) "x（P（x）?Q(x,y)）?（$ yP（y）∧$zQ（y,z））的前束析取范式( )
A．$x?（?P（x）∨Q(x,y)）∨（$ yP（y）∧$zQ（y,z））
B．$x（P（x）∧?Q(x,y)）∨（$ uP（u）∧$zQ（y,z））
C．$x$ u$z((P（x）∧?Q(x,y)）∨（P（u）∧Q（y,z））)
D．$x$ u$z((P（x）∨P（u））∧（?Q(x,y) ∨P(u)））∧(P（x）∨Q(y,z)）∧（? Q(x,y)∨Q(y,z)））)
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
64.(单选题) ，当客体域为( )，公式$x$yL(x,y)不是有效的
A．自然数集B．整数集C．有理数集D．实数集
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
65.(单选题) 下列推导第（）步出错
?$x（P（x）∧Q(x)）?（$ xP（x）∧$xQ（x））
?$ xP（x）∨（$xQ（x））
"x ?P（x）∨"x ?Q(x）
"x（?P（x）∨?Q(x））
"x（P（x）?Q(x,y)）
A．第一步和第二步B．第一步和第四步
C．第二步和第四步D．第一步和第五步
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
66.(单选题) 判断选项错误的是( )
A．??? B．?∈? C．?∈{?} D{a,b}?{a,b,c,{a,b,c}}．
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
67.(单选题) 下列命题是真的是( )
A．如果A?B及B∈C,则A?C B．如果A?B及B∈C,则A∈C
C．如果A∈B及B?C,则A?C D．如果A∈B及B?C,则A∈C
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
68.(单选题) 设S={F，{1}，{1，2}}，则S的幂集P（S）有( )个元素
A．3 B．6 C．7 D．8
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
69.(单选题) 设A={a，b，c}，B={a，b}，则下列命题不正确的是( )
A．A－B={a，b} B．A∩B={ a，b }
C．A?B={c} D．BíA
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：A
问题解析：
70.(单选题) 设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是( )。
A．如果S∪T = S∪M，则T = M B．如果S-T = F，则S = T
C．S-T í S D．S ? S = S
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对9题。
71.(单选题) 设S，T，M为任意集合，S ? T ={1，2，3}，S ? M={2，3，4}，若，则一定有( )
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B
问题解析：
72.(单选题) 设[0，1]和（0，1）分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为假的是( ) A．（0，1）í[0，1] B．{0，1} íZ
C．{0，1} í[0，1] D．[0，1] íQ
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
离散数学第五版 模拟试题 及答案
《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ，22R，R1·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝ 写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式，并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={
屈婉玲版离散数学课后习题答案【2】
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）证明?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。 证明：(1)?(A∨B)→?(P∨Q) P (2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E (3)P P (4)A∨B T(2)(3)，I (5)(B→A)∨?P P (6)B→A T(3)(5)，I (7)A∨?B T(6)，E (8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I (9)A∧(B∨?B) T(8)，E (10)A T(9)，E 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。 依题意有， (1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B?(?A∧B)∨(A∧?B)； (2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D； (3)乙或丁至多参加一人，符号化为?(B∧D)； (4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为?D→?A。 所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(?(B∧D))∧(?D→?A) ?((?A∧B)∨(A∧?B))∧(?C∨D)∧(?B∨?D)∧(D∨?A) ?((?A∧B∧?C)∨(A∧?B∧?C)∨(?A∧B∧D)∨(A∧?B∧D))∧((?B∧D)∨(?B∧?A)∨(?D∧?A)) ?(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)∨(?A∧B∧?C∧?D)?T 但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故?A∧B∧?C∧?D为F。所以只有：(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)?T，即甲、丁参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。 (1)?x(P(x)→Q(x)) P (2)P(y)→Q(y) T(1)，US (3)?xP(x) P (4)P(y) T(3)，ES (5)Q(y) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 解 (4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。 正确的推理过程为： (1)?xP(x) P (2)P(c) T(1)，ES (3)?x(P(x)→Q(x)) P (4)P(c)→Q(c) T(3)，US (5)Q(c) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。 解设R＝{ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．． 命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．． 谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ??????001110101 B ．??????????101110001 C ．??????????001100100 D ．???? ??????001010101 9．设R 1和R 2是集合A 上的相容关系，下列关于复合关系R 1?R 2的说法正确的是（ ） A ．一定是等价关系 B ．一定是相容关系 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是 （１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分） 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。离散数学试卷及答案一
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