初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案

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初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案

一、选择题

1．如图，四边形 ABCD 内接于 eO ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作DE AB 于点

E ，连接 AC 交 DE 于点

F .若 sin CAB 3 ， DF

5

A ．10

B ． 12 【答案】 D 【解析】 【分析】

连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4， DE 8 ，接着证明 ADE ∽ DBE ，利用相似比得

到 BE 16 ，所以 AB 20 ． 【详解】 Q AB 为直径，

ADB ACB 90 ， Q AD CD ，

DAC DCA ， 而 DCA ABD ，

DAC ABD ，

∵ DE ⊥ AB ，

ABD BDE 90 ，

而 ADE BDE 90 ，

ABD

ADE ，

ADE DAC ，

FD FA 5 ，

在 Rt AEF 中， Q sin CAB EF

AF

5 ，则 AB 的长为 (

C ． 16

D ． 20

ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正

解：连接 BD ，如图，

5

EF 3 ， AE

52

32

4 ，

DE 5 3 8，

Q ADE

DBE ， AED

BED ，

ADE ∽ DBE ，

DE :BE

AE:DE ， 即 8: BE 4:8 ，

BE 16，

AB

4 16 20 ．

故选：

D ．

【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的 弦是直径．也考查了解直角三角形．

2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图 ”如图所

示，

它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面

角形的边角关系列式即可求解． 【详解】

解：∵大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， ∴大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5， ∴

5 5cos 5 5sin 5 ，

∴

cos sin

2

1

sin cos

故选： A ． 【点睛】

积是 125 ，小正方形面积是 25，则 sin

2

cos ( )

B ．

C ．

35

D ．

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，再根据直角三

A ． 5 【答

案】 A 【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正 确得出 cos sin

3．如图，在 ABC 中， AB AC ，MN 是边 BC 上一条运动的线段（点 M 不与点 B 重

1

合，点 N 不与点 C 重合），且 MN

BC ， MD BC 交 AB 于点 D ， NE BC 交 2

AC 于点 E ，在 MN 从左至右的运动过程中，设 BM x ， BMD 的面积减去 CNE 的

面积为 y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（

答案】 A 解析】 分析】

详解】

1

解：设 a ＝

BC ，∠ B ＝∠ C ＝ α，则 MN ＝ a ，

2

∴CN ＝ BC-MN-BM ＝ 2a-a-x ＝ a-x ， DM ＝ BM ·tanB ＝ x ·tan ，αEN ＝ CN?tanC ＝( a-x )·tan ，α

∴y ＝S △BMD - S △CNE ＝ ( BM ·DM-CN ·EN )＝ 2

设 a ＝ 1 BC ，

2

∠ B ＝∠ C ＝α，求出 CN 、DM 、EN 的长度，利用 y ＝ S △BMD - S △CNE ，即可求解．

2

∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选： A ． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动 点的完整运动过程．

3

4．菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE ⊥ AB,垂足为 E,sinA= ,则下列结论正确的个数有（

）

5

① DE=3cm; ② BE=1cm; ③菱形的面积为 15cm 2; ④ BD=2 10 cm ．

A ．1 个

B ． 2 个

C ． 3 个

D ． 4 个

【答案】 C 【解析】

【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】

∵菱形 ABCD 的周长为 20cm ∴AD=5cm

3

∵sinA=

5

∴DE=3cm （ ① 正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm

∴BE=5﹣ 4=1cm （ ② 正确）

∴菱形的面积 =AB ×DE=5×3=15cm 2（ ③ 正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴BD= 10 cm （④ 不正确） 所以正确的有三个． 故选 C ．

【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键

tan x tan

2

2

ax

a tan

2x a ，

a tan

2

为常数，

5．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔

A 离河边的距离 A

B ，采取了如下措施：如

∵BC 的坡度为 1:0.75

∴设 CF 为 xm ，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m

2

∴在 Rt △BCF 中， x 2 0.75 x 2

∴CF=112m ， BF=84m ∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ ADG 是直角三角形 ∵

DE=55m ， CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m 设 AB=ym ∵∠ DAB=40°

DG 167

∴tan40 °=

0.84

AG y 120

解得： y=78.8 故选： C 【点睛】

图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40 ，若 DE 55米， DE CE ，

CE BC 140米，则 AB 的长为 (

0.77， tan40 0.84 )

C ． 78.8 米

D ． 78.9 米

36米， ）（精

确

【答案】 【解析】 【分析】

如下图， 度 【详解】

如下图，

先在 过点 Rt △CBF 中求得 BF 、 C 作 AB 的垂线，交

CF 的长，再利用 Rt △ADG 求 AG 的长，进而得到 AB 延长线于点 F ，延长 DE 交 AB 延长线于点 G AB 的长 140 2 ，解得： x=112

C CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 cos40

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值

6．如图， △ABC 内接于半径为 5的⊙ O ，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠ A 的正切

值等

【解析】

试题分析：如答图，过点 O 作 OD ⊥BC ，垂足为 D ，连接 OB ，OC ， ∵OB=5， OD=3，∴根据勾股定理得 BD=4.

∵∠ A= 1 ∠BOC ，∴∠ A=∠BOD.

2

∴tanA=tan ∠ BOD= BD 4.

OD 3

考点： 1.垂径定理； 2.圆周角定理； 3.勾股定理； 4.锐角三角函数定义．

7．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用 “三弧法 ”在板材边角处作直角，其作法

是：如图：

（1）作线段 AB ，分别以点 A ，B 为圆心， AB 长为半径作弧，两弧交于点 C ； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D ；

（3）连接 BD ， BC ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

B ．

4

34

C ．

D ．

4

3

A ．

5 【答

案】 C 故选 D ．

1

【分析】

由作法得 CA ＝CB ＝CD ＝AB ，根据圆周角定理得到∠ ABD ＝ 90°，点 C 是△ABD 的外心，根 据三角函数的定义计算出∠ D ＝ 30°，则∠ A ＝ 60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结 论． 【详解】

由作法得 CA ＝CB ＝CD ＝AB ，故 B 正确； ∴点 B 在以 AD 为直径的圆上， ∴∠ ABD ＝90°，故 A 正确；

∴点 C 是△ABD 的外心， 在 Rt △ABC 中， sin ∠ D ＝

AD

∴∠ D ＝30°，∠ A ＝60°， 故选： D ．

【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

8．如图，在 △ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ， 则 tan ∠DAC 的值为（ ）

A ．2＋ 3

B ． 2 3

C ． 3＋ 3

D ． 3 3

【答案】 A 【解析】 【分析】 【详解】

设 AC=x ，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=30°，即可得 AB=2x ，BC= 3 x ， 所以 BD=BA=2x ，即可得 CD= 3 x+2x=（ 3 +2） x ，

A ．∠ ABD ＝90° 【答案】 D

【解析】

B ．CA ＝CB ＝CD

C ．

sinA ＝ 3

2

D ． cosD

＝

∴ sinA ＝ 3 ，

2

故 C 正确；

cosD ＝ 3 ，故 D 错误，

2

在Rt△ACD中，tan ∠ DAC=CD ( 3 2)x3 2 ，

AC x

故选 A.

9．在半径为1的eO中，弦AB 、AC的长度分别是3，2，则BAC 为( )度．

A．75 B．15或30C．75或15D．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为 C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】

利用垂径定理可知：AD= 3，AE 2．

，∴∠ AOD=6°0 ；

sin∠AOE= 2，∴∠ AOE=4°5 ；

2

∴∠ BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

10．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B处，在 B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )

A．8( 3 1)m B．8( 3 1)m

C．16( 3 1)m D．16( 3 1)m

【答案】A

【解析】设MN=xm ，在Rt△BMN 中,∵∠ MBN=45°，

∴BN=MN=x，在Rt△AMN 中,tan ∠MAN= MN，

AN

x

∴tan30 °= =3√，3

16 x

解得：x=8( 3 +1)，

则建筑物MN 的高度等于8( 3 +1)m ；故选 A.

点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.

11．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，如果∠ A＝α，BC＝a，那么AC 等于( )

A．a?tan αB．a?cot αC．a?sin αD．a?cos α

【答案】B

【解析】

【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】

如图，∠ C＝90°，∠ A＝α，BC＝a，

AC

∵cot α，

BC

∴AC＝BC?cotα＝a?cot α，

故选：B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

12．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P的仰角是45 ，向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30°，则该电线杆PQ 的高度( )

A．6 2 3 B．6 3 C．10 3 D．8 3

【答案】A

【解析】

【分析】

延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x 表示出AE和BE，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．

【详解】解：延长PQ 交直线AB于点E，设PE=x．

在直角△APE中，∠ A=45°，

AE=PE=x；∵∠ PBE=60°

∴∠ BPE=30°

在直角△BPE中，BE= 3 PE= 3 x，

33 ∵AB=AE-BE=6米，则x- 3 x=6，

3 解得：x=9+3 3 ．则BE=3 3 +3 ．

在直角△BEQ中，QE= 3 BE= 3（3 3 +3）=3+ 3

33

∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3）=6+2 3．

答：电线杆PQ的高度是（6+2 3 ）米．

故选：A．

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题

13．如图，在矩形 ABCD 中 E 是CD 的中点， EA 平分 BED, PE AE 交BC 于点

分析】

根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 △ADE ≌△ BCE （ SAS ），进而求出 △ABE

是等边三角形，再求出 △AEP ≌△ ABP （SSS ），进而得出∠ EAP ＝∠ PAB ＝30°，再分别得出

AD 与AB ，PB 与 PC 的数量关系即可．

【详解】 解：∵在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点， ∴DE ＝CE ， 又∵ AD ＝BC ，∠ D ＝∠ C ， ∴△ ADE ≌△ BCE （SAS ）， ∴AE ＝ BE ，∠ DEA ＝∠ CEB ， ∵EA 平分∠

BED ， ∴∠ AED ＝∠ AEB ，

∴∠ AED ＝∠ AEB ＝∠ CEB ＝60°，故： ①EB 平分∠ AEC ，正确； ∴△ ABE 是等边三角形，

∴∠ DAE ＝∠ EBC ＝30°，AE ＝ AB ， ∵PE ⊥ AE ，

∴∠ DEA ＋∠ CEP ＝ 90°， 则∠ CEP ＝ 30°，

故∠ PEB ＝∠ EBP ＝ 30°， 则 EP ＝ BP ，

又∵ AE ＝ AB ，AP ＝AP ，

P ，连接 PA ，以下四个结论： ① EB 平分 AEC ； ② PA BE ； ③ AD

3

AB ；

2

C ． 2 个

D ． 1 个

④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（

解析】

∴△ AEP ≌△ ABP （ SSS ），

∴∠ EAP ＝∠ PAB ＝ 30°， ∴AP ⊥BE ，故 ② 正确； ∵∠ DAE ＝ 30°，

∵∠ CEP ＝ 30°，

1 ∴CP ＝

EP ，

2

∵EP ＝ BP ， ∴CP ＝ 1 BP ，

∴④ PB ＝ 2PC 正确． 综上所述：正确的共有 4 个． 故选： A ． 【点睛】

此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明

△ABE 是等边三角形是解题关键．

14．“奔跑吧，兄弟！ ”节目组，预设计一个新的游戏： “奔跑 ”路线需经 A 、 B 、C 、 D

四 地．如图，其中 A 、B 、C 三地在同一直线上， D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C 地北偏

西 75 °方向．且 BD=BC=30m ．从 A 地到 D 地的距离是(

【答案】 D 【解析】

分析：过点 D 作 DH 垂直于 AC ，垂足为 H ，求出∠ DAC 的度数，判断出 △BCD 是等边三

角 形，再利用三角函数求出 AB 的长，从而得到 AB+BC+CD 的长．

详解：过点 D 作 DH 垂直于 AC ，垂足为 H ，由题意可知∠ DAC=75°﹣30°=45°．∵△ BCD 是

∴tan ∠DAE ＝

DE AD

＝tan30 °＝ 3 ，

3 ∴AD ＝ 3 DE ，即 AD

∵AB ＝CD ， 3

CD ，

2

∴③

AD

AB 正确；

C ． 30 2 m

D ． 15 6 m

AD= 2 DH=15 6 m ．故从 A 地到 D 地的距离是 15 6 m ．

故选 D ．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直

角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

答案】 B 解析】

分析】

解：∵∠

BAC=60°，∠ DAC=7°0 ， AC 1

∴ cos60°=

，

AB 2

则 AB=2AC ，

AC

∴ cos70°= ，

AD ∴AC=AD?cos70°，

等边三角形，∴∠ DBC=60°，B D=BC=CD=30m ，∴ DH=

× 30=15 3 ， AD= AC ，

cos70

15．如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得 BAC

竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）．

60 ，

DAC 70

，则竹

A ． 2sin70

B ． 2cos70

C ． 2tan70

D ．

tan 70

直接利用锐角三角函数关系分别表示出

【详解】 AB ，AD 的长，即可得出答案．

2

AB 2AC

∴ AD AC =2cos70 °． cos70

故选： B ．

点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．

16．如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y ＝4x －

11

x 2 刻画，斜坡可以用一次函数 y ＝ x 刻画，下列结论错误的是 ( )

A ．斜坡的坡度为 1: 2

B ．小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势

7

∶7=1∶ 2，∴ A 正确；

2

小球落地点距 O 点水平距离为 7 米，C 正确；

12 12(x 4)2

8

，

D ．当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球距 【答案】

D

【解析】

【分析】

求出抛物线与直线的交点， 判断 A 、 C ； 性质判断 B ；求出当 y

7.5 时， x 的值，

【详解】

12

y

x 4x

解：

2

1 y

x

2

x 1 0

x 2 7

解得，

7

y 1 0

y2

2

根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函

数 判定 D ． 4x

1

x 2

C ．小球落地点距 O 点水平距离为 7 米

O 点水平距离为 3m

则抛物线的对称轴为x 4 ，

当x 4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，

1

2

当y 7.5 时，7.5 4x x2，

2

整理得x2 8x 15 0 ，

解得，x1 3 ，x2 5 ，

当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D 错误，符合题意；故选：D

【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

17．如图，等边VABC 边长为a，点O是VABC 的内心，FOG 120 ，绕点O旋转FOG ，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE ，给出下列四个结论：

① VODE 形状不变；② VODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；

③ 四边形ODBE 的面积始终不变；④ VBDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（）

A．4 B． 3 C． 2 D． 1

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB、OC，利用SAS证出△ODB≌△ OEC，从而得出△ODE是顶角为120°的等腰三角

1

形，即可判断① ；过点O 作OH⊥DE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH= OE 和

2

DE= 3 OE，然后三角形的面积公式可得S△ODE= 3 OE2，从而得出OE 最小时，S△ODE最

4

小，根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=S△OBC= 3a2即可判断

12

② 和③ ；求出VBDE 的周长=a＋DE，求出DE 的最小值即可判断④ ．【详解】

解：连接OB、OC

∵ VABC 是等边三角形，点O 是VABC 的内心，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ ABC和∠ ACB

11

∴∠ OBA=∠OBC= ∠ABC=30°，∠ OCA=∠OCB= ∠ACB=30°

22 ∴∠ OBA=∠OCB，∠ BOC=18°0 －∠ OBC－∠ OCB=12°0 ∵ FOG 120 ∴ FOG ∠ BOC

∴∠ FOG－∠ BOE=∠ BOC－∠ BOE

∴∠ BOD=∠COE 在△ODB 和△OEC中

BOD COE

BO CO

OBD OCE

∴△ ODB≌△ OEC

∴OD=OE

∴△ ODE是顶角为120°的等腰三角形，∴ VODE 形状不变，故① 正确；过点O 作OH⊥DE，则DH=EH

∵△ ODE是顶角为120°的等腰三角形

∴∠ ODE=∠ OED=1（180°－120°）=30°

2

13

∴OH=O·Esin∠OED= OE，EH= OE·cos∠OED= 3 OE

22

∴DE=2EH= 3 OE

∴ S△ODE= DE·OH= 3

24 OE

2

∴OE最小时，S△ODE 最小，过点O作

OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值

22 在

Rt △OBE′中

OE ′ =BE ′·∠OtaBnE ′= 1 a × 3 = 3 a

2 3 6 a

∴S △ODE 的最小值为 3 OE ′2= 3 a 2

4 48

∵△ ODB ≌△ OEC

1

3 2

∴S 四边形 ODBE =S △ODB ＋ S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC = BC · OE ′= a 2 2 12 ∵

3a 2=

1

× 3 a 2

48 4 12

∴ S △ODE ≤ S 四边形 ODBE

4

即 VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一，故 ② 正确； ∵ S 四边形

ODBE = 3 a

2

12

∴四边形 ODBE 的面积始终不变，故 ③ 正确； ∵△ ODB ≌△ OEC

∴DB=EC ∴VBDE 的周长 =DB ＋BE ＋ DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时 VBDE 的周长最小 ∵DE= 3 OE

∴OE 最小时， DE 最小 而 OE 的最小值为 OE ′=3 a

6

1 a = a 2

综上： 4 个结论都正确， 故选 A ． 【点睛】

此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、

角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键． 18．如图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯

角为 α，水平飞行 m 千米

后到达点 B 处，又测得标志物 P 的俯角为 β，那么此时飞机离地面的高度为 ( )

∴ VBDE 的周长的最小值为 1

a ＋

a =1.5a ，故④ 正确； 2

锐角三 ∴DE 的最小值为

6

米

【答案】 A 【解析】

【分析】 根据锐角三角函数的概念进行作答 . 【详解】

在 P 点做一条直线垂直于直线 AB 且交于点 O ，由锐角三角函数知， AO=PO cot

m

BO=PO cot ，又 AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot = . 所以答案选 A. cot cot

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键

解析】

ABCD 的边长为 4，AE=BF=1，利用 SAS 易证得 △EBC ≌△ FCD ，然后全等三

角形的对应角相等，易证得 ① ∠DOC=90°正确， ③ CE=DF 正确； ② 由线段垂直平分线的性 质与正方形的性质，可得 ② 错误；易证得∠ OCD=∠ DFC ，即可求得 ④ 正确；由 ① 易证得 ⑤ 正确．

详解：∵正方形 ABCD 的边长为 4，∴ BC=CD=4，∠ B=∠DCF=90°． ∵ AE=BF=1，∴ BE=CF=4﹣1=3．

m tan tan

千米 D ．

m tan

tan

于点 O ，下列结论： 4 ① ∠ DOC=9°0 ， ②OC=OE ，③CE=DF ，④ta n ∠OCD= ，⑤S △DOC =S 四

C ． 3 个

D ． 4 个

分析：由正方形 千米 C ．

cot cot cot

cot 19．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 、 F 分别在 AB 、 BC 上，且 AE=BF=1，CE 、DF 交

)

B ． 2 个

答案】 D

BC CD

在△EBC 和 △FCD 中， B DCF ，

BE CF

∴△ EBC ≌△ FCD （ SAS ），∴∠ CFD=∠BEC ，CE=DF ，故 ③ 正确，

∴∠ BCE+∠BEC=∠ BCE+∠CFD=90°，∴∠ DOC=90°；故① 正确； 连接 DE ，如图所示，若 OC=OE ．

∵ DF ⊥ EC ，∴ CD=DE ．

∵ CD=AD

∵∠ OCD+∠CDF=90°，∠ CDF+∠DFC=90°，∴∠ OCD=∠DFC ，∴ tan ∠ OCD=tan ∠

DFC=

DC

= 4 ，故 ④ 正确；

FC 3

∵△ EBC ≌△ FCD ，∴ S △EBC =S △FCD ，∴ S △EBC ﹣S △FOC =S △FCD ﹣ S △FOC ，即 S △ODC =S 四

边形 BEOF

．

故⑤ 正确；

故正确的有： ①③④⑤ ． 故选 D ．

点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角 函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

20．为了方便行人推车过某天桥 ,市政府在 10m 高的天桥一侧修建了 40m 长的斜道 (如图所

示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数 ,具体按键顺序是 ( )

答案】 A 解析】

分析】 先利用正弦的定义得到 sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠ A ． 详解】

A

B

C

D

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝，

AC

所以sin∠ A＝0.25.

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．