最新版教材高中数学必修二知识讲解_圆的方程_提高

圆的方程

【学习目标】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【要点梳理】

【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程

222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.

要点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2

2

2

x y r +=.有关图形特征与方程的转化：

如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：

||||a b r ==；过原点：222

a b r +=

(2)圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有

(1)若点()00M x y ，在圆上()()22

2

00||CM r x a y b r ?=?-+-=

(2)若点()00M x y ，在圆外()()22

2

00||CM r x a y b r ?>?-+->

(3)若点()00M x y ，在圆内()()22

2

00||CM r x a y b r ?

要点三：圆的一般方程

当22

40D E F +->时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ??

-

- ??

?为圆心，

为半径. 要点诠释：

由方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=得22

224224D E D E F x y +-?

???+++= ? ??

???

(1)当22

40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-

=-.它表示一个点(,)22

D E

--. (2)当2

2

40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当22

40D E F +->时，可以看出方程表示以,2

2D E ??

-- ???为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.

(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；

(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．

【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.

【答案】（1）229x y +=（2）22

(2)10x y -+=（3）()()22

8325x y -++= 【解析】(1)22

9x y +=

(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为

||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.

(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ==

=，圆心在点()8,3C -

∴圆的方程是()()2

2

8325x y -++=

解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()2

2

2

83x y r -++=

又∵点()5,1P 在圆上，∴()()22

2

5813r -++=，∴2

25r =

∴所求圆的方程是()()22

8325x y -++=.

【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；

（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

举一反三：

【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y―1)2=10

C ．(x―4)2+(y+1)2=100

D ．22

(4)(1)x y -++=【答案】A 例2．（2015秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y =0上，且圆过两点A （1，4），B （3，2）；

（2）圆心在直线2x +y =0上，且圆与直线x +y ―1=0切于点M （2，―1）． 【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C 的方程；

（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x +y =0上得出一个方程；再由圆心到直线x +y ―1=0的距离即半径得出另一个方程．

【答案】（1）22(1)20x y ++=；（2）22

(1)(2)2x y -++= 【解析】（1）∵圆心在直线y =0上， ∴设圆心坐标为C （a ，0）， 则|AC |=|BC |，

= 即 2

2

(1)16(3)4a a -+=-+， 解得a =―1，即圆心为（―1，0），

半径||r AC ===， 则圆的标准方程为 2

2

(1)20x y ++=， （2）设圆心坐标为（a ，b ），

则20a b +=??

=解得a =1，b =－2

，∴r =

∴要求圆的方程为 2

2

(1)(2)2x y -++=． 举一反三：

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题1】

【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上；

（2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=

截得的弦长为 【答案】（1）2

2

(1)(2)10x y +++=（2）2

2

(1)(3)9x y -+-=或2

2

(1)(3)9x y +++= 【解析】

（1）设圆的方程为：()2

2

2

()x a y b r -+-=，则

()()()()222

222

2325230a b r a b r a b ?-+--=?

?--+--=??--=??

，解得：21,2,10a b r =-=-= 所求圆的方程为：2

2

(1)(2)10x y +++= （2）设圆的方程为：()22

2

()x a y b r -+-=，则

(

)2222

30

142r b a b a b r ?=??

-=??-+=??解得：2139a b r ?=?=??=?或2139a b r ?=-?=-??=? 所求圆的方程为：2

2

(1)(3)9x y -+-=或2

2

(1)(3)9x y +++=．

类型二：圆的一般方程

例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆． （1）求t 的取值范围；

（2）求这个圆的圆心和半径；

（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．

【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．

【答案】（1）1

17

t -<<（2）（t+3，4t 2－1）

3

22

2413167497x y ????-++= ? ??

???

【解析】（1）已知方程表示一个圆?D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t―1＜01

17

t ?-

<<． （2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t―7t 2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）

．

（3

）由7r ===≤． ∴r

的最大值为

7

，此时圆的标准方程为 2

2

2413167497x y ????-++= ? ?????

．

【总结升华】 在本例中，当t 在1,17??

-

???

中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2

3

41

x t y t =+??

=-?得y=4(x―3)2―1，再由1

17

t -

<<，知

2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ??

=--<< ???

的圆系方程． 举一反三：

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】

【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径；

（2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程． 【答案】（1）()2

2

4(1)5x y -+-= （4，1）

（2）22113300x y x y +-+-=

【解析】

（1）法一：设圆的方程为：2

2

0x y Dx Ey F ++++=，则

8220345301030D E F D E F D E F +++=??+++=??+-+=?，解得：8212D E F =-??

=-??=?

所以所求圆的方程为：2

2

8220x y x y +--+=，即()2

2

4(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1），

法二：线段AB 的中点为为75,22??

???

，321523AB k -==-

线段AB 的中垂线为57322y x ?

?-

=-- ??

?，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=

联立2603130x y x y +-=??

+-=?，解得41

x y =??=?

所以所求圆的方程为（4，1）

，半径r ==所以()2

2

4(1)5x y -+-=．

（2）法一：设圆的方程为：22

0x y Dx Ey F ++++=，则

2024062382100860

D E F E

D D

E

F --+=??

?+?=??+

?

?+++=?，解得：11330D E F =-??=??=-? 所以圆的方程为2

2

113300x y x y +-+-=．

法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，

由318040x y x y --=??+-=?得：圆心坐标为113,22??- ???，由两点间距离公式得半径21252r =，

所以圆的方程为2

2

113125222x y ???

?-++= ? ?????

．

【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．

【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a a

a -??

- ???

，半径||r a = 【变式3】方程2

2

2

2210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 A ．2a <-或23a > B ．203a -<< C ．20a -<< D ．2

23

a -<< 【答案】D

【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2

223()124a x y a a a ?

?+++=--+ ??

?，所以若方程表示圆，

则有23104a a -

-+>，∴ 234

40a a +-<，∴ 2

23

a -<<． 例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程． 【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．

【答案】（1）x 2+y 2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有

5260228055500D E F D E F D E F -+++=??--++=??+++=?，解得4220D E F =-??

=-??=-?

． 故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x―2y―20=0．

解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1）

，∴半径5r ==，

∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x 2+y 2―4x―2y―20=0．

（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，

∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|． 设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①

又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3）， ∴圆心在PQ 的垂直平分线上，

即51322y x ?

?-

=+ ??

?，即y=3x+4，∴b=3a+4． ②

由①知a=±b ，代入②得11a b =-??=?或2

2a b =-??=-?

．

∴r ==5．

故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．

即x 2+y 2+2x―2y―3=0或x 2+y 2+4x+4y―17=0． 解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0． ∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），

∴22122049230

D E F D E F ?++++=?+-++=?，解得38117E D F D =-??=-?．

∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0．

∴圆C 在x 轴上截得的弦长为12||x x -=

将x=0代入得y 2+(3D―8)y+11―7D=0，

∴圆C 在y 轴上截得的弦长为12||y y -=

=D 2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．

故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y―7=0或x 2+y 2+2x―2y―3=0．

【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．

（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．

（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．

举一反三：

【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

【答案】0,3? ??

2

2

43x y ?+= ?? 类型三：点与圆的位置关系

例5．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10， 分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；

(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．

【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内?|PQ |＜r ；点P 在圆上?|PQ |=r ；点P 在圆外?|PO |＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a )2+(y ―b )2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上?(x 0―a )2+(y 0―b )2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外?(x 0―a )2+(y 0―b )2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内?(x 0―a )2+(y 0―b )2＜r 2．

举一反三：

【变式1】点（a +1，a ―1）在圆2

2

240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是________． 【思路点拨】直接把点（a +1，a ―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a 的范围． 【答案】（－∞，1） 【解析】∵点（a +1，a ―1）在圆2

2

240x y ay +--=的内部（不包括边界）， ∴ 2

2

(1)(1)2(1)40a a a a ++----<，

整理得：a ＜1．

故答案为：（－∞，1）． 类型四：轨迹问题 例6．（2016 广东中山市模拟）已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到A （3，―6）的距离之比均为

12

． （1）求曲线C 的方程． （2）设点P （1，―2），过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于B ，C 两点，且直线PB 和直线PC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值．

【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C 的方程．

（2）直线与圆的方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC 的斜率为定值．

【答案】（1）2

2

(1)(2)20x y ++-=；（2）直线BC 的斜率为定值1

2

-． 【解析】（1）曲线C 上的任意一点为Q （x ，y ），

221

(1)(2)202

x y =

?++-= （2）证明：由题意知，直线PB 和直线PC 的斜率存在，且互为相反数，P （1，―2）， 故可设P A ：y +2=k （x ―1）， 由222222

2(1)

(1)2(14)830(1)(2)20

y k x k x k k x k k x y +=-??++--++-=?

++-=?

因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得22

83

1A k k x k +-=+， 同理，22

83

1B k k x k --=+，

所以(1)(1)2()1

2

B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+=

===----

故直线BC 的斜率为定值12

-

． 【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M （x ，y ）； （2）几何点集：写出满足题设的点M 的集合P ={M |P (M )}；

（3）翻译列式：将几何条件P （M ）用坐标x 、y 表示，写出方程f (x ,y )=0； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；

（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 例7．已知定点A （4，0），P 点是圆x 2+y 2=4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程． 【答案】(x―2)2+y 2=1

【解析】 设Q 点坐标为（x ，y ），P 点坐标为（x ＇，y ＇），则4'2x x +=

且0'

2

y y +=，即x ＇=2x―4，y ＇=2y ．

又P 点在圆x 2+y 2=4上，∴x ＇2+y ＇2

=4，将x ＇=2x―4且y ＇=2y 代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y 2=1． 故所求的轨迹方程为(x―2)2+y 2=1．

【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x ，y ），在已知曲线上运动的点的坐标为（x ＇，y ＇），用x ，y 表示x ＇，y ＇，即x ＇=f (x,y)，y ＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．

举一反三：

【变式1】已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．

【答案】2

22439x y ?

?-+= ??

?

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题5】

【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．

【解析】以两定点所在的直线为x 轴，以两定点所在线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设两定点分别为()1,0,(1,0)A B -，设动点(,)P x y ，则

||

(1)||PA c c PB =≠，

c =，

整理得：()2

2

22221(1)(22)10c

x

c y c x c -+-+++-=

所以222222101c x y x c ++++=-，即()

2

222

2221411c c x y c c ??+++= ?-??- 所以动点的轨迹是一个圆．