数值分析期末试题

第一套

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

???

??=++-=+--=+-11

2123454

321321321x x x x x x x x x

二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4

三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：

?9

1

dx

x n=4

四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。

五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。

六、（10分）方程组AX=B 其中A=?????

????

?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时

迭代收斂。

七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2

2

)(}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的

代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分}

证明：

A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量.

第二套

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

???

??=++=+-=+3

2221

43321

32132x x x x x x x x

二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0,

y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1

三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用

?

??????

-+-+=++==++=+1

3121231)1(,)1((),(),()(2

hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

复化的梯形公式、

复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：

?2

/s i n πx d x

四、（12分）证明下列龙格－库塔方法是三阶的。

五、（10分）试确定常数A,B,C 使得数值积分公式

?++≈2

)

2()1()0()(Cf Bf Af dx x f

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有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。

六、（14分）用牛顿法构造求c 1

公式，验证其收敛性。并求1/ e(保留4位有效数字)。 七、{10分}证明：设非负函数N(x )=x 为R n 上任意向量范数，则N(x )是x 分量x 1,x 2,…x n 的

连续函数.

参考答案

一、解：（8分）

???

??=++=+-=+3

2221

43321

32132x x x x x x x x

增广矩阵：

??????????→??????????-→??????????-12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431 (4分) 解得：x 1=2/3, x 2=-1/3 x 3=1./2 （8分） 二、解：（12分）

注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商

设 P(x)=φ0(x)y(0)+φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ0(x) y’(0)+ψ1(x) y’(1) (4分)

解得：

1(x)=x 2(x-2)2 φ2(x)=(1/12)x 2(x-1)2 ψ1(x)=-x 2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ1(x) y’(1)= φ1(x) +φ2(x)+ψ1(x)

??????

?++=++==++=+)

3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

= x 2(x-2)2+(1/12)x 2(x-1)2 +x 2(x-1)(x-2) (4分)

三、解：（14分） 推证复化的梯形公式 (3分)

推证复化的辛普生公式 (3分)

利用复化的梯形公式

?2

/0

sin πxdx

=0.96593 利用复化的辛普生公式

?2

/0

sin πxdx

=1.000003

四、（12分）证明：

k 3=f(x n ,y n )+2h/3f’(x n ,y n )+(2h/3)2f’’(x n ,y n )/2+0(h 2) (4分) y n+1=y n +h/4(3 k 3+k 1)= y n + h f(x n ,y n )+h 2f’(x n ,y n )/2+h 3/6f’’(x n ,y n ) +0(h 3) (8分) y n+1*= y n + h y n ’ +h 2y n ’’/2+h 3/6 y n ’’’ +0(h 3) y n+1 -y n+1*=0(h 3)

则该公式是三阶的 (12分)

五、解：（10分） 将1，x,x 2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3

解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3

?

++≈

2

)2(31

}1{34)0(31)(f f f dx x f (8分)

代数精确度为2 (10分)。

六、证明：（14分）1/x-c=0

X k+1=x k -)()

(k k x f x f '=x k (2-cx k ) X k+1-1/c=-c(x k -1/c)2

设r k =1-cx k r k+1=r k 2 反复递推 r k =02

r k

(8分)

若选初值0

七、{10分}证明：设x =

∑=n

i i

i e

x 1

y =

∑=n

i i

i e

y 1

(4分)

)

(0)()()(1

1

∑∑=∞

==→-≤--≤-=-n

i i i n i i i e c y

x c e y x y x y x y N x N

?

?????

?

++=++==++=+)

3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

..(10分)

第三套

一、 （10分）利用列主元素消去法解方程：

??????????=?????????????????????---453311294642321x x x

二、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：

)

43

,43()

2,2()

,()

432(9

3213211h y h x f k h

y h x f k y x f k k k k h

y y n n n n n n n n ++=++==+++=+

三、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,

四、 （20分）确定下面公式中的a,b ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次

数:

)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a

b dx x f b

a

'-'-++-≈

?

五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式，并分别

利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分

?9

1

dx

x (n=8)

六、（15分）用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数

的近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。 七、（10分）设?是n n R ?中的任意范数，n n R A ?∈，则有A A ≤)(ρ

参考答案

五、（10分）利用列主元素消去法解方程：

解：

???????????????

?

-→?????

?????---4112

5

)45(021521

0529445331129)4(642 （5分）

x 1=139/20, x 2=5/2, x 3=-3/20 （10分）

六、（15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：

证:)(61

)(21)()()(321ξy h x y h x y h x y x y n n n n '''+''+

'+=+（5分）

))

(,(21

)21(),(21),(22ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=（9分） ))

(,(21

)43(),(43),(23ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=（13分） ∴y(x n+1)- y n+1=o(h 3

) （15分）

七、（10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,

解：设)()()()()(2211

21103x p x p x p x p x p ??φφ'+'++= （2分） 0)1(,0)0,0)1(,1)0(1(111='='==φφφφ

0)1(,0)0(,1)1(,0)0(22

22='='==φφφφ 0)1(,1)0(,0)1(,0)0(11

11='='==???? 1)1(,0)0(,0)1(,0)0(22

22='='==???? （6分） =∴)(3x p 3+4x-2x 2+6x 2(x-1) （10分）

八、（20分）确定下面公式中的a,b ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:

)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a

b dx x f b

a

'-'-++-≈

?

解：将1,x ，x 2,,x 3

代入)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a

b dx x f b

a

'-'-++-≈

?

（4分）

得]

22[)(][2)(31222

33b a a b a b a a b a b --++-=-（10分）

]33[)(][2)(412223344b a a b a b a a b a b --++-=-

a=b=1/2（15分）

将1,x ，x 2,,x 3,x 4,x 5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。（20分）

五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式，并分别利用复化的梯

形公式和Simpson 公式计算积分

?9

1

dx

x (n=8)

证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）

Simpson 公式推导复化Simpson 公式（10分）

解：利用复化的梯形公式

?9

1

dx

x (n=8) =17.22774 （15分）

Simpson 公式计算积分

?9

1

dx

x (n=8)=17.32222 （20分）

六、（15分）用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，

须作几次；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。 解：须作3次（5分）

将[1,1.5] [1，1.25], [1.25,1.5] f(1)<0, f(1.25) <0, （8分） 将[1.25,1.5] 二分为[1.25,1.375],[1.375,1.5] f(1.375) >0, （10分） 将[1.25,1.375]二分为[1.25,1.3125],[1.3125,1.375] f(1.3125) <0（12分）

∴[1.3125,1.375]的 中点为方程f(x)=x 3+4x 2-10的近似根（15分）

七、设

?是n n R ?中的任意范数，n n R A ?∈，则有A A ≤)(ρ

证: 设λ是的任意特征值，x 为相应的向量, （2分）

则x Ax λ=, x A Ax x x ≤==λλ （8分）∴A A ≤)(ρ（10分）