【精品】高中数学必修一《指数函数、对数函数、幂函数》 讲义_知识讲解+巩固练习(含答案)_提高

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固

【学习目标】

1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。

4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。

【知识网络】

【要点梳理】

知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念

a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈

当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的

n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：

(1)当n

a =；当n

,0,

,0;

a a a a a ≥?==?

-

(2)

n

a =

3.分数指数幂的意义：

)0,,,1m n

a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n

m n

a

a m n N n a

-

=

>∈>

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：

()0,0,,a b r s Q >>∈

(1)r

s

r s

a a a

+= (2)()r s

rs

a a = (3)()r

r r

ab a b =

知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1x

y a

a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .

2.指数函数函数性质：

知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义

(1)若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =?=>≠>.

2.几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.

3.常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质

如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a

M M N N

-= ③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈

④log a N

a

N =

⑤log log (0,)b n

a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且

知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义

一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：

知识点五：反函数 1.反函数的概念

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表

示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1

()x f y -=，习惯上改写成

1()y f x -=.

2.反函数的性质

(1)原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的图象关于直线y x =对称.

(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1

()y f x -=的值域、定义域.

(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'

(,)P b a 在反函数1

()y f x -=的图象上.

(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念

形如()y x R α

α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).

(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在

[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x

轴与y 轴.

(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当q

p

α=

(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则q

p

y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q

p

y x =是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α

=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线

y x =下方.

【典型例题】

类型一：指数、对数运算 例1.计算

(1) 2

221

log log 12log 422

-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)22

2lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7

lg20172??? ?

??

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)1

2

-

；(2)1；(3)3；(4)14。

【解析】(1)原式=1

2

2221log 12log log 22-??===-； (2)原式=()()

22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2

lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5???+-+??

=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1

(3)原式=()2

2lg52lg2lg51lg2lg 2++++

=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；

(4)令x =lg0.7

lg20172??? ?

??

，两边取常用对数得

lg0.7lg 201lg lg 72x ??

??=??? ???????

=()1lg2lg7(lg71)(lg2)++--

=lg7lg 2lg7lg 2lg7lg 2+-+ =lg14

14,x ∴=即lg0.7

lg20

17

2??? ???

=14。

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.

举一反三：

【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）

A.0

B.1

C.2

D.4 【答案】C

【解析】552log 10log 0.25+=2

5555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=?==。

【变式2】(1)2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；(2)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+。 【答案】(1)2；(2)

54

。 【解析】(1) 原式2

2

(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；

(2) 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3

(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35

2lg 36lg 24

=

?=。 例2.（1）化简：533233

23

23

323

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b

a a ???

-÷++--

；

（2）计算：25

.021

21

3

2

5

.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---

（3）已知：4x =，求：

11124

4

3

114

2

2

111

x x x

x x x

x -+?

?+++的值.

【思路点拨】题目中的式子有根式、分数指数幂，要先化为分数指数幂以便用法则运算。

【解析】（1）原式=51

31212

13231312

3131312313

3133131)()

(2)

2()2()(]

)2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ???-÷

+?+-

2

3

2316

1653

13

13

13

13

1

2)2(a a a a a

a b

a a

b a a =??=?

-?

-=；

（2）原式=41

322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+-

92

2)2917(21]10

24251253794[=?+-=÷??+-= （3）

11124431

1422111x x x x x x x -+??+++1

14

41411122411111x x x x x x x ??+ ?-??=??+??

++ ?

??

11114

4

22

1112

2

2

1111111

1

x x

x x x x x

x x --=

?

?+=

+=-+=++

∴ 当4x =时，

1111124

4

2

2

3114

2

2

11421

x x x

x x x x

x -+?

?+===++.

【总结升华】如果题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求；解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各

式．1111

2222a b a b a b ????

+-=- ???????，2

111122222a b a a b b ??±=±+ ???;112112333333a b a a b b a b ????±+=± ???????

m

举一反三：

【变式】已知112

2

3x x -+=，求22332

2

2

3x x x x

--

+-+-的值。

【解析】∵112

23x x -+=，

∴

1

12

2

2()9x x -+=，

∴1

29x x -++=，

∴1

7x x

-+=，

∴

12

()49x x -+=， ∴22

47x x -+=，

又∵331112

2

2

2

()(1)3(71)18x x

x x x x -

-

-+=+?-+=?-=，

∴22332

2

2

472

3183

3

x x x x

--

+--=

=-+-

类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例3.设偶函数()f x 满足3

()8(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->= ( )

A.{}|24x x x <->或

B. {}|04x x x <>或

C. {}|06x x x <>或

D. {}|24x x x <->或 【答案】 B

【解析】3

()8(0)f x x x =-≥Q 且()f x 是偶函数.

33

8,0,()8,0,

x x f x x x ?-≥?

∴=?--??或(

)3

20,

280x x -?? ∴2,4,x x ≥??>?或2,0.

x x 或0x <，故选B 。

【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用. 举一反三：

【变式1】已知函数123,0,

()log ,0,

x x f x x x +?≤=?>?若0()3f x >，则0x 的取值范围是（ ）．

A. 08x >

B. 00x <或08x >

C. 008x <<

D. 00x <或008x << 【答案】A

【解析】依题意0

010,33x x +≤??>?或020

0,log 3x x >??>?即000,11x x ≤??+>?或02020,

log log 8x x >??>?，所以08x >，故选A 。

例4.设函数21

2

log ,0,

()log (),0x x f x x x >??

=?--，则实数a 的取值范围是( ) ．

A.()()1,00,1-U

B.()(),11,-∞-+∞U

C.()()1,01,-+∞U

D.()(),10,1-∞-U 【答案】C

【解析】解法一：①若0a >，则0a -<，

∴212

log log a a >，得22

1log log a a >，得1

a a

>，解得1a >。 ②若0,a <则0a ->，

∴122

log ()log ()a a ->-，221

log ()log ()a a ∴->-

解得()1,1a ∈-

由①②可知()()1,01,a ∈-+∞U 解法二：特殊值验证 令22,(2)log 21,a f ===

(2)1f -=-，满足()()f a f a >-，故排除A 、D 。

令2a =-，(2)1f -=-，(2)1f = 不满足()()f a f a >-，故排除B 。

【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用. 【高清课堂：幂指对函数综合377495 例1】

例5．函数)86(log 2

3

1+-=x x y 的单调递增区间是（ ）

A ．（3，+∞）

B ．（－∞，3）

C ．（4，+∞）

D ．（－∞，2）

【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】D

【解析】函数)86(log 23

1+-=x x y 是由2

13log ,68y u u x x ==-+复合而成的，13

log y u =是减函

数，2

68u x x =-+在(),3-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即

2680x x -+>，解得4x >或2x <，所以原函数的单调递增区间是(),2-∞，故选D 。

例6．已知函数y=(1 3 )

|x+1|。

（1）作出图象；

（2）由图象指出其单调区间；

（3）由图象指出当x取什么值时函数有最值。

【思路点拨】思路一：化去绝对值符号→将函数写成分段函数的形式→作图象→写出单调区间→写出x的取值；思路二：利用函数图象的变换作函数图象→写出单调区间→写出x的取值。

【解析】（1）图象作法一：由已知可得

1

|1|

1

1

(1)

1

,

3

3

3(1)

x

x

x

x

y

x

+

+

+

???

≥-

?

?? ?

==???

?

???

<-

?

其图象由两部分组成：

一部分是：

11

11

()(0)()(1);

33

x x

y x x

+

=≥??????→≥-

向左平移个单位

另一部分是：

11

3(0)3(1).

x x

y x y x

+

=≥??????→=<-

向左平移个单位

图象如图：

图象作法二：先作函数

||

1

3

x

y

??

= ?

??

的图象，再作函数

|1|

1

3

x

y

+

??

= ?

??

图象。

作法：将函数

1

3

x

y

??

= ?

??

图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数

||

1

3

x

y

??

= ?

??图象（上图中虚线），再将函数

||

1

3

x

y

??

= ?

??

图象向左平移1个单位得到函数

|1|

1

3

x

y

+

??

= ?

??

图象。

（2）由图象知函数在(,1]

-∞-上是增函数，在(1,)

-+∞上是减函数。

（3）由图象知当1

x=-时，函数有最大值1，无最小值。

举一反三： 【变式1】 函数1

2-=x y 的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】先作出2(0)x

y x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||

2x y =的图象，再

把||

2x y =的图象右移一个单位，得到1

2

-=x y 的图象，故选B

【变式2】已知函数|lg |,010,()16,10.2

x x f x x x <≤??

=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取

值范围是（ ）。

A.（1，10）

B.（5，6）

C.（10，12）

D.（20，24） 【答案】C

【解析】由,,a b c 互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设(0,1),(1,10),(10,12)a b c ∈∈∈，由()()f a f b =得lg lg 0,a b +=即lg 0ab =，所以1ab =，所以

()10,12abc ∈，故选C.

【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法。 例7.已知f(x)=log a (a x -1)(a>0,a ≠1) (1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性.

【思路点拨】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.

【解析】(1)使f(x)=log a (a x -1)有意义，则a x -1>0，即a x >1，

x y

O

1

x

y

O

-1

-1

O y

x

x

y

O

1

当a>1时，x>0；当01时，函数的定义域为 {x|x>0}； 当01时，设0

21x x a a <<，

∴12

011x

x a a

<-<-，

∴12

(1)(1)x

x a a log a log a -<-，

∴f(x 1)

∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数； 当0

21x x a a >>，

∴12

110x

x a a

->->，

∴12

(1)(1)x

x a a log a log a -<-

∴f(x 1)

∴当0＜a ＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数； 综上可知：函数f(x)=log a (a x -1)在其定义域上为增函数.

方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法 （1） 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； （2） 当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； （3） 分别求出两函数的单调区间；

（4） 按照“同增异减”确定函数的单调区间；

（5） 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。

类型三：综合问题

例8.已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数)

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性. (3)若函数y=f(x)是增函数，求a 的取值范围.

【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性

【答案】（1）2

1

(

,)a +∞；

（2）f(x)为增函数；（3）a ＞1． 【解析】(1)由ax x x ax <>-得0

∵a ＞0，x ≥0

2

2210a x x

a x x >

???

?<≥∴ ∴f(x)的定义域是),1

(

2

+∞∈a x . (2)若a=2，则)2(log )(2x x x f -=

设4

1

21>

>x x ， 则

1212(2(22()1]0x x x x -=--=->

)()(21x f x f >∴

故f(x)为增函数. (3)设11212

21>>>

>x a x a a x x 则

1212((()1]0ax ax a x x a ∴-=--=->

2211x ax x ax ->-∴ ①

∵f(x)是增函数， ∴f(x 1)＞f(x 2)

即12log (log (a a ax ax > ② 联立①、②知a ＞1， ∴a ∈(1，+∞).

【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可.

举一反三：

【变式1】已知()log (1)(0,1)x

a f x a a a =->≠．

（1）求定义域；

（2）讨论函数的单调区间； （3）解方程1

(2)()f x f

x -=．

【答案】（1）当1a >时，定义域为()0,+∞；当01a <<时，定义域为(),0-∞．

（2）当1a >时，函数在()0,+∞上单增；当01a <<时，函数在(),0-∞上单增． （3）log 2a x =．

【解析】（1）由10x a ->，得1x

a >，

∴当1a >时，定义域为()0,+∞；当01a <<时，定义域为(),0-∞． （2）当1a >时，设120x x <<，则21110x x

a a ->-> 21log (1)log (1)x

x

a a a a ∴->-，21()()f x f x ∴>

∴当1a >时，函数在()0,+∞上增函数；同理可证，当01a <<时，函数在(),0-∞上也是增函数．

（3）由()log (1)x a y f x a ==-，得1y x a a =-，推出1x y

a a =+，所以log (1)y a x a =+， 1()log (1)x

a f x a -∴=+，

1(2)()f x f x -∴=，2log (1)log (1)x x a a a a ∴-=+，211x x a a ∴-=+ 220x

x a

a ∴--=，2,1x x a a ==-（舍），log 2a x ∴=．

例9.已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数.

(1)求a ，b 的值；

(2)若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.

【思路点拨】（1）利用奇函数的定义去解。（2）先判断函数()f x 的单调性，由单调性脱掉函数符号f ，转化成二次函数问题去解决。

【答案】（1）2,1a b ==；（2）1

3

k <-。

【解析】(1) 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a

b

f 解得即

从而有.212)(1a x f x x

++-=+ 又由a

a f f ++-

-=++---=11

2

141

2)1()1(知，解得2=a (2)解法一：由(1)知,121

212

212)(1

++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式

0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-

因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222

2k t t t +->- 即对一切,0232

>--∈k t t R t 有从而3

1,0124-

<<+=?k k 解得 解法二：由(1)知,2

21

2)(1

++-=+x x x f 又由题设条件得02

2

122

2

121

221

222222<++-+

++-+--+--k t k

t t t t

t

即0)12)(22()12)(22(2

2

2

2

21

221

2<+-+++-+-+--+-k

t

t t

t

t

k t

整理得12

232>--k

t t ，因底数2>1，故0232>--k t t

上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3

1

,0124-<<+=?k k 解得

【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解.

举一反三：

【变式1】已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，（a ＞0，且a ≠1）． （1）求函数f （x ）的定义域；

（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由； （3）设1

2

a =

，解不等式f （x ）＞0． 【解析】（1）依题意知，10,

10.x x +>??->?

解得11x -<<

函数f （x ）的定义域为{}|11x x -<<。 （2）函数()f x 是奇函数

任取()1,1x ∈-，()1,1x ∴∈-，所以

()()log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a f x f x x x x x +-=+--+-+-+

=0

所以函数()f x 是奇函数。

（3）因为1

2a =

，所以12

1()log 1x f x x +=-

由1

2

1()log 01x f x x +=>-，得1

011x x +<<- 解得10x -<<

{}|10x x ∴-<<。

【高清课堂：幂指对综合377495 例5】

例10．设123()3

x x a

f x ++=

g （其中a 为实数），如果当(,1]x ∈-∞时恒有()0f x >成立，求实数a

的取值范围．

【思路点拨】由题意知，原不等式转化成1233x x a ??

????>-+?? ? ????????

?在(],1-∞上恒成立，只要求出不等式

右边部分的最大值就可以了。

【答案】1a >-

【解析】依题意，1230x

x

a ++?>?1233x x a ??

????>-+?? ? ????????

?在(],1-∞上恒成立。

则设(]12(),,133x x x x φ??

????=-+∈-∞?? ? ?????????

只需求()x φ的最大值 任取(]12,,1x x ∈-∞且12x x <

1122121212()()3333x x x x x x φφ????

????????-=-+++???? ? ? ? ?????????????????

=212111223333x x x x ????

????????-+-???? ? ? ? ??????????????

???

由于()01x

y a

a =<<是单调递减函数

12()()x x φφ∴<，即()x φ在(],1-∞上是单调递增的， max ()(1)1x φφ∴==-

1a ∴>-

【总结升华】解决本题的关键是把()a f x >转化成max ()a f x >，()a f x <转化成max ()a f x <，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意。

举一反三：

【变式1】设函数222

()log (01)12b

x x f x b b ax

-+=>≠+且。 （1）求()f x 的定义域；

（2）求使()0f x >在()0,+∞上恒成立的实数a 的取值范围。

【解析】（1）2

2

22(1)10x x x -+=-+>Q ，120,ax ∴+>即21ax >-

∴若0a =，则()f x 的定义域为R ；

若0a >，则()f x 的定义域为1,2a ??

-

+∞ ???

； 若0a <，则()f x 的定义域为1,2a ??

-∞-

??

?

。 （2）①当1b >时，在()f x 的定义域内，()0f x >等价于2

2212x x ax -+>+，即

2

2(1)10x a x -++>，于是问题等价于211

2(1)x a x x x

++<=+在()0,+∞上恒成立。

令1

()g x x x

=+，则()g x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，min ()(1)2,2(1)2g x g a ∴==∴+≤，即0a ≤。

另一方面要使()0f x >在()0,+∞上恒成立，则()0,+∞必是()f x 定义域的子集，由（1）可知0.a ≥ 由0a ≥且0a ≤可知0a =。

②当01b <<时，在()f x 的定义域内，()0f x >等价于2

2(1)1a x x +>+，于是问题等价于

1

2(1)a x x

+>+

在()0,+∞上恒成立。 显然这样的实数a 不存在。

综上所求的a 的取值范围为0a =。

【巩固练习】

1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数

2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( ) A ．4 B ．2 C ．0

D ．不确定

3．若函数x

2x 1x a f(x)=

(+)(-)

为奇函数，则a ＝( )

A.

12

B.

23 C. 34

D ．1

4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，

f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8

D ．9

5．设f (x )＝2x ,|x |1

x,|x |1

?≥?

A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．[1，＋∞)

6．已知f (x )＝2x 1,1x 0

x 1,0x 1+-≤≤??+<≤?

，则如图中函数的图象错误的是( )

7．已知f (x －

1x )＝x 2＋21

x

，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝

21

1

a a -+，则a 的取值范围是________．