数学必修一练习题汇总含答案
第一章综合练习
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()
A.3 B.6
C.7 D.8
解析:含一个元素的有{1},{2},{3},共3个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3},共3个;空集是任何非空集合的真子集,故有7个.
答案:C
2.下列五个写法,其中错误
..写法的个数为()
①{0}∈{0,2,3};②?{0};③{0,1,2}?{1,2,0};④0∈?;⑤0∩?=?
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:②③正确.
答案:C
3.使根式x-1与x-2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式x-1+x-2有意义的x的允许值集合可表示为()
A.M∪F B.M∩F C.?M F D.?F M
解析:根式x-1+x-2有意义,必须x-1与x-2同时有意义才可.
答案:B
4.已知M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于()
A.N B.M C.R D.?
解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故M∩N=N.
答案:A
5.函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()
A.R B.[0,+∞) C.[2,+∞) D.[3,+∞)
解析:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数,故y≥(0+1)2+2=3.
答案:D
6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于()
A.20-2x(0 C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5 解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知2x>y=20-2x,x>5. 答案:D 7.用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的() 甲 乙 图1 解析:水面升高的速度由慢逐渐加快. 答案:B 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是() ①y=f(|x|) ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)+x A.①③B.②③C.①④D.②④ 解析:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数;②y =f(-x)为奇函数;③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·[-f(x)]=xf(x).所以F(- x )=F (x ).所以y =xf (x )为偶函数;④令F (x )=f (x )+x ,所以F (-x )=f (-x )+(-x )=-f (x )-x =-[f (x )+x ].所以F (-x )=-F (x ).所以y =f (x )+x 为奇函数. 答案:D 9.已知0≤x ≤3 2,则函数f (x )=x 2+x +1( ) A .有最小值-3 4,无最大值 B .有最小值3 4,最大值1 C .有最小值1,最大值19 4 D .无最小值和最大值 解析:f (x )=x 2+x +1=(x +12)2+34,画出该函数的图象知,f (x )在区间[0,3 2]上是增函数,所以f (x )min =f (0)=1,f (x )max =f (32)=19 4. 答案:C 10.已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],函数y =f (x )的图象如图2甲所示,则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( ) 甲 乙 图2 解析:因为y =f (|x |)是偶函数,所以y =f (|x |)的图象是由y =f (x )把x ≥0的图象保留,再关于y 轴对称得到的. 答案:B 11.若偶函数f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,则( ) A .f (-3 2) 2) 2) D .f (2) 2) 解析:由f (x )是偶函数,得f (2)=f (-2),又f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-32<-1,则f (2) 2) 答案:D 12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1)=(1+x )f (x ),则f ???? ?? f (52)的值是( ) A .0 B.12 C .1 D.5 2 解析:令x =-12,则-12f (12)=12f (-12),又∵f (12)=f (-12),∴f (12)=0;令x =12, 12f (32)=32f (1 2),得f (32)=0;令x =32,32f (52)=52f (32),得f (52)=0;而0·f (1)=f (0)=0,∴f ???? ??f (52)=f (0)=0,故选 A. 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.设全集U ={a ,b ,c ,d ,e },A ={a ,c ,d },B ={b ,d ,e },则?U A ∩?U B =________. 解析:?U A ∩?U B =?U (A ∪B ),而A ∪B ={a ,b ,c ,d ,e }=U . 答案:? 14.设全集U =R ,A ={x |x ≥1},B ={x |-1≤x <2},则?U (A ∩B )=________. 解析:A ∩B ={x |1≤x <2},∴?R (A ∩B )={x |x <1或x ≥2}. 答案:{x |x <1或x ≥2} 15.已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a 的取值范围为________. 解析:函数f (x )的对称轴为x =1-a ,则由题知:1-a ≥3即a ≤-2. 答案:a≤-2 16.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(-2)从小到大的顺序是__________. 解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0. ∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2) 答案:f(-2) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}, (1)当x∈N*时,求A的子集的个数; (2)当x∈R且A∩B=?时,求m的取值范围. 解:(1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5}, ∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个. (2)∵A∩B=?, ∴m-1>2m+1或2m+1<-2或m-1>5, ∴m<-2或m>6. 18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?且B?A,求a,b的值. 解:(1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1; (2)当B含有一个元素时,由Δ=0得a2=b, 当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1 当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1. 19.(12分)已知函数f(x)= x ax+b (a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,方程f(x)=x有 唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值. 解:∵f (x )= x ax +b 且f (2)=1,∴2=2a +b . 又∵方程f (x )=x 有唯一实数解. ∴ax 2+(b -1)x =0(a ≠0)有唯一实数解. 故(b -1)2-4a ×0=0,即b =1,又上式2a +b =2,可得:a =12,从而f (x )=x 12x +1 =2x x +2, ∴f (-4)=2×(-4)-4+2 =4,f (4)=86=43,即f [f (-4)]=4 3. 20.(12分)已知函数f (x )=4x 2-4ax +(a 2-2a +2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a 的值. 解:f (x )=4? ?? ??x -a 22 +2-2a . (1)当a 2<0即a <0时,f (x )min =f (0)=a 2-2a +2=3,解得:a =1- 2. (2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时,f (x )min =f ? ???? a 2=2-2a =3,解得:a =-12(舍去). (3)a 2>2即a >4时,f (x )min =f (2)=a 2-10a +18=3,解得:a =5+10, 综上可知:a 的值为1-2或5+10. 21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下: 问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小? 解:设甲、乙两地距离为x 千米(x >0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表: 于是y 1=8x +1000+(x 50+2)×300=14x +1600, y 2=4x +1800+(x 100+4)×300=7x +3000. 令y 1-y 2<0得x <200. ①当0 故当距离小于200千米时,选用汽车较好;当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;当距离大于200千米时,选用火车较好. 22.(12分)已知f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),又当x 2>x 1>0时,f (x 2)>f (x 1). (1)求f (1)、f (4)、f (8)的值; (2)若有f (x )+f (x -2)≤3成立,求x 的取值范围. 解:(1)f (1)=f (1)+f (1),∴f (1)=0,f (4)=f (2)+f (2)=1+1=2,f (8)=f (2)+f (4)=2+1=3. (2)∵f (x )+f (x -2)≤3,∴f [x (x -2)]≤f (8),又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上为增函数. ∴????? x >0x -2>0x (x -2)≤8?2 第二章综合练习 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 解析:原式=lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5=2lg5lg2·3 2lg2 lg3· 2lg3 lg5=6. 答案:D 2.设f (x )=??? 2e x -1 ,x <2, log 3(x 2 -1),x ≥2, 则f (f (2))的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:f (2)=log 3(22-1)=1,f (f (2))=2e 1-1=2e 0=2. 答案:C 3.如果log 1 2x >0成立,则x 应满足的条件是( ) A .x >1 2 B.1 2 D .0 解析:由对数函数的图象可得. 答案:D 4.函数f (x )=log 3(2-x )在定义域区间上是( ) A .增函数 B .减函数 C .有时是增函数有时是减函数 D .无法确定其单调 解析:由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单 调性相反则为减函数. 答案:B 5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下( ) A .0.015克 B .(1-0.5%)3克 C .0.925克 D.100 0.125克 解析:设该放射性元素满足y =a x (a >0且a ≠1),则有12=a 100 得a =(12)1100. 可得放射性元素满足y =[(12)1100]x =(12)x 100.当x =3时,y =(12)3100=100(12)3=100 0.125. 答案:D 6.函数y =log 2x 与y =log 1 2x 的图象( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于y =x 对称 解析:据图象和代入式判定都可以做出判断,故选B. 答案:B 7.函数y =lg(2 1-x -1)的图象关于( ) A .x 轴对称 B .y 轴对称 C .原点对称 D .y =x 对称 解析:f (x )=lg(2 1-x -1)=lg 1+x 1-x ,f (-x )=lg 1-x 1+x =-f (x ),所以y =lg(2 1-x -1)关于原点 对称,故选C. 答案:C 8.设a >b >c >1,则下列不等式中不正确的是( ) A .a c >b c B .log a b >log a c C.c a>c b D.log b c 解析:y=x c在(0,+∞)上递增,因为a>b,则a c>b c;y=log a x在(0,+∞)上递增,因为b>c,则log a b>log a c;y=c x在(-∞,+∞)上递增,因为a>b,则c a>c b.故选D. 答案:D 9.已知f(x)=log a(x+1)(a>0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<0,则f(x)是() A.增函数B.减函数 C.常数函数D.不单调的函数 解析:由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 答案:A 10.设a=4 24,b= 3 12,c=6,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b 解析:a=4 24= 12 243,b= 12 124,c=6= 12 66.∵243<124<66, ∴12 243< 12 124< 12 66,即a 答案:D 11.若方程a x=x+a有两解,则a的取值范围为() A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.? 解析:分别作出当a>1与0 (1)当a>1时,图象如下图1,满足题意. 图1 图2 (2)当0 12.已知f (x )是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A .(1 10,1) B .(0,1 10)∪(1,+∞) C .(1 10,10) D .(0,1)∪(0,+∞) 解析:由于f (x )是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f (-1)=f (1),且f (x )在(-∞,0)上是增函数,应有????? x >0,-1 解得1 10 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a =________. 解析:由互为反函数关系知,f (x )过点(-1,2),代入得a -1=2?a =1 2. 答案:12 14.方程log 2(x -1)=2-log 2(x +1)的解为________. 解析:log 2(x -1)=2-log 2(x +1)?log 2(x -1)=log 24x +1 ,即x -1= 4x +1 ,解得x =±5(负 值舍去),∴x = 5. 答案: 5 15.设函数f 1(x )=x 1 2,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2007)))=________. 解析:f 1(f 2(f 3(2007)))=f 1(f 2(20072))=f 1((20072)-1)=[(20072)-1]1 2=2007-1. 答案:1 2007 16.设0≤x ≤2,则函数y =4x -1 2-3·2x +5的最大值是________,最小值是________. 解析:设2x =t (1≤t ≤4),则y =12·4x -3·2x +5=12t 2-3t +5=12(t -3)2+12. 当t =3时,y min =12;当t =1时,y max =12×4+12=52. 答案:52 12 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知a =(2+3)-1,b =(2-3)-1,求(a +1)-2+(b +1)-2的值. 解:(a +1)-2+(b +1)-2=( 12+3 +1)-2+( 12-3 +1)-2=( 3+32+3 )-2+( 3-32-3 )-2=16 (7+432+3+7-432-3 )=16[(7+43)(2-3)+(7-43)(2+3)]=16×4=23. 18.(12分)已知关于x 的方程4x ·a -(8+2)·2x +42=0有一个根为2,求a 的值和方程其余的根. 解:将x =2代入方程中, 得42·a -(8+2)·22+42=0,解得a =2. 当a =2时,原方程为 4x ·2-(8+2)2x +42=0, 将此方程变形化为2·(2x )2-(8+2)·2x +42=0. 令2x =y ,得2y 2-(8+2)y +42=0. 解得y =4或y =22. 当y =4时,即2x =4,解得x =2; 当y =22时,2x =22,解得x =-1 2. 综上,a =2,方程其余的根为-1 2. 19.(12分)已知f (x )=2x -1 2x +1,证明:f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数. 证明:设任意x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1 f (x 1)-f (x 2)=2x 1-12x 1+1 -2x 2-12x 2+1 =(2x 1-1)(2x 2+1)-(2x 2-1)(2x 1+1) (2x 1+1)(2x 2+1) = 2x 1-2x 2-(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1) = 2(2x 1-2x 2) (2x 1+1)(2x 2+1) .∵x 1 上是增函数. 20.(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0,+∞)上是增函数,且f (1 2)=0,求不等式f (log a x )>0(a >0,且a ≠1)的解集. 解:f (x )是偶函数,且f (x )在[0,+∞)上递增,f (1 2)=0, ∴f (x )在(-∞,0)上递减,f (-12)=0,则有log a x >12,或log a x <-1 2. (1)当a >1时,log a x >12,或log a x <-12,可得x >a ,或0 a ; (2)当012,或log a x <-12,可得0 a . 综上可知,当a >1时,f (log a x )>0的解集为(0,a a )∪(a ,+∞); 当00的解集为(0,a )∪(a a ,+∞). 21.(12分)已知函数f (x )对一切实数x ,y 都满足f (x +y )=f (y )+(x +2y +1)x ,且f (1)=0, (1)求f (0)的值; (2)求f (x )的解析式; (3)当x ∈[0,1 2]时,f (x )+3<2x +a 恒成立,求a 的范围. 解:(1)令x =1,y =0,则f (1)=f (0)+(1+1)×1,∴f (0)=f (1)-2=-2. (2)令y =0,则f (x )=f (0)+(x +1)x ,∴f (x )=x 2+x -2. (3)由f (x )+3<2x +a ,得a >x 2-x +1.设y =x 2-x +1,则y =x 2-x +1在(-∞,1 2]上是减函数,所以y =x 2-x +1在[0,12]上的范围为3 4≤y ≤1,从而可得a >1. 22.(12分)设函数f (x )=log a (1-a x ),其中01. 解:(1)证明:设任意x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1 )-log a (1-a x 2 ) =log a 1-a x 11-a x 2=log a 1-a x 2+a x 2-a x 1 1-a x 2=log a ??????1+a x 2-a x 11-a x 2=log a (1+ax 1-ax 2x 1x 2-ax 1)=log a [1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )].∵x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1 +a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )<1,又∵00,∴f (x 1)>f (x 2),所以f (x )=log a (1-a x )在(a ,+∞)上为减函数. (2)因为01?log a (1-a x )>log a a ?????? 1-a x >0,①1-a x a 或