04 第四节 条件概率
第四节 条件概率
先由一个简单的例子引入条件概率的概念.
内容分布图示
★ 概念引入
★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2 ★ 乘法公式
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 全概率公式
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 贝叶斯公式 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4
内容要点：
一、 条件概率的概念
在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .
定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称
)
()
()|(A P AB P A B P =
(1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠.
注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.
2. 计算条件概率有两种方法:
a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；
b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式
由条件概率的定义立即得到:
)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2) 注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:
)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.
三、全概率公式
全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
定理1 设 ,,,,21n A A A 是一个完备事件组,且,0)(>i A P ,,2,1 =i 则对任一事件B ,有
+++=)|()()|()()(11n n A B P A P A B P A P B P
注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算)(B P 不易时,可根据具体情况构造一组完备事件}{i A , 使事件B 发生的概率是各事件),2,1( =i A i 发生条件下引起事件B 发生的概率的总和.
四、贝叶斯公式
利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如,有三个放有不同数量和颜色的球的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大?
定理2 设 ,,,,21n A A A 是一完备事件组,则对任一事件B ,0)(>B P ,有
,,2,1,
)|()()
|()()
()
()|( ===
∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P j
j
j i i i i 贝叶斯公式
注: 公式中,)(i A P 和)|(B A P i 分别称为原因的验前概率和验后概率.),2,1)(( =i A P i 是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知道B 发生),人们对诸事件发生的概率)|(B A P i 有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 特别地,若取2=n ,并记A A =1, 则A A =2,于是公式成为
.)
|()()|()()|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==
例题选讲：
条件概率
例1 (E01) 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)
(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.
解
记i A 为事件“第i 次取到的是黑球” ).2,1(=i
(1) 在已知1A 发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个, 根据古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即有
.9/2)|(12=A A P
(2) 在已知2A 发生, 即第二次取到的是黑球的条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前, 故问题的结构不像(1)那么直观.
我们可按定义计算)|(21A A P 更方便一些. 由)(21A A P 210
2
3P P =,15
1=
103
)(2=A P
)|(21A A P )()(221A P A A P =
.92=
例2（E02） 某药检所从送检的10件药品中先后无返回地抽检了两件.如果10件中有3件次品,求 (1)第一次检得次品的概率; （2）两次都检得次品的概率;
（3）第一次检得次品后,第二次检得次品的概率. 解 设A 表示第一次检得次品,B 表示第二次检得次品,则
(1) 10
3
)(=
A P ; (2) 15
1
92103)(=?=AB P ;
(3) 92
10
3151
)
()()|(===
A P A
B P A B P .
乘法公式
例3 (E03) 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.
分析：这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.
解
设i A 表示事件“第i 次取到的是黑球” ),2,1(=i 则21A A 表示事件“两次取到的均
为黑球”. 由题设知,103)(1=
A P 9
2)|(12=A A P 于是根据乘法公式, 有)(21A A P )|()(121A A P A P =92103?=
.15
1
= 注: 对本例, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里则使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本
身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.
例4设袋中装有r 只红球, t 只白球.每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一, 二次取到红球且第三, 四次取到白球的概率.
解
以)4,3,2,1(=i A i 表示事件 “第i 次取到红球”, 则43,A A 分别表示事件第三、四次取
到白球. 所求概率为
)(4321A A A A P )(1A P =)|(12A A P )|(213A A A P )|(3214A A A A P
.32a
t r a t a t r t a t r a r t r r +++?++?+++?+=
例5 (E04) 一批灯泡共100只, 其中10只是次品, 其余为正品. 作不放回抽取, 每次取一只, 求第三次才取到正品的概率.
解 设{=i A 第i 次取到正品},,3,2,1=i {=A 第三次才取到正品}, 则
,321A A A A =
于是)()(321A A A P A P =)()()(213121A A A P A A P A P ??=.0083.098
9099910010≈??= 所以, 第三次才取到正品的概率为0.0083 .
例6 已知,3.0)(=A P 4.0)(=B P ，,5.0)|(=B A P 试求
).|(),|(B A B A P B A B P
解
由乘法公式, )(AB P )()|(B P B A P =4.05.0?=,2.0=
因此)|(A B P )()(A P AB P =3.02.0=
,32
= 又因为,B A B ? 所以,)(B B A B = 从而 )|(B A B P )
())((B A P B A B P =
)()()()(AB P B P A P B P -+=2.04.03.04.0-+=,54
= )|(B A B A P )|(B A AB P =)|(1B A AB P -=)()(1B A P AB P -
=5.02.01-=.5
3
=
全概率公式
例7 一袋中装有10个球, 其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.
解 这一概率, 我们前面在古典概型中已计算过, 这里我们用一种新的方法来计算.
将事件 “第二次取到的是黑球” 根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分, 分别计算其概率, 再求和. 记,A B 为事件 “第一、二次取到的是黑球”, 则有
)(B P )()(B A P AB P +=)|()()|()(A B P A P A B P A P +=
由题设易知,103)(=A P ,107)(=A P ,92)|(=A B P ,9
3)|(=A B P 于是)(B P 9310792103?+?=.10
3=
例8（E05） 在某地供应的某药品中,甲、乙两厂的药品各占65%、35%,且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%,现用21,A A 分别表示甲、乙两厂的药品,B 表示合格品,试求:
)(),
(1B P B A P
解 由题意知,
,80.0|,90.0|,35.0,65.02121====）（）（）（）（A B P A B P A P A P
则根据乘法公式得
585.090.065.0)|()()(111=?==A B P A P B A P .
由全概率公式得
865.080.035.090.065.0)|()()|()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P .
例9 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求: (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率. 解 记事件、A B 分别为甲、乙两厂的产品, C 为废品, 则
(1) )(A P 5030=
,53=)(B P 5020=,5
2
=,06.0)|(=A C P 05.0)|(=B C P 由全概率公式, 得 )(C P )|()()|()(B C P B P A C P A P +=056.0= (2) )(A P 120201003010030?+??=
,95=)(B P 120201003012020?+??=,9
4
=
,06.0)|(=A C P 05.0)|(=B C P
由全概率公式, 得 )(C P )|()()|()(B C P B P A C P A P +=.056.0≈
例10(E06) 有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑共4个球,3号装有2红2黑共4个球.如下图. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
解 记 i B ={球取自 i 号罐},i =1, 2, 3; A ={取得红球}.
因为A 发生总是伴随着 1B ,2B ,3B 之一同时发生, 1B ,2B ,3B 是样本空间的一个划分．
∑==3
1
)|()()(i i i B A P B P A P 由全概率公式得
依题意: P (A |1B )=2/3, P (A |2B )=3/4, P (A |3B )=1/2,
31)()()(321===B P B P B P ,
代入数据计算得：P (A )≈ 0.639 .
例11(E07) 对于例11，若取出的一球是红球，试求该红球是从第一个罐中取出的概率. 解 仍然用例11的记号.要求)|(1A B P ,由贝叶斯公式知
)()|()()|()()|()
()|()|(332211111B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P ++=
.348.0)
()
()|(11≈=
A P
B P B A P
例12（E08） 设药房的某种药品是由3个不同的药厂生产的.其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占总量的4
14121，，,且3个厂的次品率依次为2%,2%,4%. (1)现从中任取一份药品,问取得次品的概率是多少?
(2)已知取得的药品为次品,求该次品是由第二家药厂生产的概率.
解 设1A 表示一厂生产的药物,2A 表示二厂生产的药物,3A 表示三厂生产的药物,B 表示抽到的药品为次品, 根据题意得
211=
）（A P ,412=）（A P ,4
1
3=）（A P , 02.0|1=）（A B P ,02.0|2=）（A B P ,04.0|3=）
（A B P , (1)由全概率公式得
025.004.04
1
02.04102.021|||332211=?+?+?=++=）
（）（）（）（）（）（）（A B P A P A B P A P A B P A P B P .
(2)由贝叶斯公式得
2.0025
.041
02.0||222=?
=
=）（）（）（）（B P A P A B P B A P .
例13 一袋中有10个球, 其中3个黑球,
7个白球, 从中先后随意各取一球 (不放回),假设已知二次取到的球为黑球, 求 “第一次取到的也是黑球” 的概率.
解 设 “第一次取到的是黑球” 这一事件为,A “第二次取到的是黑球”这一事件为,B 则问题归结为求条件概率).|(B A P 根据贝叶斯公式, 有
)|(B A P .)
|()()|()()
|()(A B P A P A B P A P A B P A P +=
据题涉及例7的结果易知
,10/3)(=A P ,9/2)|(=A B P ,10/7)(=A P ,9/2)|(=A B P
从而 )|(B A P )9/3()10/7()9/2()10/3()9/2()10/3(?+??=
.9
2
=
例14 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?
解 设A 为事件“产品合格”, B 为事件“机器调整良好”.
,98.0)|(=B A P ,55.0)|(=B A P ,95.0)(=B P ,05.0)(=B P
所求的概率为)|(A B P )
()|()()|()
()|(B P B A P B P B A P B P B A P +=
.97.0=
这就是说, 当生产出第一件产品是合格时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.
而在得到信息(即生产的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做叫做后验概率.
例15 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,
(1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解
记事件:1A “该产品是次品”, 事件:2A “该产品为乙厂生产的”, 事件:3A “该产品为
丙厂生产的”, 事件:B “该产品是次品”. 由题设, 知
%,45)(1=A P %,35)(2=A P %,20)(3=A P %,4)|(1=A B P %,2)|(2=A B P %,5)|(3=A B P
(1) 由全概率公式得)(B P )|()(3
1
i
i i
A B P A P ∑==
%.5.3=
(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
)|(1B A P )
()(1B P B A P =)()
|()(11B P A B P A P =%.4.51=
例16 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有95.0)|(,95.0)|(==C A P C A P 现在对自然人群进行普查, 设备试验的人患有癌症的概率为0.005, 即005.0)(=C P , 试求 ).|(A C P
解
由题设, 有
,995.0)(1)(=-=C P C P ,05.0)|(1)|(=-=C A P C A P
由贝叶斯公式, 得.087.0)
()|()()|()
()|()|(=+=
C P C A P C P C A P C P C A P A C P
注:本题表明,虽然,95.0)|(=C A P ,95.0)|(=C A P 这两个概率都比较高,但,087.0)|(=A C P 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患癌症.
例17 8支步枪中有5支已校准过,
3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时, 中靶的概率为 0.8; 用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击, 结果中靶, 求所用的枪是校准过的概率.
解
设=1B {使用的枪校准过}, =2B {使用的枪未校准}, =A {射击时中靶},则21,B B 是
Ω的一个划分, 且,85)(1=B P ,8
3
)(2=B P ,8.0)|(1=B A P .3.0)|(2=B A P
由贝叶斯公式, 得.49
40
)()|()()|()()|()|(2211111=+=B P B A P B P B A P B P B A P A B P
这样, 所用的枪是校准过的概率为.49
40
课堂练习
设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?
概率密度估计
1、概率密度函数 在分类器设计过程中（尤其是贝叶斯分类器），需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下，按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是，在实际应用中，类条件概率密度通常是未知的。那么，当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下，该如何来进行类别判断呢？其实，只要我们能收集到一定数量的样本，根据统计学的知识，可以从样本集来推断总体概率分布。这种估计方法，通常称之为概率密度估计。它是机器学习的基本问题之一，其目的是根据训练样本来确定x（随机变量总体）的概率分布。密度估计分为参数估计和非参数估计两种。 2、参数估计 参数估计：根据对问题的一般性认识，假设随机变量服从某种分布（例如，正态分布），分布函数的参数可以通过训练数据来估计。参数估计可以分为监督参数估计和非监督参数估计两种。参数估计当中最常用的两种方法是最大似然估计法和贝叶斯估计法。 监督参数估计：样本所属类别及条件总体概率密度的形式已知，表征概率密度的某些参数是未知的。 非监督参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求推断出概率密度本身。 3、非参数估计 非参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求我们直接推断概率密度函数本身。即，不用模型，只利用训练数据本身来对概率密度做估计。 非参数估计常用的有直方图法和核方法两种；其中，核方法又分为Pazen窗法和KN近领法两种。
概率密度估计--参数估计与非参数估计 我们观测世界，得到了一些数据，我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界，一般来说，在概率上我们有一个一般性的操作步骤 1. 观测样本的存在 2. 每个样本之间是独立的 3. 所有样本符合一个概率模型 我们最终想要得到的是一个概率密度的模型，有了概率密度模型以后，我们就可以统计预测等非常有用的地方，因此，首要任务是找出一些概率分布的概率密度模型。 我们来分析一下上面的三个步骤，第一第二都很好解决，关于第三点，我们可以有不同的处理方式 如果我们已经对观测的对象有了一些认识，对观测的现象属于那种类型的概率密度分布已经了解了，只是需要确定其中的参数而已，这种情况就是属于参数估计问题。 如果我们研究观测的对象，也很难说这些观测的数据符合什么模型，参数估计的方法就失效了，我们只有用非参数估计的办法去估计真实数据符合的概率密度模型了。 因此，本文主要讨论参数估计和非参数估计问题
一十种概率密度函数
一十种概率密度函数 function zhifangtu(x,m) %画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=min(x); b=max(x); l=length(x); h=(b-a)/m; %量化x x=x/h; x=ceil(x); w=zeros(1,m); for i=1:l for j=1:m if (x(i)==j) %x(i)落在j的区间上，则w(j)加1 w(j)=w(j)+1; else continue end end end w=w/(h*l); z=a:h:(b-h); bar(z,w); title('直方图') function y=junyun(n) %0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=ones(1,n); x=ones(1,n); m=100000; x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m); x0=floor(x0/2); x0=2*x0+1; u=11; x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=u*x(i)+0; x(i+1)=mod(x(i+1),m); x(i)=x(i)/m; end %x(n)单位化
x(n)=x(n)/m; y=x; function y=zhishu(m,n) %指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1;n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=log(x); y=-(1/m)*u; function y=ruili(m,n) %瑞利分布,m是瑞利分布的参数,n代表数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end end u=(-2)*log(x); y=m*sqrt(u); function y=weibuer(a,b,n) %韦布尔分布,a,b表示参数,b不能为0.n表示数据量,一般要大于1024 %a=1时,是指数分布 %a=2时,是瑞利分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1:n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; else continue; end
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................
1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2
05概率论与数理统计 第五节 事件的独立性
第五节 事件的独立性 教学目的 理解事件独立性的概念，掌握伯努利概型的计算方法。 教学重点 理解事件独立性的概念，掌握伯努利概型的计算方法。 教学难点 事件独立性的理解，伯努利概型的计算方法。 教学内容 在许多实际问题中，常会遇到两个事件中任何一个事件发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响，此时，)()|(A P B A P =，故乘法公式写成()()(|)=()()P AB P B P A B P A P B = 一、 两个事件的独立性 定义1 若两事件A ,B 满足 )()()(B P A P AB P = (1) 则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立. 注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但?与S 既相互独立又互不相容(自证). 定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然. 定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立: A 与 B ,A 与B ,A 与B . 例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立? 注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断。 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 二、有限个事件的独立性 定义2 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式 ), ()()()(), ()()(),()()(), ()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立. 对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义: 定义3 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立. 相互独立性的性质 性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独立; 由独立性定义可直接推出. 性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录 1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 10. 2χ分布（卡方分布） (7) 11. t 分布 ......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15. 对数正态分布 ....................................................................................... 11 1. 均匀分布 均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1 ()f x b a =-
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）
Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的
03 条件概率、乘法定理、全概率公式 [解答]
[3] 条件概率、乘法定理、全概率公式 一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上) 1．设B A ,是随机事件，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，4.0)|(=A B P ， 则=)(AB P 48.0． 2．设B A ,是随机事件，已知()0.6P A =，5.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(A B P 5.0． 3．设B A ,是随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(B A P 62.0． 4. 设2.0)|(,4.0)(, 5.0)(===A B P B P A P ，则=)|(B A P 0.25 ． ………………………………………………………………………………………….. 二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超 过两次而接通所需电话的概率． 【解】设A =“拨通电话”，,2,1""）（次才拨通电话第==i i B i 则 211B B B A +=, ，101)(1=B P ，10 191109)()()(11221=?==B P B B P B B P 故2.010 1101)()()(211=+=+=B B P B P A P ； ………………………………………………………………………………………….. 三、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为8.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率．（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率． 【解】设A:{该考生选出此题正确答案},B:{该生会做此题}，则 4 1)|(,1)|(,8.0)(===B A P B A P B P （1）85.0412.018.0)|()()|()()()(.)(=? +?=+=+=B A P B P B A P B P B A P AB P A P
概率论与数理统计03-第三章作业及答案
习题3-1 而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以 X 1和X 2不独立. 2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<
今天在网上找到了一些概率密度函数的总结
今天在网上找到了一些概率密度函数的总结，怕以后找不到就先转到这里，呵呵统计工具箱函数 Ⅰ-1 概率密度函数 函数名对应分布的概率密度函数 betapdf 贝塔分布的概率密度函数 binopdf 二项分布的概率密度函数 chi2pdf 卡方分布的概率密度函数 exppdf 指数分布的概率密度函数 fpdf f分布的概率密度函数 gampdf 伽玛分布的概率密度函数 geopdf 几何分布的概率密度函数 hygepdf 超几何分布的概率密度函数 normpdf 正态（高斯）分布的概率密度函数 lognpdf 对数正态分布的概率密度函数 nbinpdf 负二项分布的概率密度函数 ncfpdf 非中心f分布的概率密度函数 nctpdf 非中心t分布的概率密度函数 ncx2pdf 非中心卡方分布的概率密度函数 poisspdf 泊松分布的概率密度函数 raylpdf 雷利分布的概率密度函数 tpdf 学生氏t分布的概率密度函数 unidpdf 离散均匀分布的概率密度函数 unifpdf 连续均匀分布的概率密度函数 weibpdf 威布尔分布的概率密度函数 Ⅰ-2 累加分布函数 函数名对应分布的累加函数 betacdf 贝塔分布的累加函数 binocdf 二项分布的累加函数 chi2cdf 卡方分布的累加函数 expcdf 指数分布的累加函数 fcdf f分布的累加函数 gamcdf 伽玛分布的累加函数 geocdf 几何分布的累加函数 hygecdf 超几何分布的累加函数 logncdf 对数正态分布的累加函数 nbincdf 负二项分布的累加函数 ncfcdf 非中心f分布的累加函数 nctcdf 非中心t分布的累加函数 ncx2cdf 非中心卡方分布的累加函数 normcdf 正态（高斯）分布的累加函数 poisscdf 泊松分布的累加函数 raylcdf 雷利分布的累加函数 tcdf 学生氏t分布的累加函数 unidcdf 离散均匀分布的累加函数
教案0513条件概率
教学对象管理系505-13、14、15；经济系205-1、2 计划学时 2 授课时间2006年3月10日；星期五；1—2节 教学内容 第三节条件概率 一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式* 教学目的通过教学，使学生能够： 1、理解条件概率的定义 2、掌握条件概率的计算 3、会用乘法公式解决概率的计算 4、*了解全概率公式 知识： 1、条件概率； 2、乘法公式； 3、全概率公式； 技能与态度 1、条件概率的解题方法。 2、会使用乘法公式 3、了解全概率公式 教学重点条件概率与乘法公式 教学难点全概率公式 教学资源自编软件 教学后记培养方案或教学大纲 修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见
教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任：系部主任： 教学活动流程 教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课 复习内容：（6分钟） 1、概率的统计定义 2、概率的古典定义 3、作业讲评 导入新课：（2分钟） 在实际问题中，常常需要计算在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。随机试验的条件不同，随机事件发生的概率也不相同。如在1万张彩票中，有一张是特等奖。若不知道任何条件，从中任取一张，取出特等奖的概率为万分之一。若已知前面9900张已被取出，且没有特等奖，此时从中任取一张，取出特等奖的概率是百分之一。为了研究较为复杂的随机现象，首先研究条件概率巩固所学知识， 与技能 解决作业中出现 的问题 提问讲解 二、明确学习目标1、理解条件概率的定义 2、掌握条件概率的计算 3、会用乘法公式解决概率的计算 4、*了解全概率公式和贝叶斯公式； 三、知识学习（58分钟） （一）条件概率
在计算边缘概率密度的时候如何给积分定限
设（X,Y）的概率密度为f(x,y)=｛8xy 0≤x≤y , 0≤y≤1 ｛0 其他 求关于X及关于Y的边缘概率密度 解：当0≤x≤1时，fx(x)=∫ f(x,y) dy [积分限为X 到1 ] 当0≤y≤1时fY(y)=∫ f(x,y) dx [积分限为0到y] 上面写的解只是只是其中一部分. 请教各位高手...为什么∫fx(x) 的积分限定在了X到1 而不是0到X ？而求Y的边缘概率密度时∫ fY(y) 的积分限定在了0到y 而不是y到1 呢？ 我不会确定二维边缘概率密度积分的限定，基础差.. 诚心提问.各位高手解释的通俗易懂点. 谢了 为什么∫ fx(x) 的积分限定在了X到1 而不是0到X ？ 求X的边缘密度，即取定的x的值，对Y进行积分，积分区间本来为负无穷到正无穷，但它的不为零的部分为图(a)所示，y的值由y=x变化到y=1这一部分。 而求Y的边缘概率密度时∫ fY(y) 的积分限定在了0到y 而不是y到1 呢？ 这时取定的y的值，对x进行积分,如图(b)所示，x的值由x=0变化到x=y ////// 题目:f(x.y)= {1, 0 ///// 求f(x)时是对dy积分这个不错吧书上的公式是这样的y的变化的确是从0到x 这个你理解了的 对于第二个： 你在直角坐标系下做出0 目录 1、 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2、 正态分布(高斯分布) ............................................................................... 2 3、 指数分布 ...................................................................................................... 2 4、 Beta 分布(β分布) .................................................................................. 2 5、 Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6、 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7、 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8、 Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9、 Cauchy 分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布) .. (7) 10、 2 χ分布(卡方分布) (7) 11、 t 分布 ........................................................................................................ 8 12、 F 分布 ........................................................................................................ 9 13、 二项分布 ................................................................................................ 10 14、 泊松分布(Poisson 分布) .................................................................. 10 15、 对数正态分布 ....................................................................................... 11 1. 均匀分布 均匀分布~(,)X U a b 就是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。 1 ()f x b a = - 、八— 前言 由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点内部使用，仅供参考，不承当任何后果。 参考： 课本 课件 该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解 第一节 重点：德摩根律公式 交换律：AU B=BU A, AB=BA 结合律(AU B)U C=AU (BU C) (An B) n c=An (B n)c 分配律：An (BU C) = (A n B)( A n c ) AU (B n C) = (A B) n (AJ C) 德摩根律 AU B AI B AI B AU B 第二节 频率性质 1 . 2 . 样本任意一事件概率不小于0 （非负性）样本事件概率和为1 （规范性） 3 . 如果AB 互斥f n(AUB) f n(A) f n(B) 4 . 如果AB 不排斥f n(AUB) f n(A) f n(B) f n(A B) 5 . P(A) 1 P(A). 第三节古典概型 样本空间中样本点有限，既事件有限 样本点概率等可能发生 p A k A 中所含的基本事件数 ()n 基本事件总数— 例题 例1将一枚均匀硬币抛掷三次. ⑴设事件出为“恰有一次出现正面‘‘，求PU1)； (2)设事件如为“至少有一次出现正面”.求P{A^. 解(1)记H 表示出现正面，丁表示出现反面，则样 本空间可表示为 Q = {HHH, HHT, HTH, THH, UTT ： THT, TTH, ITT} 由对称性知M 中每个基本事件发生的可能性相同. 又 A,^{HTTJHT,TTH}.由此知 P(4)-3/8. 排列组合问题(要是考应该不会太难) 性质 1. 2. 3. 概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性” 类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值(实值或向量值)的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数——一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 F(x) P([X ( ,x)]) P([X p x]),( p xp ). 这样规定的函数F(x)的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值a1,a2,..., 使得 P([ X { a1, a2 ,...}]) 1 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 (1) X可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a,使P([X a]) 1 o 称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数 a 来确定。 (2) X可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a , b，使 P([X {a,b}]) 1.称这种随机变数的分布为两点分布。如果P([X b]) p，那么，P ([X a]) 1 p。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数a,b及一个在区间(0,1 )内的值p来确定。 特殊地，当a,b依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零 -壹分布可以用一个在区间(0，1)内的值p来确定。 (3) X可能取的值只有n个：a1,...,a2 (这些值互不相同)，且，取每个a：值 ■. 、. 1 第三章 条件概率与事件独立 第一节 条件概率 一、问题提出 问题：设A ={甲厂产品}，A ={乙厂产品}，B ={合格品}， %70)(=A P ，甲厂合格率%951=p ,求)(AB P . 解：665.095.07.0)() ()()()()()()(1=?=== =p A P A m AB m S m A m S m AB m AB P 其中 ) ()() (/)()(/)() ()(A P AB P S m A m S m AB m A m AB m = = 表示在甲厂中考察的合格率. 二、条件概率 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，F B A ∈,，0)(>A P .称比值) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，记作)|(A B P .即 ) ()()|(A P AB P A B P = 注：①)(AB P 与)|(A B P 的区别； ② )|(A B P 一般常用在“在…时,在…下”的情况中； 而)(AB P 则用在A 、B 同时发生的情况中。 2、乘法公式 )|()()(A B P A P AB P =, [0)(>A P ] 3、推广的乘法公式 )|()|()()(AB C P A B P A P ABC P =;[0)(>AB P ] )|()|()()(1112121-=n n n A A A P A A P A P A A A P . [0)(121>-n A A A P ] 例1 五个开关有一个可开灯，试开三次，A ＝{灯亮},求)(A P . 解：设i A ＝{第i 次试开灯亮},3,2,1=i .那么321211A A A A A A A ++=,则 )|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++= 5 33 14 35 44 15 45 1= ??+?+= . 三、性质 令)|()(A B P B Q =,F B ∈，显然R →F :Q ,F A ∈,0)(>A P . (1) F B ∈?,0)|()(≥=A B P B Q ; (2)1)|()(==A S P S Q ; 证明：1) ()() ()()|()(== = =A P A P A P AS P A S P S Q . (3)F ∈?i B 两两互斥,N ∈i ,)|()|(1 1 A B P A B P i i i i ∞=∞=∑=∑.即 )()(1 1 i i i i B Q B Q ∞=∞=∑=∑. 证明：)|() ()() ()()() ()|(1 1 1 1 1 A B P A P AB P A P AB P A P AB P A B P i i i i i i i i i i ∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =∑=∑ =∑= ∑= ∑. 由(1)(2)(3)可知，),,(Q S F 也是一个概率空间. 这样概率具有的性质，条件概率同样具有.如 (4) F ∈?21,B B ,若21B B ?，则 )|()|()|(1212A B P A B P A B B P -=-. (5) F ∈?B )|(1)|(A B P A B P -=. (6) F ∈?21,B B ，则 )|()|()|()|(212121A B B P A B P A B P A B B P -+= . 10种概率密度函数function zhifangtu(x,m) %画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=min(x); b=max(x); l=length(x); h=(b-a)/m; %量化x x=x/h; x=ceil(x); w=zeros(1,m); for i=1:l for j=1:m if (x(i)==j) %x(i)落在j的区间上，则w(j)加1 w(j)=w(j)+1; else continue end end end w=w/(h*l); z=a:h:(b-h); bar(z,w); title('直方图') function y=junyun(n) %0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=ones(1,n); x=ones(1,n); m=100000; x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m); x0=floor(x0/2); x0=2*x0+1; u=11; x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=u*x(i)+0; x(i+1)=mod(x(i+1),m); x(i)=x(i)/m; end %x(n)单位化 x(n)=x(n)/m; y=x; function y=zhishu(m,n) %指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=junyun(n); for i=1;n if (x(i)==0) x(i)=0.0001; 第三节 条件概率 分布图示 ★ 概念引入 ★ 条件概率的定义 ★例1 ★例2 ★例3 ★ 乘法公式 ★例4 ★例5 ★例6 ★ 全概率公式 ★例7 ★例8 ★例9 ★ 例10 ★ 贝叶斯公式 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 10-3 内容要点 一、条件概率的概念 引例 在事件 A 发生的条件下 ,求事件 B 发生的条件概率 ,记作 P(B | A) . 二、条件概率的定义 定义 1 设 A,B 是两个事件 , 且P(A) 0, 则称 P(AB) (1) P(B | A) P( A) 为在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 的条件概率 .相应地，把 P (B ) 称为无条件概率。一般地， P(B | A) P(B) . 计算条件概率有两种方法 : a) 在缩减的样本空间 A 中求事件 B 的概率，就得到 P(B|A)； b) 在样本空间 S 中，先求事件 P ( AB ) 和 P( A) ，再按定义计算 P(B | A) 。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到 : P(AB) P( A) P(B | A) (P( A) 0) (2) 注意到 AB BA , 及 A, B 的对称性可得到 : P(AB) P(B)P(A | B) (P(B) 0) (3) (2) 和 (3)式都称为 乘法公式 , 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 . 四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。 它使一个复杂事件的概率计算问题， 可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理 1 设 A 1, A 2 , , A n , 是一个完备事件组 ,且 P( A i ) 0, i 1,2, , 则对任一事件 B ,有 P (B ) P (A 1)P (B | A 1 ) P ( A n )P ( B | A n ) 注 : 公式指出 : 在复杂情况下直接计算 P( B) 不易时 ,可根据具体情况构造一组完备事件 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。 称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
概率论(仅供参考)
概率论中几种常用重要分布
第03章 条件概率与事件独立
10种概率密度函数程序
03第三节条件概率
概率论中几种常用的重要的分布