利用向量法求点到平面的距离
利用平面的法向量求点到平面的距离
甘肃省 彭长军
如图1,设n 是平面α的一个法向量,P 是α
外一点,Q 是α内任意一点,则向量PQ 在法向量
n 方向上的射影长d=PQ cos P Q,n <>uuu r u r =PQ n n
就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.
例1.已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)
是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.
解:设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量,则由0n AB = 及10n BC = ,得
2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=??++=??2y x 32z x 3?=????=-??
,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n = 17
49=171749. 例2.已知四边形ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 和AD 的中点,GC ⊥平面ABCD ,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离.
解:建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ,则
G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0),∴GE =(2,4,-2),
GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).
设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =,则由
0n GE = 及0n GF = ,得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=??+-=?
? x=y z 3y
??=?,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求点C 1到平面A 1BD 的距离。
解:建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ,则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).
设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =,则由1DA 0n = 及DB 0n = ,得x z 0x y 0
+=??+=?? z=-x y=-x ???
,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n
3. 例4.(06年福建高考题)如图4,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,
E 到平面ACD 的距离.
解:由题设易知AO ⊥BD ,OC ⊥BD ,∴OA=1,
OA 2+OC 2=AC 2,∴∠AOC=90?,即OA ⊥OC.
以O 为原点,OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系O-xyz ,则
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,∴ E(12
,2,0), AD =(-1,0,-1), AC
=(0, ED =(-32
,-2
,0). 设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =,则由AD 0n = 及AC 0n =
,得x z 0z 0
+=??-=?
x=-z y=3?????,取
得n
于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n n
=7.