地震波的吸收

五、 地震波的吸收

1.对吸收的概括说明

弹性介质是实际介质的近似，实际介质对地震波有吸收。使波传播时能量很快衰减。地震波的能量不可逆地转化成了热能散发掉叫做吸收。

目前公认岩石颗粒之间的内摩擦力是吸收的主要原因，这种内摩擦力也叫粘滞力。

不同的介质中，内摩擦力所遵守的规律不同，其中沃尹特（Voigt ）的假设比较有代表性。

2．沃尹特（Voigt ）假设下的波动方程

（1）沃尹特假设

前面讨论的完全弹性介质中的波动方程是在应力与应变成正比（虎克定律）的条件下得到的。 沃尹特假设：应力与应变的关系包括两部分，一部分是应力与应变成正比的满足虎克定律的应变，另一部分是应力与应变的时间变化率成比例的粘滞效应。

（2）沃尹特假设的粘弹介质中的波动方程

t

u t u t u ???+???+?+?+=??222231)(ηθημθμλρ (6.1-45) k z

j y i x grad ??+??+??==? η是粘滞系数。

对（6.1-45）求散度，可得纵波的波动方程为：

θημλθρ222]34)2[(???++=??t t

(6.1-46) 对（6.1-45）求旋度，可得横波的波动方程为：

u rot t

u rot t 222)(???+=??ημρ (6.1-47) 3.沃尹特粘弹介质中一维谐波方程的求解

（1）求解

分析平面谐波沿X 方向传播，以纵波为例。

假设纵波的位移位是：

)(0)(0),(Kx t j v x t j e e t x --==ωωφφφ (6.1-48) x u z w y v x u ??=??+??+??=θ （注：波沿x 方向传播，y

v ??=0，z w ??=0） 又x u ??=

φ (注：w v u x grad u ++=++??==00φφ) φφθ222K x

x u -=??=??=∴ (6.1-49) 将(6.1-49)代入(6.1-46)，得

22234)2(K j K ηωμλρω++=

ωημλρωηωμλρω'++=++=∴j j K )2(3

)2(2

2

2 （ηη34'=） (6.1-50) 将上式有理化，得

}])2[(])2[(2{])2[(2122221222212222

2ωημλωηωημλμλωημλρω'++'-'+++'++=j K (6.1-51) 222)2(ωημλ'++ ωη'

β

μλ2+

βωημλμ

λcos ])2[(221222='+++

βωημλω

ηsin ])2[(21222='++'

βμ

λωηtan 2=+'

)2(tan 1μ

λωηβ+'=- 这样，(6.1-51)可写成

)]2(tan exp[])2[(1212222

2μ

λωηωημλρω+'-'++=-j K （βββsin cos j e j -=- βββsin cos j e j +=）

)]2(tan 21exp[])2([142

224

21μλωηωημλωρ+'-'++=-j K 或)]}2(tan 21sin[)]2(tan 21{cos[])2([114222421μ

λωημλωηωημλωρ+'-+''++=--j K (6.1-52) 令R 表示上式中的实数部分，α表示虚数部分，

则 )]2(tan 21cos[])2([142

224

21μλωηωημλωρ+''++=-R (6.1-53) )]2(tan 21sin[])2([142224

21μ

λωηωημλωρα+''++=- (6.1-54) 于是 αj R K -= (6.1-55) 将(6.1-55)代入(6.1-48)，得

)(0),(Rx t j x e e t x --=ωαφφ (6.1-56)

(2)对上述求解过程的大致说明

假设的解为)(0),(Kx t j e

t x -=ωφφ （6.1-48） 真正的解为)(0),(Rx t j x e e t x --=ωαφφ （6.1-56） 二者的差别在于衰减项x e α-，这正是吸收项。

吸收作用的实测结果是随传播距离的增加振幅呈指数衰减，我们正希望最终的解当中出现x e α-。

分析（6.1-48）只有K 变成复数才能出现x e α-项，可以认为沃尹特已经按这套思路去处理了。

另一点要说明的就是：沃尹特假设下的波动方程（6.1-46）无法求解。所以沃尹特先假设解为（6.1-48）的形式，然后代入（6.1-46）来确定K 值。最

终确定的αj R k -=达到了开始的设想。 （3） 沃尹特介质中的波动方程解（6.1-56）的物理意义

①有频散

波在沃尹特介质中传播速度是频率的函数，即有频散。

)]2(tan 21cos[])2([1

1422221μλωηωημλρω

+''++==-k V （6.1-57）

均匀介质：ρμλ2+=p V ，ρ

μ=s V 不同频率的波传播速度不同，结果会改变波剖面的长度。例如：前进中的队伍。 ②波的吸收与频率有关

从解（6.1-56）可见，α是吸收系数。

)]2(tan 21sin[])2([142224

21μ

λωηωημλωρα+''++=- (6.1-54) 介质对不同频率的波吸收不同，（6.1-54）与频率的关系不直观。

目前公认的结果为：

在地震勘探范围内，f<200HZ ，α=α0f

高频吸收重，低频吸收轻。

4．品质因数

（1）品质因数的定义

在一个周期内（或传播一个波长的距离内）波动所损耗的能量ΔE 与总能量E 之比的倒数叫品质因数Q 。

即 E

E Q π21?= （6.1-62） 或 E

E Q ?=π2 (2)品质因数Q 的物理意义

Q 值是一个无量纲的量。

Q 值越大，介质的吸收越小，介质越接近于完全弹性介质。

Q 值越小，介质的吸收越大。

(3)品质因数Q 与吸收系数α之间的关系

设波的初始振幅为A ，能量E ∝A 2

则波传播λ距离后振幅为Ae -αλ，能量E ∝A 2e -2αλ

ΔE ∝A 2-A 2e -2αλ αλ21--=?e E

E f

V T V e Q p p παπαπαλπαλ==≈-=-2112 注：展级数，去高次项。

p

V f Q απ≈ 吸收系数与品质因数成反比。 当Q 值与频率f 无关时，则上式成为：

f Q V f

p 0απα== 这是目前地震频带内公认的结果。

（4） 说明

①用吸收系数研究介质的吸收不方便

因为α与频率有关，所以吸收系数α与震源有关,也与介质有关。

②用Q 值研究介质的吸收较方便

当f 0αα=时（在地震频带内经得起实际考验）

则Q 值与频率无关，即Q 值与震源无关，Q 值只与介质有关。即：Q= Q(x,y,z)。又因为Q 值横向变化不大，近似有Q= Q(z)。

③李庆忠经验公式

2.214p V Q ≈ (p V 单位取km/s)

或62.22.210516.3)1000

(14-??=?=p p V V Q (p V 单位取m/s) 说明:李氏公式并不是用p V 求取Q ，而是可大致了解Q 值趋势。不过有工区的 V P 资料，可用这个公式建立初始Q 值模型，进行理论模型的研究。

(5)地震中几点经验

① 介质对高频的吸收比对低频的吸收厉害（用f 0αα=说明）

② 浅层的吸收比深层的吸收历害。

因为， 浅层：V 小，Q 小，α大

深层：V 大，Q 大，α小

③ 砂岩含油气时比不含油气吸收历害。

有油气，V P 小，Q 小，α大。

六、说明

§1.3难度较大，该节概括了《弹性力学》的主要内容。

要求了解波动方程的形式，了解波动方程求解的思路。公式不要求推导，但物理概念要清楚。