锐角三角函数全章教案

锐角三角函数全章教案

．1 锐角三角函数初三备课组

教学目标1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦，正弦概念．

教学过程情境引入

比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 m．至今，这座高 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述

比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求 AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？

结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜

边的比值是一个固定值，为．

问题2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．

B

A的对边BC2斜边AB2

如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A 的对边与斜边的比

A的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角

2的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 450角的对边BC2斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角

3的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 600角的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt△ABC 和 Rt△ABC，使得∠C =∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么

'''B'C'BCAB与 A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？

解：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △ABC

BCBCAB ∴ABBCAB∴BCAB

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即

A的对边a斜边c EMBED sin A=

B

1sin 30°=2，sin 45°=

232，sin 60°=2

例如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A 和 sin B 的值．练习提高，提升能力

练习1 如下三幅图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin

A 和 sin

B 的值

练习2 判断下列结论是否正确，并说明理．

在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100

AC10倍； 62BC如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B= = 4．反思与小结 1．本节课我们学习了哪些知识？

2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业

1．教科书第 64 页练习．

2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．教学反思

．2 锐角三角函数

B 4

3 2 C C

6 A A

C

教学目标

1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tan A 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；

能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数

值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程类比推理，提出概念

请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念

如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F

ACDFBCEF=90°， AB 与 DE 相等吗？ AC 与 DF 呢？

证明推理，得到概念

在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的

比都是一个固定值．

在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作 cos A ．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan A ．证明推理，得到概念

∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．巩固概念

如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值. 小结反思

1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？ 2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业

教科书第 68 页习题第 1 题．教学反思

．4 锐角三角函数

课型：习题课教学目标：

1.主进一步认识锐角三角函数

2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标: 1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；

2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：

根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简

单计算．知识梳理

问题 1 锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．

问题2 借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．典型例题

例1 已知，如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使

AD=AB．求∠D，tan D．例2 已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= 43 ，求劣弧 AB 的长．

1例3 已知，如图，钝角△ABC 中，AC=12 cm，AB=16 cm，sin A=3 ．求 tan B．

小结与反思

回顾上述三个例题的解题思路，思考：

在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业

1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 10 的⊙A 经过点C和点O，与x 轴交于另一点D，点 B 是优弧 ODC 上一点，求∠OBC 的余弦值．

3 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA=16 cm，OC⊥AB于 C 点，sin∠AOC=

4 ，求 AB

及 OC 的长．

13．已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD=90°，tan B=3 ，求∠CAD 三

角函数值．

教学反思

y A O B A A O D C B x B C

．1解直角三角形及其应用

课型：新授课教学目标

1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法． 2．了解解直角三角形的意义和条件；

3．能根据已知的两个条件，解直角三角形．教学重点、难点：

解直角三角形的依据和方法．教学过程

实例引入，初步体验

问题1 设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= m， AB= m，求∠A 的度数．概念

一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．三边之间的关系a2+b2=c2 ；两锐角之间的关系

∠A+∠B=90°；边角之间的关系

aba sin A=c ， cos A=c ， tan A=b babsin B=c ， cos B=c ， tan B= a．

问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究

例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2 ，BC=6，解这个直角三角形．例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．应用迁移，巩固提高练习：编写一道解直角三角形的题并解答．

归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素，我们就可以解

这个直角三角形．一般有两种情况：已知两条边；

已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思

1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？ 2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？ 3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业

教科书第 74 页练习；

教科书习题第 1 题．教学反思

．2 解直角三角形及其应用

课型：习题课教学目标

1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．

2. 熟练掌握解直角三角形的方法；

3. 能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点

灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理

问题 1 什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？

问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.

斜边 c 和一条边锐角∠A 和一个直角边 a 锐角和锐角∠A 两条直角边 a 和 b 两条边直角边 a 和斜边 c ∠B= ，a= ， b=______ ∠B=______，b=______，

c=______ c=______，______ 求∠A=______，∠B=______ b=______，______ 求∠A=_____，∠B=______ 典型例题例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： a=

3 ，c= 6 ；

∠B=60°，b=4；

∠A=60°，△ABC 的面积 S= 123 ．

例2 在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4，求 AD 的长．例3 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和BC．布置作业

1．已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．

2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求 AD，CD 的长．教学反思

．3 解直角三角形及其应用

教学目标

1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．

2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力

3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程复习引入，知识储备

问题1 如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半径为 1 cm，PB= cm，则∠AOB= ，弧AB= ．问题2 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种：重叠、向上和向下．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． A

应用知识，解决问题

问题3 20XX 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形

轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远

的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？

铅垂线视点视线P B O 仰俯

水平线视线

从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？

从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．

在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表

示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．

如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？

弧PQ的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ．

应用知识，解决问题

问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高？从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→α=30°从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→β=60°

热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC．这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？

在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知

识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．归纳总结

应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：

将实际问题抽象为数学问题；根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；得到数学问题的答案；

得到实际问题的答案．

如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业

教科书习题第 2，3，4 题教学反思

．4 解直角三角形及其应用

教学目标

1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。 2．了解方位角、坡角、坡度；

3．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题；4．体会数形结合和数学模型思想．教学重点：

把实际问题转化为解直角三角形的问题．教学过程问题1

一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明．从 B 处观测到 A 处的轮船是________ 方向．问题2 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方

向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远？探究根据题意，你能画出示意图吗？

结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？

你能写出解题过程吗？

想一想，求解本题的关键是什么？

B 40°

C 35° A

问题3

海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东

30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？思考

1．渔船 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近？2．最近的距离怎样求？

3．如何判断渔船有没有触礁？

问题4

如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1 比是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1 比3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：

坡角α和β的度数；

斜坡 AB 的长．

反思归纳

回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？

有的同学说，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，对此你有什么看法？

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题；根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；得到数学问题的解；得到实际问题的解．布置作业

教科书习题第 5，9 题教学反思

锐角三角函数章末整合教学目标

1.对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．

2.熟练掌握直角三角形的解法，并用相关知识解决一些简单的实际问题，进一步加深对锐角三角函数的认识．教学重点：

梳理本章的知识结构体系，并灵活运用锐角三角函数和解直角三角形的知识解决问题．

教学过程知识梳理

问题1 请同学们解答下列问题：

锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数.

两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？

你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？

锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？体系建构

问题2 整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？典型例题直角三角形中的边角关锐角解直实际3角三5例1 在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，cos B= ，求 sin B，tan A 的值．三角函若去掉“AB=10”这一条件，你还能完成此题的解答吗？

例2 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求 CD 的

长．

例3 城市规划期间，欲拆除一电线杆 AB，已知距电线

杆 AB 水平距离 14 m 的 D 处

有一大坝，背水坡 CD的坡度 i =2∶1，坝高 CF 为 2 m，在坝顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30°，D，E 之间是宽为2 m 的人行道．试问：在拆除电线杆 AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？

课堂小结

通过对本章的学习，你认为本章的核心知识是什么？在学习过程中，还有哪些需要注意的地方？教学反思A

G B

30° C E D F 人行道

．1 锐角三角函数初三备课组

教学目标1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新

的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦，正弦概念．

教学过程情境引入

比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 m．至今，这座高 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求 AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？

结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜

边的比值是一个固定值，为．

问题2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．

B

A的对边BC2斜边AB2

如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A 的对边与斜边的比

A的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角

2的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 450角的对边BC2斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角

3的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 600角的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt△ABC 和 Rt△ABC，使得∠C =∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么

'''B'C'BCAB与 A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？

解：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △ABC

BCBCAB ∴ABBCAB∴BCAB