2021年高三开学摸底考试(数学文)word版含答案
2021年高三开学摸底考试（数学文）word版含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题，则（）A．B．
C．D．
2．复数的共轭复数是（）A．B．C．D．
3．命题“若”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．若B．若C．若D．若
4．若，则（）A．B．
C．D．
5．在中，，则角A等于（）
A．60°B．45°C．120°D．150°
6．设，若l和的等差中项是0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．
7．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
8．设变量满足线性约束条件：，则目标函数的最小值为
（）
A．2 B．-2 C．6 D．8
9．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了500名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目新闻节目总计
大于40岁40 30 70
20至40岁160 270 430
总计200 300 500
下列说法最准确的是（）A．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
B．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
C．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关
D．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关
（参考公式：）
10．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，（）
A．B．1 C．D．
11．已知函数的图象如右下图所示，则函数的图象大致是（）
12．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题。
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，点C对应的复数为，则。
14．已知，试通过计算的值，推测出。
15．以直线为渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是。
16．下列不等式
①已知；
②；
③已知；
④。
其中恒成立的是 。（把所有成立不等式的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知集合2
{|2310},{|()(1)0}.P x x x Q x x a x a =-+≤=---≤ （1）若；
（2）若的充分条件，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知等差数列是递增数列，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
19．（本小题满分12分）
已知函数处取得极值。
（1）求曲线在点（1，0）处取得极值。
（2）求函数的单调区间。
20．（本小题满分12分）
已知
（1）求式子的最大值；
（2）求证：、不能同时大于
21．（本小题满分12分）
已知某厂生产件产品的总成本为（元）。
（1）要使生产件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且经过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，为直线OD的斜率，求证：为定值；
（3）在（2）条件下，当时，若的夹角为锐角，试求的取值范围。
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分。
DACDC BDBAC CD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
13．5
14．
15．
16．①②④
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：（1）21{|2310}{|1}2P x x x x x =-+≤=≤≤…………2分
当时，{|(1)(2)0}{|12}Q x x x x x =--≤=≤≤…………4分 则P ∩Q={1}…………6分
（2）1,{|()(1)0}{|1}a a Q x x a x a x a x a ≤+∴=---≤=≤≤+……8分 的充分条件，
…………9分
，即实数的取值范围是…………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）根据题意：，知：
是方程的两根，且…………2分
解得，设数列的公差为
由…………4分
故等差数列的通项公式为：4221(4)3(4)33
n n a a n d n +=+-?=+-?= …………6分 （2）当时，11
1121219(21)(21)9()()3333
n n n b a a n n n n -===-+-+
…………8分
又…………9分 1211111111(1)(1)23352121221n n S b b b n n n ∴=+++=-+-++-=--++ …………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）…………2分
处取得极值，…………3分
，经检验符合题意，
…………5分
则曲线在点（1，0）处的切线方程为
即=0…………6分
（2）函数的定义域为（0，+∞）…………7分
由得…………9分
由…………11分
的单调递增区间为，单调递减区间为…………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）
（当且仅当时“=”成立）
的最大值是…………4分
（2）证明：假设同时大于…………5分
即
三式同向相乘得①…………7分
，又由（1）知
…………9分
同理
…………11分
与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）设生产件产品的平均成本为元，则
212500020025000140200(0)40x x y x x x x ++
==++>…………2分
…………3分
令（舍去）…………4分
当时，取得极小值。
由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值， 因此要使平均成本最低，应生产1000件产品…………6分
（2）利润函数221()500(25000200)300250004040
x L x x x x x =-++=--……8分 …………9分
令…………10分
当
当
时，取得极大值，即函数在该点取得最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品…………12分
22．（本小题满分14分）
解：（1）根据题意有：…………2分
解得：
椭圆C 的方程为=1…………4分
（2）联立方程组
消去得： ①
设，AB 中点坐标为则有： 12000224,244x x kt t x y kx t k k
+-===+=++…………7分
00444OD OD y k k x k k
∴==-?=-?=-,故k k 为定值…………9分 （3）当时，①式为 故
212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++
…………11分
若的夹角为锐角，则有
即，解得
时，的夹角为锐角…………14分h28751 704F 灏32600 7F58 罘'M40191 9CFF 鳿24201 5E89 庉32154 7D9A 続29921 74E1 瓡25179 625B 扛36703 8F5F 轟30368 76A0 皠29197 720D 爍36619 8F0B 輋P