人教版最新高考数学总复习之【立体几何好题难题集萃】及参考答案

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参考答案

______年______月______日

____________________部门

(附参考答案)

浙江理（14）(安徽卷）理科数学（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面内，

其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是：αααα

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号） 解：如图，B 、D 、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D 、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B 、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D 、B 的中点到平面的距离为，所以C 到平面的距离为3；C 、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P 为C 、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。

αααα

α

αα32αα72α

3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有D 1111D C B A ABCD -11D DBB

A ．4条

B ．6条

C ．8条

D ．12条

4、若是平面外一点，则下列命题正确的是D P α

（A ）过只能作一条直线与平面相交 （B ）过可作无数条直线与平面垂直P αP α

（C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行P αP α

【说明】过一点作已知平面的垂线有且只有一条（唯一性） 过平面外一点可作无数直线与已知平面平行（存在性）

(浙江文)（17）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)(文)求BD 与平面ADMN 所成的角。 (理) 求CD 与平面ADMN 所成的角 解：方法一： （Ⅱ）(文)连结DN ， 因为PB ⊥平面ADMN ，

所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角. 在中, Rt BDN

?1

sin ,2BN BDN BD ?=

=

故BD 与平面ADMN 所成的角是.6π

方法二：

如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1，则

A xyz -(0,0,0)A

1

(0,0,3),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)

2P B M D

（Ⅱ）因为 所以PB ⊥AD. 又PB ⊥DM. (2,0,2)(0,2,0)

PB AD ?=-?0=

因此的余角即是BD 与平面ADMN.所成的角. PB AD 因为 所以=

cos 3PB AD π=

PB AD 3π

因此BD 与平面ADMN 所成的角为. 6π

(理) （II ）取的中点，连结、，AD G BG NG 则，//BG CD

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.BG ADMN CD ADMN

因为平面，PB ⊥ADMN

所以是与平面所成的角.BGN ∠BG ADMN 在中，.Rt BGN

?10

sin 5BN BNG BG ∠=

=

故与平面所成的角是.CD ADMN

10

arcsin

5

方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则A

A xyz -1BC =

1

(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)

2A P B C M D .

（II ） 因为，(2,0,2)(0,2,0)PB AD ?=-?0=

所以，又因为，所以平面PB AD ⊥PB DM ⊥PB ⊥.ADMN 因此的余角即是与平面所成的角.,PB DC <>CD ADMN

因为，

cos ,||||PB DC PB DC PB DC ?<>=

?105=

所以与平面所成的角为.CD ADMN

10

arcsin

5

18、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC1上的点，且CN ＝2C1N.

（Ⅰ）求二面角B1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN 的距离。 解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AMBC ，又AMC,所以AM 面BC ，从

A1

C 1B1

N

而AMM, AMNM ，所以MN 为二面角，—AM —N 的平面角。又M=,MN=,⊥⊥

1C ⊥1C 1B ⊥1B ⊥∠1B 1B 1B 2

2

1B B BM

+15142

=+

=22145

496MC CN +=

+=

连N ，得N ＝，在MN 中，由余弦定理得。故所求二面角—AM —N 的平面角的余弦值为。1B 1

B 22111110193

B C C N +=+

=?1

B 222111152510

5

4369cos 2555

226

B M MN B N B MN B M MN +-

+-===

??

1B 55

（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH 。于是H 平面AMN ，故H 即为到平面AMN 的距离。在中，H ＝M 。故点到平面AMN 的距离为1。1B 11BCC B 1B H MN ⊥H

AM ⊥11BCC B ⊥1B 1B ⊥1B 1B 11R B HM ?1B 1

B 151sin 11

25

B MH =

?-=1B 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），

M （0，，0）,1B 1

2

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，2331,,0

22-

3

(

,0,0)

2AM =，,。

11(0,,1)2MB =-12(0,,)23MN = 因为

131

00()01022MB AM =

?+?-+?=所以,同法可得。1MB AM

⊥MN AM ⊥

故﹤﹥为二面角—AM —N 的平面角1,MB MN 1B

∴﹤﹥＝cos 1,MB MN 115

5

12.

55526MB MN MB MN ?==??

故所求二面角—AM —N 的平面角的余弦值为。1B 5

5

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN 的一个法向量，则由得

,n AM n MN ⊥⊥

3

0024120323x x y z y z ?=?=?????

?=-??+=??? 故可取

3(0,,1)4n =- 设与n 的夹角为a ，则。1MB 115

25

3cos 35523MB n a MB n

?===

??

所以到平面AMN 的距离为。1B 1525

cos 125MB a ?=

?=

（17）（本小题共14分）

如图，在底

面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.P ABCD

-F

E

O

B

A

P

AB AC ⊥PA ⊥ABCD PA AB =E PD

（Ⅰ）求证：；AC PB ⊥ （Ⅱ）求证：平面；//PB AEC （Ⅲ）求二面角的大小.E AC B -- 解：（1）由平面可得PAAC^PA ⊥ABCD 又，所以AC 平面PAB ，所以^AB AC ⊥ （2）如图，连BD 交AC 于点O ，连EO ，则 EO 是△PDB 的中位线，EOPB\// \PB 平面//AEC

（3）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则

EF 是△PAD 的中位线，EFPA 又平面，EF 平面\\^//PA ⊥ABCD

ABCD

同理FO 是△ADC 的中位线，FOABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二面角E －AC －D 的平面角.又FO ＝AB ＝PA ＝EFEOF ＝45而二面角与二面

角E －AC －D 互补，故所求二面角的大小为135.\\^\D\D°°//121

2E AC B --E AC B --

（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，

第三小问满分5分）

在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满

足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到的位置，使二面角A1－EF －B 成直二面角，连结A1B 、A1P （如图2）EF A 1?

（Ⅰ）求证：A1E ⊥平面BEP ；

（Ⅱ）求直线A1E 与平面A1BP 所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B －A1P －F 的大小（用反三角函数表示）

19(06年江苏19分)本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。

解法一：不妨设正三角形ABC 的边长为3

在图3中，过F 作FM ⊥ A1P 与M ，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,

∴△FCP 是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ ①,

1

12PQ BP =

=

∵A1E ⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q, 3EQ EF == ∴△A1FP ≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ②, 由①②及MP 为公共边知△FMP ≌△QMP, ∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,

从而∠FMQ 为二面角B －A1P －F 的平面角.

在Rt △A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ ⊥A1P ∴15

A P =11255A Q PQ

A P

MQ ?=

=

∴在△FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得

255

MF =

3QF =

在△FMQ 中，

222

7cos 28MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠==-

? ∴二面角B －A1P －F 的大小为

7

arccos

8π-

[06浙江(理)17] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.

变式1：求面PAB 与面PCD 所成角 利用面积射影或转化为有棱二面角

变式2：E 为AD 中点,求面PAB 与面PCE 所成角 点面距离

[06湖南(理)18] 如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设.由P －ABCD 与Q －ABCD O BD AC =

都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD. 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面

ABCD.

（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以．由（I ），平面，

故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，，

AC BD ⊥PQ ⊥ABCD x y z (0,0,1)P (0,0,2)Q -(0,22,0)B

所以,,

于

是

)

2,0,22(--=AQ (0,22,1)

PB =-3cos ,.9AQ PB

AQ PB AQ PB

?<>=

=

?

从而异面直线AQ 与PB 所成的角是.

3arccos

9

(Ⅲ)．由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－，0），，

2

2)0,22,22(--=AD

(0,0,3)PQ =-，设是平面QAD 的一个法向量，),,(z y x n =

由 得.?

???

?=?=?00AD n AQ n ?????=+=+00

2y x z x

取x=1，得. 所以点P 到平面QAD 的距离.)

2,1,1(-

-=n 32

.2

PQ n d n

?=

=

解法二： （Ⅰ）．取AD 的中点M ，连结PM ，QM.因为P －ABCD 与Q －ABCD

都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM. 从而AD ⊥

平面PQM.

又平面PQM ，所以PQ ⊥AD.同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥

平面ABCD.?PQ

（Ⅱ）．连结AC 、BD 设，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在O BD AC =

PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.

取OC 的中点N ，连结PN ．

因为，所以，

11,22PO NO NO OQ OA OC ===PO NO

OQ OA = 从而AQ ∥P Ｎ.∠BP Ｎ（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.连接BN ，

因为．

222(22)13

PB OB OP =+=+=

所以．

22293103

cos 29233PB PN BN BPN PB PN +-+-∠===

??? 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是．

3

arccos

9

(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD ⊥平面P ＱM ，所以平面P ＱM ⊥平面QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ

于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD ，所以ＰＨ的长为点P 到平面QAD 的

距离．

连结OM ，则.所以，

1

22

OM AB OQ

=

==45MQP ∠= 又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.

32

sin 452PH PQ ==

即点P 到平面QAD 的距离是.32

2

（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球

面上的球面距离是B

(A) (B) (C) (D)4π3π2

π

42π

EF 球面距离←∠EOF ←EF ←题设条件 3.三种问题

接切问题、截面问题、折叠问题，非主干知识，考查的频率不高，但它们不会被遗忘

1)接切问题往往需要根据图形的对称性，进行空间想象，合情推理，画出合理的截面图

例 1 [06全国(Ⅲ)9] 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．16π B．20π C．24π D．32π说明】几个结论：

1）正四棱柱的对角线是外接球的直径

2）正方体的对角线是外接球的直径

3）正方体的棱长是内切球的直径

4）若球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线是球的直径

例2

[06江苏9] 两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）无穷多个

两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）无穷多个

【思路点拨】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积

【正确解答】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在

正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱

长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，

问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D.

2)截面问题难有定式可循，往往难度较大

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心

的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 C

2

A． B．2

3

2

图1

C． D．23

3)折叠与展开

折叠与展开的关键是在折叠与展开的过程中各元素之间位置关系

与数量关系是否变化

折叠所得立体图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在平面

图形中寻找

展开所得平面图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在立

体图形中寻找，展开体现了降维、化归思想

(06山东理12题)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠

DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，

使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为C

(A) (B) 2734π

26π (C) (D) 8

6π

246π

(06江西文)15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为

10

．111ABC A B C -A 1A

解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，111ABC A B C - 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。 4.四点加强 1)加强设问的开放性 2)加强元素的不定性 3)加强条件的隐蔽性 4)加强知识的综合性

1)加强设问的开放性,就是改变以往”从条件到结论的直线思维模式”，增加过程的探索性

[06辽宁(理)18] (18) (本小题满分12分)]

已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.ABCD E F AB CD ADE DE A DE C --(0)θθπ<<

(I) 证明平面;//BF ADE

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.ACD A BCDE G EF θ

2)加强元素形式的不定性,就是增加过程中元素的运动变化，其表现可以语言表达，也可引入参数，这就需要答题者寻求规律、抓住本质.

06浙江14：正方体在平面上的射影面积

06湖北18：引入参数，点P在CC1上运动

06江西15：折叠，P在BC1上运动，求PC＋A1P

的最小值

还有题目中未出现运动迹象，但需要我们用运动变化的思想去解决的.

3)加强条件的隐蔽性，就是加强对条件的等价转化

[06辽宁(理)16] 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cosα=______

本题转化为正方体

[06湖北(理)18] 如图,在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP＝m.

（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q, 使得对任意的m, D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP, 并证明你的结论。

利用三垂线定理转化，问题等价于“在A1C1上是否存在一点Q,使D1Q⊥AP”

利用逆向思维转化，问题等

价于“在A1C1上是否存在一点Q,O1

G C1

D1

A1

B1

P

使D1Q⊥平面ACC1A1”，故Q是A1C1的中点

4)加强知识的综合性

在以往立几中有与简易逻辑、组合(概率)、解析几何的综合，今年又增加了与函数，数列、不等式的综合.

[06广东(理)14] 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2、3、4、……堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝＿＿＿，f(n)＝＿＿＿＿；（答案用表示）.

立几与数列的综合

[06山东(理)16] ④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.

立几与解几的综合

[06江苏18] 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高h为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

立几与函数\导数的综合