2019年中考数学复习专题三角形综合题
三角形综合题
副标题
一、选择题（本大题共17小题，共51.0分）
1. 如图所示，在△ABC 中，∠C =70o，沿图中虚线截取∠C ，则∠1+∠2= （ ）
A.
B. C. D.
2. 已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且
=1cm ，则
的值为（ ）
A.
； B. ； C. ； D.
3. 画△ABC 中AC 边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法:①满足的，，三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一
点;③三角形的一个外角大于它的任何一个内角;④两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中错误的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，AB ∥DC ，ED ∥BC ，AE ∥BD ，那么图中与△ABD 面积相等的三角形有
（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、
向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到A n，则△OA2A2019的面积是（）
A. 504
B.
C.
D. 1009
7.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，
，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为( )
A. 20
B. 24
C. 25
D. 26
8.如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，
B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第
二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1
＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使
得到的三角形的面积超过2019，最少经过多少次操作（）．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
9.如图，，A,B为直线上两点，C、D为直线上两点，则△ACD与△BCD
的面积大小关系是（）
A. B. C. D.
不能确定
10.已知三角形的周长小于13，各边长均为整数且三边各不相等，那么这样的三角形个数共有（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.已知△ABC的三边a，b，c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（）．
A. 4个
B. 6个
C. 8个
D. 10个
13.下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1:2:3；③∠A=90°－∠B；④．其中能确定
△ABC是直角三角形的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
14.如图，∠B+∠C+∠D+∠E—∠A等于（）
A. B. C. D.
15.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数
量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A. B.
C. D.
16.如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度
A.
B.
C.
D.
17.把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底
面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未
被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）
A. 4b
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共16小题，共48.0分）
18.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，
且△ABC的面积为20 ，则△BEF的面积=__________．
19.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC＝6，AE＝4，△ABD的面积为________.
20.
如图，△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC
＝______°
21.如图，AD是△ABC的中线.若△ABD的周长比△ACD的周长长6 cm，则
AB?AC=________cm.
22.如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=42°，∠C=70°，则
∠DAE=__________°.
23.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为
20 ，则△BEF的面积=__________．
24.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为__________．
25.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段
AP的最小值为____________．
26.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P
从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B
运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=_________，△APE的面积等于6．
27.如图，两个正方形边长分别为，图中阴影部分的面积为_______．
28.三角形的三边长为3，a，7，则最长边a的取值范围是____________；
29.如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=___度．
30.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于D,∠A=400，那么∠D=__ .
31.如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
32.在△ABC内有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，则可构成3个互不重叠的小三
角形(如图①)．
（1）当三角形内有两个点P1、P2时，如图②，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_______个．
（2）当三角形内有三个点P1、P2、P3时，如图③，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_________个．
（3）一般地，当三角形内有(为正整数)个点时，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三
角形有_______个．特别地，当三角形内有2016个点时，
其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_____个．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
33.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线。
(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
(2)作图：在△BED中作BD边上的高，垂足为F；
(3)若△ABC的面积为60，BD＝6，则△BDE中BD边上的高为多少？
(4)过点E作EG//BC，连结EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝m，S△COD＝n，求S△EOD（用含m、n的
代数式表示）
34.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B
的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为8？
35.已知一个等腰三角形的周长为，一腰的长为，底边长为．
（1）用含的代数式表示；
（2）求的取值范围．
36.在中，.
（1）如图①，于点,平分，∠B=60°，∠C=80°，求∠EAD.
（2）如图②，平分,为上的一点，且于点，试说明：
.
（3）如图③，平分,为延长线上的一点，于点，请你写出这与、之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).
37.在直角三角形ABC中，∠C=90°, 点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，点P是一动点.令
∠PDA=∠1,∠PEB=∠2, ∠DPE=∠.
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠=50°，则∠1+∠2 °；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠、∠1、∠2之间的关系为；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3所示，则∠、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图4所示，则∠、∠1、∠2之间关系为
38.探究发现:如图①，在中，，点在边上，点在边上，且，
连结.
(1)当时，求的度数;
(2)当点在 (点除外)边上运动时，试探究与的数量关系;
深入探究:
(3) 如图②，若，但，其它条件不变，试继续探究与的数量关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查补角和三角形的外角性质，属于基础题.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，,,结合∠C=70o即可求解.
【解答】
解：因为，，
所以,
即,
.
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解答关键.由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答. 【解答】
解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，S△BEC=S△ABC=3（cm2），S△BEC=2S△BEF=2（cm2），S△ABC=2S△BEC=4（cm2）.
故选C.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义并准确识图是解题的关键．根据三角形的
各选项图形判断即可．
【解答】
解：由三角形的高线的定义，C选项图形表示△ABC中AC边上的高．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角形的三边关系，三角形的外角性质，三角形的中线、高线、角平分线的有关知识，由题意利用三角形的三边关系、三角形的三线的定义及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项.
【解答】
解：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段不一定能组成三角形，错误；
②三角形的三条高交于三角形内一点，错误；
③三角形的外角大于它的任何一个不相邻内角，故错误；
④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误.
故选D.
5.【答案】C
【解析】
解：∵AE∥BD，
∴S△ABD=S△BDE，
∵DE∥BC，
∴S△BDE=S△EDC，
∵AB∥CD，
∴S△ABD=S△ABC，
∴与△ABD面积相等的三角形有3个，
故选：C．
根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；
本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．观察图形可知：OA2n=n，由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解决问题．
【解答】
解：观察图形可知：点A2n在数轴上，OA2n=n，
∵OA2016=1008，
∴OA2019=1009，点A2019在数轴上，
∴=×1009×1=，
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的面积，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握，由
S△ABC=S△DEF，推出S
四边形ABEH =S
阴
即可解决问题.
【解答】
解：∵平移距离为4，∴BE=4，
∵AB=8，DH=3，
∴EH=8-3=5，
∵S△ABC=S△DEF，
∴S
四边形ABEH =S
阴,
∴阴影部分的面积为=×（8+5）×4=26. 故选D.
8.【答案】A
略
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行线之间的距离，以及三角形的面积，关键是掌握平行线之间的距离相等．首先过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，根据平行线之间的距离相等可得AM=BN，再根据同底等高的三角形面积相等可得答案．
【解答】
解：过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，
∵l1∥l2，
∴AM=BN，
∴S△ACD=S△BCD．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的三边关系，且涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于6.5；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件
的整数．
【解答】
解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5；
再根据两边之差小于第三边，各边长均为整数且三边各不相等，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．
故选B．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形三边关系.解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握.根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解.
【解答】
解：9+2=11，
9－2=7，
∴7＜第三边＜11，
∵周长为奇数，
∴这样的三角形的三边长分别为：2，9，8；2，9，10；共有2个.
故选B.
12.【答案】D
【解析】
略
13.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求
出∠C的度数，即可得出答案．
【解答】
解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
∴△ABC是直角三角形，故②正确；
③∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确；
④∵，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30o，
3x=90o，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故④正确，
综上所述①②③④4个全部符合题意．
故选A.
14.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质有关知识.
根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2，两式相加再
减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解.
【解答】
解：∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2，
∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠1+∠2+∠A）=180°．
故选C.
15.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了图形的轴对称,轴对称变换,三角形内角和定理
根据翻折不变性，由已知条件，根据三角形内角和定理得到
，即可求解．
【解答】
解：如下图，
∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，
∴∠1+∠2=180°-∠ADA′+180°-∠AEA′
=180°-2∠ADE+180°-2∠AED
=360°-2（∠ADE+∠AED）
=360°-2（180°-∠A）
=2∠A．
故选B.
16.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并把各角进行转化是解题的关键．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并把各角进行转化是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．
【解答】
解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠BOF=120°，
∴∠3=180°-120°=60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°-60°=120°，
∠F+∠2=180°-60°=120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选D．
17.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是整式的加减，列代数式，整体代入法.解题关键是根据图形列出求图②中两块阴影部分周长和的算式和熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，先设小长方形的长为xcm，宽为ycm，然后根据图形得出a，x，y之间的关系，再列出图②中两块阴影部分周长和的算式，然后通过去括号，整体代入，合并同类项等化简图②中两块阴影部分和的算式即可得出正确选项.
【解答】
解：设小长方形的长为xcm、宽为ycm，
根据题意得：a-x=3y，
即a=x+3y，
∴图②中两块阴影部分周长和是：
2a+2（b-3y）+2（b-x）
=2a+2b-6y+2b-2x
=2a+4b-2（x+3y）
=2a+4b-2a
=4b（cm），
故选A.
18.【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角形的面积，三角形的中线的有关知识，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.
【解答】
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×20=10，
∴S△BCE=S△ABC=×20=10，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×10=5.
故答案为5.
19.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积，知道三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．利用三角形面积公式和三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算求出即
可．
【解答】
解：∵AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC=6cm，AE=4cm，∴，∴，
故答案为6.
20.【答案】115
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．求出
∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出
∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°，
故答案为115．
21.【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解. 本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键.
【解答】
解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，
∵△ABD的周长比△ACD的周长长6 cm，
∴AB-AC=6.
故答案为6.
22.【答案】14
【解析】
【分析】
这是一道考查三角形内角和定理，三角形高线，角平分线的题目，解题关键在于求出∠BAE和∠BAD的度数，作差即可.
【解答】
解：∵∠B=42°，∠C=70°，
∴∠A=180°-42 °-70°=68°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=180°-90°-42°=48°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=48°-34°=14°.
故答案为14.
23.【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相
等的三角形解答即可．
【解答】
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×20=10，
∴S△BCE=S△ABC=×20=10，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×10=5.
故答案为5.
24.【答案】∠1+∠2-∠A=90°
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和等于180°、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题．三角形的外角与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的
角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．
【解答】
解：∵BD、CE为△ABC的两条角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A
∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A
=∠ACB+∠ACB+∠A+∠A
=90°+∠A,
故答案为∠1+∠2-∠A=90°．
25.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了垂线的概念与性质，再根据等积变换法得出AP的距离．
【解答】
解：∵点A到BC的最小值是自A点向BC作垂线，
又∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，
∴S
=AB×AC=AP×BC,
三角形ABC
6×8=10AP,
即AP=．
故答案为．
26.【答案】1.5或5或9
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为3种情况讨论：当点P在AC上时：当点P在BC上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】
解：如图1，当点P在AC上，
2019-2020年中考数学试题及答案试题
2019-2020年中考数学试题及答案试题 一、选择题（2分×12=24分） 1．如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ）A 、-2 B 、-21 C 、2 1 D 、 2 2．比-1大1的数是 （ ）A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 3．计算：x 3·x 2的结果是 （ ）A 、x 9 B 、x 8 C 、x 6 D 、x 5 4．9的算术平方根是 （ ）A 、-3 B 、3 C 、± 3 D 、81 5．反比例函数y= -x 2的图象位于 （ ） A 、第一、二象限 B 、第一、三象限 C 、第二、三象限 D 、第二、四象限 6．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 （ ）A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 7．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ） A 、0.2172km B 、2.172km C 、21.72km D 、217.2km 8.下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、圆锥 9．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ） A 、43 B 、34 C 、53 D 、54 10．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上 的概率是（ ） A 、41 B 、21 C 、4 3 D 、1 11．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为（ ） A 、4.8m B 、6.4m C 、8m D 、10m 12.右图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。 根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ） A 、甲户比乙户多 B 、乙户比甲户多 C 、甲、乙两户一样多 D 、无法确定哪一户多 二、填空题（3分×4=12 分） 13．10在两个连续整数a 和b 之间，a<10 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 特殊三角形专题练习 一．选择题(共9小题) 1.已知等腰三角形的周长为２4,腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x<6 C．6＜ｘ＜12 D．0＜x<12 2.若实数x,y满足﹣4０，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 16或２０ D. 20 A．12 B．16 Ｃ . 3．如图,在△中，∠９0°,,是经过A点的一条直线,且Ｂ,C在的两侧,⊥于Ｄ，⊥于E,2,6,则的长为（） ３ C. 5 D. 4 A. 2 Ｂ . 4．等腰三角形一条边的边长为３,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程ｘ2﹣１20的两个根，则k的值是（）A．27 B．3６Ｃ 2７或3６ D．１8 ． 5．如图,在△中,，平分∠交于点D,∥交的延长线于点Ｅ．若∠３5°,则∠的度数为（） Ａ．40° B. 45°Ｃ ． ６0° D. 70° ６．如图，△中,⊥于D,⊥于Ｅ，与相交于F，若，则∠的大小是（ ) A．4０°B．45°C．5０°Ｄ ． 60° 7.如图,,若∠80°，则∠（ ) A. ８０°Ｂ 1０0°C．140° D. 160° . ) 8.已知如图,∥，⊥，⊥,，2，3，则△的面积为（ 5 D. 无法确定 ． 9．如图，已知△的面积为10２,为∠的角平分线,垂直于点Ｐ, ) 则△的面积为（ A. 62B．52 C. ４2Ｄ ． 二.填空题（共８小题) 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中， 专题：折叠问题中的角度运算 学习目标 学习重难点 （2006?宿迁）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=30°，则∠AED ′等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 如图将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论一定正确的是（ ） A. ∠1+∠2=900°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） B. ∠1+∠2=1080°-2（∠C+∠D+∠E+∠F ） C. ∠1+∠2=720°-（∠C+∠D+∠E+∠F ） D. ∠1+∠2=360°-（∠C+∠D+∠E+∠F ） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB= A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 已知△ABC 是一张三角形的纸片． （1）如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A ′的位置，∠DA ′E 与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？ （2）如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A ′的位置，∠A 、∠1与1 2 ∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ （3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ 已知，如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系：2∠A=∠1+∠2始终保持不变，为什么？ .如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1、∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） （2）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由． 折一折，想一想，如图所示，在△ABC中，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC内一点C′上，若∠1=40°，∠2=30°． （1）求∠C的度数； （2）试通过第（1）问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的关系． 如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点； 研究（1）：若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是∠BDA′=2∠A； 研究（2）：若折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A关系，并说明理由； 研究（3）：若折成图3的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由． 图1、 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A 中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 特殊三角形 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形 重难点易错点解析 等腰三角形 题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C． 等边三角形 题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE． 直角三角形 题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF． 请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF． 金题精讲 题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D． 求证：BD=2CD． 题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长． 题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形． 思维拓展 题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交． 学习提醒 重点： 等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 特殊三角形 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一：证明略 点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 题二：证明略 点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 题三：证明略 点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 金题精讲 题一：证明略 题三：证明略 思维拓展 题一：证明略 八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 B O D B O 活动课:折叠在三角形问题中的应用 活动一:剪一张三角形纸片ABC 操作并思考: 操作1 在图1中,过点A 折叠纸片,使点C 落在BC 边上，展开纸片，得图2, 问题(1)折痕AD 与ＢC 边有何关系?说明理由 学生活动：ＡＤ⊥ＢC,翻折角相等和为１８０，各为90° 问题(2）折痕A Ｄ是△ABC 的什么线？ 学生活动：是△ABC 的高 操作2 再折叠图２的纸片,使点Ａ与点D 重合,展开纸片,得到图３， 问题(1）折痕EF 与BC 边有何关系？说明理由 学生:EF ∥BC 问题(2）E Ｆ与B Ｃ有数量关系吗？去量一量 学生：E Ｆ是BC 边的一半 问题(3)你能用学过的知识进行说理吗? 学生活动：尝试说理 师生归纳: 图1 图3 考考你：１、在△AＢC中,ＡB=12，AＣ=１0,BC=9，ＡD是BＣ边上的高．将 △ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合，折痕为ＥF,则△DＥF的周 长为(） A.9.５B．10.5 Ｃ．11 D．15.5 追问：你能将一个任意三角形折成一个矩形吗? 学生活动：折纸,说明理由 活动二：剪一张三角形纸片ABC 操作并思考: 操作1 在图４中,过点A折叠纸片,使点C落在AB边上,展开纸片，得图5, 问题(1）：折痕ＡＤ是△ABC的什么线?说明理由 学生：角平分线,翻折角相等 操作2 再折叠图５的纸片,使点A与点D重合,展开纸片,得到图6 问题（1)：折痕EＦ与BＣ有特殊的位置和数量关系吗? 学生:没有 问题(２):△AEF是特殊三角形吗？量一量边和角 学生：等腰三角形 D A B C 图4 图5 F E A C 图6 A C D A C D C A A(D) B C 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 特殊三角形专题练习 一．选择题（共9小题） 1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12 2．若实数x，y满足﹣40，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A．12 B．16 C．16或20 D．20 3．如图，在△中，∠90°，，是经过A点的一条直线，且B，C 在的两侧，⊥于D，⊥于E，2，6，则的长为（） A．2B．3C．5D．4 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣120的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18 5．如图，在△中，，平分∠交于点D，∥交的延长线于点E．若∠35°，则∠的度数为（） A．40°B．45°C．60°D．70° 6．如图，△中，⊥于D，⊥于E，与相交于F，若，则∠的大小是（） A．40°B．45°C．50°D．60° 7．如图，，若∠80°，则∠（） A．80°B．100°C．140°D．160° 8．已知如图，∥，⊥，⊥，，2，3，则△的面积为（） A．1B．2C．5D．无法确定 9．如图，已知△的面积为102，为∠的角平分线，垂直于点P，则△的面积为（） A．62B．52C．42D．32 二．填空题（共8小题） 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形的顶点E、F、G、H分别在正方形的边、、、上．若正方形的面积=16，1；则正方形的面积= ． 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每个直角三角形的 2019年中考数学计算题专项训练（超详细，经典！！！） 一、集训一（代数计算） 1. 计算： （1）30 82 145+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷1 2 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （5）?+-+-30sin 2)2(20 （6）()()0 2 2161-+-- （7）( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° （8）()()0332011422 ---+÷- 2.计算：345tan 3231211 0-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：() ( ) 11 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：1 2010 0(60)(1) |28|(301) cos tan -÷-+-- 二、集训二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422 ---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5（2）（a ﹣1+ ）÷（a 2 +1），其中a= ﹣ 1 （3）2121 (1)1a a a a ++-?+，其中a （4）)2 5 2(423--+÷--a a a a ， 1-=a 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形 一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；…… 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。 二、例题分析 例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2， BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。 例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM. 例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。 例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。 例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。 例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。 例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。 2019年中考数学试卷 一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ） A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103 【解析】本题考察科学记数法较大数，N a 10?中要求10||1<≤a ，此题中5,39.4==N a ，故选C 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C 3．正十边形的外角和为（ ） A.180° B.360° C.720° D.1440° 【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B 4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为a+1，由题意可知，a ＜0， ∵CO=BO ，∵2|1|=+a ，解得1=a （舍）或3-=a ，故选A 5．已知锐角∵AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心， OC 长为半径作?PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交?PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A.∵COM=∵COD B.若OM=MN ，则∵AOB=20° C.MN∵CD D.MN=3CD 【解析】连接ON ，由作图可知∵COM∵∵DON. A. 由∵COM∵∵DON.，可得∵COM=∵COD ，故A 正确. B. 若OM=MN ，则∵OMN 为等边三角形，由全等可知∵COM=∵COD=∵DON=20°，故B 正确 C.由题意，OC=OD ，∵∵OCD=2 COD 180∠-?.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S ，易证 ∵MOR∵∵NOS ，则OR=OS ，∵∵ORS=2 COD 180∠-?，∵∵OCD=∵ORS.∵MN∵CD ，故C 正 确. D.由题意，易证MC=CD=DN ，∵MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∵MN ＜MC+CD+DN=3CD ，故选D 6．如果1m n +=，那么代数式()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? 的值为（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? ))(()()(2n m n m n m m n m n m m n m -+???????--+-+= ) (3))(() (3n m n m n m n m m m +=-+?-= 1 =+n m Θ ∵原式=3，故选D B 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 2019年中考数学复习计算题专练 1.（2013十堰中考17题.6分）化简：22 22 1 1 2 x x x x x x x x +-+?+-+． 2.（2014十堰中考17题.6分）化简：()22 2 21 x x x x x ---?+ 3.（2015十堰中考17题.6分）化简：2121a a a a 骣骣-÷?÷?÷-?÷??÷÷珑÷?桫桫 4. （2016十堰中考17题.6分）化简：． 5．（5分）（2017?十堰）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017． 6．（6分）（2017?十堰）化简：（ + ）÷ ． 2017年湖北其它市中考计算题 7．（8分）（2017?鄂州市）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取． 8.（8分）（2017?恩施州）先化简，再求值：÷﹣，其中x=． 9.（5分）（2017?黄冈市）解不等式组． 10.（7分）（2017?黄石市）计算：（﹣2）3++10+|﹣3+|． 11.（7分）（2017?黄石市）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2sin60°﹣tan45°． 12.（7分）（2017?黄石市）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a 13．（7分）（2017?荆门）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x=．14.（10分）（2017?荆州）（1）解方程组： （2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2． 15.（5分）（2017?随州）计算：（）﹣2﹣（2017﹣π）0+﹣|﹣2|． 16．（6分）解分式方程：+1=． 17.（8分）（2017?武汉市）4x﹣3=2（x﹣1）18.（6分）（2017?仙桃市）化简：﹣．19．（6分）（2017?仙桃市）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A中考数学压轴题解题方法大全及技巧
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