2015年安徽省高考理科数学试题及答案(word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

参考公式:

如果事件A 与B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+;

标准差:s =

,其中121

()n x x x x n

=

+++.

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，则复数

21i

i

-在复平面内所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限

211i

i i

=-+-,选B.

（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2

1y x =+ 选A.

（3）设:12p x <<,:21x

q > ，则p 是q 成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 选A.

4、下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）

（A ）22

14y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）22

14

x y -= 选A.

5、已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行

（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 选D.

6、若样本数据1x ，2x ，???，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，???，1021x -的标准差为（ ） （A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32

若样本数据1x ，2x ，???，10x 的方差为2

S ,数据121x -，221x -，???，1021x -的方差为20S ,则2204S S =,

所以所求标准差为16,选C.

7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A

）1+ （B

）2+（C

）1+ （D

）

如图,面ABC ⊥面ABD

,AC BC AD BD ====2AB =,E 是AB 的中点,选B.

8、C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）

（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ?= （D ）()

4C a b -⊥B

因为C ?AB 是边长为2的等边三角形,所以

C 2(2)4cos602a a b AB?A =?+==,即2

(2)21a a b a a b ?+=+?=,又|||2|2a AB ==,所以||1a =,因此1a b ?=- ;

因为BC AC AB b =-=,所以||2b =,因此

2

(4)C (4)40a b a b b a b b -?B =-?=?-=,所以选D.

另:可画图,得(A)(B)(C)均错,选D.

9、函数()()

2

ax b

f x x c +=

+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <

由()()

2

ax b

f x x c +=

+的定义域知0c ->,即0c <;由(0)0f >知0b >;()()

222

22ax bx ac bc

f x x c --+-'=

+,则

22220ax bx ac bc --+-=有一解为c -,另一解为0(0,)x c ∈- ;而22220ax bx ac bc --+-<的解为0x x c <<-,所以0

a ->,即0a <;选C.

侧(左)视图

俯视图

10、已知函数()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当23

x π

=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()(

02f f f << （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()20f f f <<作图知,选(A)

二、填空题:本大题共5小题。每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置

11.3

71()x x

+的展开式中5

x 的系数是 （用数字填写答案）

3(7)214177r r r r r r T C x x C x ---+=?=,由2145r -=得4r = ,所以4

735C =.

12.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3

R π

θρ=∈距离的最大值是

画图.6

13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 4n =

14.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于

因为2314

8a a a a ==,所以14,a a 是2

980x x -+=的解,又数列{}n a 是递增的等比数列，所以14

18a a =??=? ,因此数列{}n a 的前n 项和等于21n

- .

15. 设3

0x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）

(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==.

解:令3

2

(),()3f x x ax b f x x a '=++=+,当0a ≥时,()0f x '≥,则()f x 在R 上单调递增函数,此时

30x ax b ++=仅有一个实根,所以(4)(5)对;

当3a =-时,由2

()330f x x '=-<得11x -<<,所以1x = 是()f x 的极小值点,由(1)0f >,得

31310b -?+>,即2b >,(3)对.

1x =- 是()f x 的极大值点,由(1)0f -<,得3(1)3(1)0b --?-+<,即2b <-,(1)对.

(1)(3)(4)(5)

三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内 16.在ABC ?

中，3,6,4

A A

B A

C π

∠=

==点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。 解:在ABC ?中

,2

2

2

2cos 183626(90BC AC AB AC AB A =+-?∠=+-??=,

即BC =;从而2222cos AC BC AB BC AB B =+-?∠

,cos 10

B ∠=

; 又AD BD =,

所以cos 310

BD B BD ?∠=

?= ,

所以AD BD ==(17) (本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值.

解:(1) 233

)5410

(P ?=

=?第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品 ; (2) X 的可能取值为200,300,400 200X =表示前2次取出的是次品;

300X =表示前2次取出的是1件次品和1件正品,第三次取出的是次品;或前3次取出的都是正品;

400X =表示前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件次品; 前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件正品.

2

2251(200)10A P X A ===,1132333

523(300)10C C A P X A +===;3123234526

(400)10

A C C P X A ===. 136

()200300400350101010

E X =?

+?+?= .

第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品

(18) (本小题满分12分)设*

n N ∈,n x 是曲线22

1n y x

+=+在点(1,2) 处的切线与x 轴交点的横坐标.

(1)求数列{}n x 的通项公式;

(2)记22

21321n n T x x x -=??

?,证明:1

4n T n

≥

. 解:(1) 21

(22)n y n x

+'=+,当1x = 时,22y n '=+ ,所以曲线22

1n y x +=+在点(1,2) 处的切线为

2(22)(1)y n x -=+-;

因此曲线22

1n y x

+=+在点(1,2) 处的切线与x 轴交点的横坐标1

n n x n =

+; (2)由(1)知21

22

22

21(21)()24n n n x n n

---==,令22

21321()44n n f n nT nx x x -==???,则()0f n >;

因为2222

22132121

2222

13214(1)(1)121441()1()42244n n n n x x x x f n n n n n f n nx x x n n n n

-+-+????+++++==?=>???++ 所以()f n 在*n N ∈单调递增的,因此2

211()(1)44()12

f n f x ≥==?=,

所以()1f n ≥,即1

4n T n

≥.

另:可用数学归纳法和放缩求积.

(19) (本小题满分13分)如图所示,在多面体111A B D DCBA 中,四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过

1A ,,D E 的平面交1CD 于F .

(1)证明:1EF B C <;

(2)求二面角11E A D B --的余弦值.

()1证明:因为11AA B B ,ABCD 均为正方形,所以11A B CD

∥, 因此四边形11A B CD 是,所以11A D B C <;

而11B C A DE ?面,11A D A DE ?面,所以11B C A DE 面<,又 因为过11,,B C D 平面交1A DE 面于EF ,所以1EF B C <.

(2) 取1B C 中点M ,取1A D 中点H ,连HM ,1HD ,则HM CD <,由四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形知1CD A D ⊥,11HD A D ⊥,因此11A D MHD ⊥面,设1MHD 面交EF 于N .连HN ,则

11,A D HN A D HM ⊥⊥,所以MHN ∠为二面角11E A D B --的平面角.

B

B D 1

由(1)知1EF B C <,又E 为11B D 的中点,所以N 为1MD 的中点. 设四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 的边长为2,在1Rt MHD 中

,1112,2MH HD HN MN MD ====

=. 在MHN

中

,222cos 22HN MH MN MH MHN HN MH HN +-∠===?.

所以二面角11E A D B --

的余弦值为3

另:可补形,也可建立坐标系来做.

(20)(本小题满分13分)设椭圆E 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,点O 为坐标原点,点A 的坐标为(,0)a ,

点B 的坐标为(0,)b ,点M 在线段AB 上,满足||2||BM MA =,直线OM

(1)求E 的离心率e ;

(2)设点C 坐标为(0,)b -,N 为线段AC 中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为

7

2

,求E 的方程. 解:(1)由点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为(0,)b ,点M 在线段AB 上,满足||2||BM MA =,

知2BM MA =,即点M 分线段BA 的比为2,所以点2(

,)33

a b

M ;又直线OM

所以2b a =,

即a =,由222a b c =+得2

45

e =

,5e =.

(2)因为N 为线段AC 中点,,所以(

,)22a b N -

即(

,)22b N -,而直线AB 的方程为1x y

a b

+=,

即x +=;

而点N 关于直线AB

的对称点纵坐标为

)

7222

66

b

b --=;

又点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7

2

,所以2b =,因此

, a ==所以

221204x y +=为所求.

D 1

B D B

21. (本小题满分13分)设函数2

()f x x ax b =-+. (1)讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-

内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (2)记2

000()f x x a x b =-+,求函数0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22

ππ

-

上的最大值D; (3)在(2)中.取000a b ==,求2

4

a z

b =-满足条件1D ≤时的最大值.

解: (1)令sin ,(,),(1,1)22t x x t ππ

=∈-∈-, 2()f x x ax b =-+开口向上,对称轴为2

a

x =; 1)当

12a ≤-,即2a ≤-时, (sin )f x 在(,)22

ππ

-内是单调递增的; 2)当12a -<<,即22a -<<时,函数(sin )f x 在2

a

t =处取得极小值, 2(sin )4a f x b =-+极小; 3)当12

a

≤,即2a ≥ 时, (sin )f x 在(,)22ππ-内是单调递减的;

另:2

(sin )sin sin f x x a x b =-+,(sin )2sin cos cos cos (2sin )f x x x a x x x a '=-=-,因为

(,)22x ππ∈-,所以cos 0x >,由(sin )cos (2sin )0f x x x a '=-≤得sin 2

a x ≤.

1)当12a -<<,即22a -<<时,函数(sin )f x 在sin 2

a

x =处取得极小值, 2(sin )4a f x b =-+极小; 2)当2a ≤-时, (sin )f x 在(,)22

ππ

-内是单调递增的;

3)当2a ≥时, (sin )f x 在(,)22

ππ

-内是单调递减的; (2) 令sin ,[,],[1,1]22

t x x t ππ

=∈-

∈-, 000000|(sin )(sin )||()()||()||()()|f x f x f t f t a a t b b a a t b b -=-=--+-=---,

所以0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22

ππ

-

上的最大值为0000max{|()

()|,|()()()|}22

D a a b b a a b b π

π

=------- . 因为22000000|()

()||()()()|2()()22a a b b a a b b a a b b ππ

π--------=--- 所以当00a a b b ≥??≥?或00a a b b

00|()

()|2

D a a b b π

=---.

(3)在(2)中, 000a b ==时, max{||,|()|}max{||,||}2222a a D a

b a b b b π

πππ

=---=-+; 由22||||222a a b b ab πππ--+=-;所以当00a b ≥??≥?或00a b

=-;当00a b

a D

b π=+.

因此,当00a b ≥??≥?或00a b

a b ≥??

=+≤.