高二数学平面与平面之间的位置关系

平面与平面地位置关系

平面和平面的位置关系 一、知识梳理 1.两个平面的位置关系 （1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． （2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//． 图1 图2 2.两个平面平行的判定 工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是： （1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα??=I ，且//,//,a b ββ则//αβ。（线线平行，则线面平行）。 （2）垂直直于同一直线的两平面平行。 （3）平行于同一平面的两平面平行。 3.两个平面平行的性质 （1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。 （2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。 （3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。 （4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。 4.两个平行平面的距离 （1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。 注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。 （2）两个平行平面的距离 我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。 （1） 二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面为,αβ的二面角，记作二面角AB αβ-- （2）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种 ①直立式 ②平卧式 （3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图，二面角l αβ--， AOB ∠是二面角的平面角． 注意： i ）二面角的平面角的范围是[]0,π，当两个半平面重合时，平面角为0o ；当两个半平面合成一个平面时，

两个平面的位置关系

三.两个平面得位置关系 知识提要 1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系. 2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行． (2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行。 （3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。 3.(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． （２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直. (３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂 直于交线. 4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平 面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。 5.二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两 条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。 6.作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三 角形中求解。 课前练习 １.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它. 解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β） 证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n, 过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。 ， 同理PN⊥ＮＱ． 因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°， 故∠MQN= 90°∠MＰN = 9０° 即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n

检验平面与平面的位置关系

8.5 检验平面与平面的位置关系 上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。 2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观 察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。 3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻 体会到“学以致用”的道理。 教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。 教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸 教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？ （现实问题的提出引发学生学习的兴趣。）引导学生指出，其实问题的关键就在 于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾 斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。那么怎么去检 验呢？这就是我们今天所要学的内容。 二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。为了 和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题： 1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。） 2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？ （一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂 线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角 尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面 垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。 （二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的 三种方法。 1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观 察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。 （四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。观察铅垂线是否紧贴课桌侧 面。）

必修二数学空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理 2005-09-29 09:57:05 一、教学目标 1．使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念. 2．掌握平面的基本性质，即公理1，2，3. 3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题. 4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力. 5．通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法. 二、设计思路 1．本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体――长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察，具有很强的可读性. 2．本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的. 3．设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信. 三、教学建议 本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类. 本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理. 1．本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用. 2．在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目. 3．空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解. 4.本书中的空间两条直线指的是不重合直线. 若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类： （1）同一平面内：平行直线、相交直线； （2）不在同一平面内：异面直线. 若从有无公共点的角度看，也可以分为两类： （1）有只有一个公共点：相交直线； （2）没有公共点：平行直线、异面直线. 5．异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指出：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交. 6．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚（如图1）.不然，就容易画成

空间平面与平面的位置关系教案

（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 图形 复习回顾 引入新课 类比引导 提出问题 定理证明 会用反证法 例题选讲 定理应用 巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置

结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17 图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大

25、基本图形及其位置关系26、三角形

25、基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的 端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角， 那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠ l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果 ∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等， 同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条 平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三 个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的， 因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错 角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（）

平面与平面之间地位置关系(附问题详解)

平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类 ?? ? 有无公共点??? ?? 直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行 (2)按直线是否在平面内分类 ? ?? 直线在平面内——所有点在平面内 直线在平面外??? ?? 直线与平面相交直线与平面平行 思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二 两个平面的位置关系

思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？ 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD， 但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故② 错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系

2019-2020年中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系 一、【课标要求】 1、线段的定义、中点。 2、线段的比较、度量 3、线段公理。 4、直线公理，垂线性质 5、对顶角的性质。 6、平行线的性质、判定 7、射线的定义。8、射线的性质 9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等 10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质 11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 12、线段的垂直平分线及其性质 13、探索平行线性质 14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线 15、度量两平行线间的距离 二：【知识梳理】 1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________． 3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果 _____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. 对顶角的性质： ． 5. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 6. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 7. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 三、【典型例题】 1. 如图,AD=DB, E 是BC 的中点,BE=AC=2cm,线段DE 的长,求线段DE 的长. 2.如图所示，AC 为一条直线，O 是AC 上一点，∠AOB ＝120° OE 、OF 分别平分∠AOB 和∠BOC ，． （1）求∠EOF 的大小； （2）当OB 绕O 旋转时，OE 、OF 仍为∠AOB 和∠BOC 平分线， 问：OF 、OF 有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 E D B A

1.2.4 平面与平面的位置关系

1.2.4 平面与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化． 经典例题：如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数． 当堂练习： 1．下列命题中正确的命题是（） ①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A．①和②B．②和③C．③和④D．②和③和④ 2．设直线,m,平面,下列条件能得出的是（） A．,且B．,且 C．,且 D．,且 3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面．其中假命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知a,b是异面直线，且a平面，b平面，则与的关系是（） A．相交 B．重合 C．平行 D．不能确定 5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（） A．①、② B．②、④ C．①、③ D．②、③

6．设平面，A，C是AB的中点，当A、B分别在内运动时，那么 所有的动点C （） A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面 7．是两个相交平面，a,a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2， 则（） A．d1=d2 B．d1>d2 C．d1

平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间得位置关系 [学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。 知识点一直线与平面得位置关系 1。直线与平面得位置关系 (1)按公共点个数分类 错误! (2)按直线就是否在平面内分类 错误! 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？ 答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、 知识点二两个平面得位置关系

答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面. 题型一直线与平面得位置关系 例1 下列命题中,正确命题得个数就是( ) ①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面; ②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行; ③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ; ④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。 A、0 B.2Ｃ、1 D.3 答案C 解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中, AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ?平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、 跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b?α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ?α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是() A。０B、1C、２D。3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB?平面ABCD,但ＣD?平面ABＣＤ,故①错误; A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误; AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB?平面ＡBCD,故③错误; A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、

两个平面的位置关系

三．两个平面的位置关系 知识提要 1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系． 2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行． (2)判定 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行． (3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． (2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于 另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于另一个平面的直线，也垂直 于交线． 4. 二面角 平面一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一 条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900 时称直二面角。 6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关 三角形中求解． 课前练习 1．α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它． 解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β?m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β?α⊥β） 证明如下：过不在α、β的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n ， 过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ． MQ PM PM m PM m ⊥?⊥?? ??⊥αα//， 同理PN ⊥NQ ． 因此∠MPN ＋∠MQN = 180°，

空间平面与平面的位置关系沪教版高三上教案

14.4（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 图形 复习回顾 引入新课 类比引导 提出问题 定理证明 会用反证法 例题选讲 定理应用 巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置

结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17 图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大

基本图形及其位置关系

基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是的一部分。线段是的一部分，也是的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线 绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°= ′，1′= ″（2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等， 如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相 等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是： 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”．

6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内 角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么，． 10.两条直线被第三条直线所截，如果相等，那么这两条直线平行；如果 相等．那么这两条直线平行；如果互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直 线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB 上． A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则 CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，． （1）求∠EOF的大小； （2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线， 问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 ． 3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD 的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．95°

两平面的位置关系

一、选择题 1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②m∥α，n⊥α，则n⊥m；③m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题中正确的是() A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③α∥c，β∥c ?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥γ，α∥γ?a∥α. 其中正确的命题是()

A．①④B．①④⑤ C．①②③D．①⑤⑥ 4．(优质试题·北京大兴区期末)已知直线l⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β； ④若l⊥m，则α∥β. 其中，正确命题的序号是() A．①②B．③④ C．①③D．②④ 5．下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6．在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，则在三棱锥的四个面中，两两垂直的平面有() A．1对B．2对 C．3对D．4对

高中数学必修二《平面与平面之间的位置关系》优秀教学设计

2.1.4 平面与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.培养学生全面思考问题的能力. 重点难点 平面与平面的相交和平行. 课时安排 1课时 教学过程 复习 1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 导入新课 思路1.(情境导入) 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做两个平面平行？ ②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.

问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果： ①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2. 图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P ∈α且P ∈β?α∩β=l,且P ∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行?若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交?若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4. 图4 应用示例 思路1 例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a ?α,b ?β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图5,直线a 与直线b 的位置关系为平行或异面. 图5 例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图 6. ?

1基本图形及其位置关系

章节第四章课题基本图形及其位置关系课型复习课教法讲练结合 教学目标（知识、能力、教育）1.了解线段、射线、直线、角等简单平面图形，了解平面上两条直线的平行和垂直关系．了解线段、平行、垂直的有关性质 2.会进行有关角度的换算．了解补角、余角J顶角，知道等角的余角相等，等角的补角相等、对顶角相等．掌握直线平行的条件以及平行线的特征. 教学重点线段、平行、垂直的有关性质 教学难点直线平行的判定方法 教学媒体 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由 一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90° ∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3．

⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ ∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线； ③直线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在 射线AB上．A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝， 则CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°

高中数学平面解析几何知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．