初等数学常用公式

初等数学常用公式：

（一）代数

乘法及因式分解公式

1.

(1)(x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab

(2)(a±b)2=a2 ±2ab+b2

(3) (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(5)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc

(6) a2-b2=(a -b)(a+b)

(7)a3±b3= (a±b) (a2ab +b2).

(8) a n-b n= (a-b)(a n-1 +a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1) (n为正整数)

(9) a n-b n= (a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1) (n为偶数)

(10) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1) (n为奇数) 2。指数运算（设a,b,是正实数，m,n是任意实数）

1.指数定义

下面（1）--（3）式中，m、n均为正整数．

（1）

= (n个a的乘积）；

a n

(2)

(3)

(4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示.

例如

2.指数运算法则

（1）

（2）

(3)

(4)

(5)

式中a.>0 ，b>0；x1，x2，x为任意实数．

3.对数定义

若a x=b (a>0 , a≠1) ，则x称为b的以a 为底的对数，记作

当a=10时，，称为常用对数.

当a=e 时，，称为自然对数.

4.对数的性质

（1）(2)

(3)(4)

(5)换底公式由此可推出：

（a）（在换底公式中取c=b）

(b) （在换底公式中取c=10）

5.对数运算法则

(1)

(2)

(3)（x 为任意实数）

1.基本不等式

在下面1）～5）各式中，设a >b, 则

1) a ±c > b ± c

2) ac > bc (c>0)；ac

3),

4) a n>b n ( n>0, a>0, b>0) ; a n0, b>0)

5) (n为正整数,a>0,b>0)

6）设且b, d同号，则

2. 有关绝对值的不等式

(1)绝对值的定义

实数a的绝对值

实数的绝对值是数轴上点到原点的距离．

(2) 有关绝对值的不等式

(a) 若a , b,…, k为任意复数（包含实数），则

(b）若a ,b为任意复数（包含实数），则

(c）若则

-b≤a≤b特别有

（d）若则a>b或a<-b

（e）

（f）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则

(g）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则

有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式

1) sin x

2) cos x<<1 (0

3)()

4)(-∞

5)( x>0 )

6) ( 0

7)( 0

8)( x≠0 )

9)( x<1, x≠0 )

10)(n为自然数，x>0)

11) ( x ≠0 )

12) ( x >-1, x ≠0 )

13)

( x >-1, x ≠0 )

14)

( x > -1, x ≠0 )

特别取

(n 为自然数 ), 有

15）ln x ≤ x-1 ( x >0 )

阶乘、排列、组合、二项与多项式

1.阶乘

注：表中n 为自然数 2.排列

(a) 从n 个不同的元素中每次取出k 个(k ≤n )不同的元素，按一定的顺序排成一列，称

为排列．其排列种数为：

(b) 特别当k =n 时，此排列称为全排列．其排列种数为：

定义

说明

0！=1 规定

n 的阶乘 (-1)!!=0

规定

(21)!(21)!!135(21)2!

n

n n n n ++=?????+=

奇数的阶乘 0!!=0 规定

偶数的阶乘

3.组合

(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组，称

为组合．其组合种数为：

(b) 组合公式

4.二项与多项式

(a) 二项式公式

(b) 二项式系数，杨辉三角形

我国南宋时期数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》（1261年）中记载着有关二项式系数的研究．在二项式公式中分别取n=0, 1, 2 ,…, 6 时，其二项式系数可表示成三角形，称为杨辉三角形．

(a+b)01

(a+b)111

(a+b)2121

(a+b)31331

(a+b)414641

(a+b)515101051

(a+b)61615201561

代数方程

1．一元n次代数方程

其中n为正整数；a0 , a1,…, a n是属于数域S（实数域或复数域）的常数；x为未知数.

f(x)称为一元n次多项式；方程f(x)=0称为一元n次代数方程；最高次项系数a0称为首项系数.

设c是一常数，使f(c)=0 , 则称c为多项式f(x) 或方程f(x)=0 的根．

代数基本定理每个复数域上n次代数方程

在复数域中至少有一个根．

代数基本定理的推论每个n次代数方程在复数域中有且只有n个根.

2．一元二次方程

方程

根的表达式

根与系数关系

判别式

有两个不等的实根

有两个相等的实根

有两个复根

有两个不等的实根

有两个相等的实根

有两个复根

二. 三角函数公式表

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，

左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两

个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三

角函数值的平方和等于下顶点的三角函数

值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相

邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）=------——————

1－tanα 2tanβ 2tan(α/2)

sinα＝--——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2) cosα＝----——————-- 1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα－tanβ

tan（α－β）＝------—————— 1＋tanα 2tanβtanα＝-----—————— 1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式

三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———

2 2

α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———

2 2

α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———

2 2

α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———

2 2

1

sinα ·cosβ＝---[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα ·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα ·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2

1

sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]

2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

三.初等几何

在下列公式中，字母R ，r 表示高，l 表示斜高，s 表示底面积 1.园：周长2r =π

2.扇形：面积2

12

r =

θ??，其中r 为半径，θ为扇形的园心角（以弧度计）， r θ为扇形的

弧长

3.棱锥：体积13

sh =

4.正园锥：体积2

13

r h =

π ； 侧面积rl =π； 全面积()r r l =π+

5.截圆锥：体积22

()3

h R r R r π=

++； 侧面积()l R r =π+

6. 体积3

43

r =

π； 表面积2

4r =π

直棱柱侧面积 S=c 2h 斜棱柱侧面积

S=c'?h

正棱锥侧面积

S=1/2c.?h'

正棱台侧面积

S=1/2 (c+c')?h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=π?(R+r)l球的表面积S=4π?r2

圆柱侧面积S=c?h=2?π?h圆锥侧面积S=1/2?c?l=π?r?l

弧长公式l=a?r a是圆心角的弧度数

r >0

扇形面积公式s=1/2?l?r

锥体体积公

式

V=1/3?SH圆锥体体积公式V=1/3?π?r2h

斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公

式

V=s?h圆柱体V=π?r2h

常用直线方程（点斜式、斜截式、两点式和截距式）

(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．

当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)

也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．

对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式

例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．

解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．