探究绝对值函数最值的求法
探究绝对值函数最值的求法及应用
2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路
一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200| ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数
z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。
那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。
一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。
例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2
?≥??????（）（， 作出其图象如右图：由图象可知其当12
x =
时， 原绝对值函数的最小值为0。
例2求函数|21||22|y x x =-++的最小值。
解：由于该函数 |21||22|y x x =-++14x+1(x 211=3(- ），作出其 图象如右图所示。则当11- 22 x ≤≤时，其函数的最 小值为3： 例3、求函数y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。 解：由于该函数可化成分段函数，则 y=|x+1|+|x-1|+|x-2|=3x-2x>2)x-4(1 -x+4(-1 ??≤?????≤??（ 作出其图象如右图： 结论1：对于函数1212||||()y x x x x x x =-+-<，当且仅当12x x x ≤≤时，函数y 有最小值21x x -。 证明如下：由于函数1212||||()y x x x x x x =-+-< 该函数等价于： 12221121212()()2()x x x x x y x x x x x x x x x x -->??=-≤≤??-++ ， 作出其图象如右图：从图象可知，当12x x x ≤≤时， 该函数的最小值为21x x -。 结论2：对于函数123123||||||()y x x x x x x x x x =-+-+-<<，当且仅当2x x =时，函数y 有最 小值为31x x -。 证明如下：由于函数123123||||||()y x x x x x x x x x =-+-+-<< 该函数等价于 1233321233122311212313()()()()3() x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ---≥??+--< 该函数的图象如右图所示： 由图象中知：当且仅当2x x =时该函数的最 小值为31x x -。 以上两个结论可推广到任意n 个绝对值的和的最值问 题。结论如下： 推论1：对于函数12212123212||||||||()n n n n y x x x x x x x x x x x x x --=-+-+???+-+-≤≤≤???≤≤ 当且仅当1n n x x x +≤≤时，函数y 有最小值为21212211()()()()n n n n n n x x x x x x x x -+-+-+-+???+-+- （n N * ∈）。 推论2：对于函数1221||||||n y x x x x x x -=-+???+-+???+-（12321n x x x x -≤≤≤???≤）当且仅当 n x x =时，函数y 有最小值21122211()()()n n n n x x x x x x --+--+-+???+-（n N *∈） 二． 运用以上推论，达到求函数最值的目的： 下面我们来解以下高考试题： 例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一 棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。先将该题放在数轴上来研究。 即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题。 解：以一段直线公路为x 轴，建立如图所示的数轴坐标系。 设领取树苗的坐标为 x 时，每位同学前来 领取树苗往返所走的 路程和为y 米，则 y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|+ ——，根据推论1可知：当且仅当100110x ≤≤米时，函数y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|+ ——有最小值： 2[(20010)(19020)(18030)(17040)(16050)(15060)(14070)(13080)(12090)(110100)]?-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=2000（米） 或 2[(10010)(10020)(10030)(10040)(10050)(10060)(10070)(10080)(10090)(100100)?-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ |100110||100120||100130||100140||100150||100160||100170||100180||100190||100200|]-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=2000（米） 例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街 道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3， 1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。 分析：该题是一个实际应用题；考查的知识点也是求绝对值和的最值问题。该题已经将格点放在平面直 角坐标系中，由于发行站与各报刊之间只能沿x 轴与y 轴两个方向穿越，因此可将该问题转化为求x 轴与y 轴两个方向上含绝对值和的最值问题。 解：设发行站格点为P ()00,x y 时，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和为z ，则 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6| |2||2||3||3||4||6||1||2||3||4||5||6|x x x x x x y y y y y y =++++-+-+-+-+-+-+-+-+-+- 要求以上含绝对值和的最值问题，可分别求函数 |2||2||3||3||4||6|x z x x x x x x =++++-+-+-+-与函数 |1||2||3||4||5||6|y z y y y y y y =-+-+-+-+-+-两个函数的最小值。 根据以上推论1可知当且仅当33x ≤≤即3x =时，x z 有最小值 [6(2)][4(2)](33)--+--+-=14；当且仅当34y ≤≤时，由于y N *∈即3y =或4y =时，y z 有最小值为：(61)(52)(43)9-+-+-=，所以 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值为14+9=23此时， 发行站应设在点（3，3）或（3，4 ）处，但是由于题意，发行站不能作为零售点，因此，发行站只能为（3，3）处。 根据以上两种求函数最值的方法：图象法和推论法，它们的本质都来源于去掉绝对值符号；当然对于简单的绝对值函数值域问题（两个或三个绝对值符号），可直接运用图象法比较直观；对于多个含绝对值最值问题，可运用推论来解决，相对简单；当然，对于绝对值求最值问题方法很多，以上方法仅与各位同仁探讨。 陕西省西乡县第二中学：王仕林 2011-12-17 --+--+-+-+-+-[6(2)][6(2)](63)(63)(64)(66) 专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需 在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j 图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l? 步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4 绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？ 先来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位 数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间 两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f 含绝对值函数综合问题 一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数 在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。 （2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对 称中心为( ,0)2 m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。 当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ； 当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ； 当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设 （1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像 （a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称 （2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平 底形”图像 （a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列， 则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值． 证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-， 当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=” 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 含参数含绝对值的函数综合题探究 一．解题策略： 1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。 2.分类讨论要“慢”； 3.能换元就“换”； 4.有函数就“画”。 二．精题例析 例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数) f=3|x?a|+|ax?1|，其中a∈R (x ①当a=1时，写出函数) (x f为偶函数，求实数a的值; (x f的单调区间;②若函数) ③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式) (x f≥3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围. 点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。 练习1 （2016年10月浙江省学考第25题）设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1 例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题） 已知R ∈a .函数()a a x x x f +-+ =4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值 范围是_____. 点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。 练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题） 若不等式2x 2?(x ?a )|x ?a |?2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________. 练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________. . 下载可编辑 . 关于绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . （1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，数a 的取值围； （2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，数a 的取值围； （3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．． 算步骤．．． ）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a < . （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； . 下载可编辑 . ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1| x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-， 所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所数a 的取值围是2a -≤. （3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++->即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22 a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02 a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当3 1,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2 a -上递减， 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数问题处理 1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22 2(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x ì?- ?=-=í ?--0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递增在区间递减. ②当x 0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递减在区间递增. 由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则 22,33 a ￡取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1 时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1 探究绝对值函数最值的求法 探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁 边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x -200|g g g ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。 那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、 利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数 12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2 ? ≥??? ???（）（， 作出其图象如右图：由图象可知其当12 x =时， 绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的 距离之和最小，问医院应该建 在何处？ 来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等 于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属 于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 2 2 ,n n x a a +??∈??? ? 时有最 小值。此时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+…… 1122||||n n n n x a x a f a or f a -+???? +-+-≥ ? ????? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f ()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x 也即是[]2,1∈x 时等号成立。 1)(≥∴x f 2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f ()()[]时等号成立。 当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x ()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f 2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题） 对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。 含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数问题专练 1．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？ 【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0 探究绝对值函数最值的求法及应用 陕西省西乡县第二中学：王仕林 邮编：723500 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数 的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题 y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x -200|A A A ——目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 的最小值问题。那么如何求这种多 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价 化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数的最小值。 y=|2x-1|解：由于函数， 12x-1x 2 y=|2x-1|=1-2x+1x<2 ? ≥??????（（（作出其图象如右图：由图象可知其当时， 1 2 x =原绝对值函数的最小值为0。例2求函数的最小值。 |21||22|y x x =-++解：由于该函数 ，作出|21||22|y x x =-++14x+1(x 2 1 1=3(- 多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法 命题设a 1≤a 2 ≤a 3 ≤…≤a n , Y＝︱x－a 1︱＋︱x－a 2 ︱＋︱x－a 3 ︱＋…＋︱x－a n ︱,求y达到最小值的条件： （1）当n＝2k时，x∈﹝a k,,a k＋1 ﹞,y值达到最小； （2）当n＝2k－1时，x＝a k 时，y值达到最小。 利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。(思考：穿根法思想试试？) 证明：（1）当n＝2k时 若a k＜a k＋1 ︱x－a1︱＋︱x－a2k︱≥a2k－a1, 当且仅当x∈﹝a1,,a2k﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a2,当且仅当x∈﹝a2,,a2k-1﹞时等号成立， … ︱x－a k︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k, 当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时等号成立； 因为﹝a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间， 所以当且仅当x∈﹝a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。 若a k＝a k＋1时，当且仅当x＝a k＝a k+1时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。（2）当n＝2k－1时， ︱x－a1︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a1,当且仅当x∈﹝a1,a2k-1﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-2︱≥a2k-2－a2,当且仅当x∈﹝a2,a2k-2﹞时等号成立， … ︱x－a k-1︱＋︱x－a k+1︱≥a k+1－a k-1,当且仅当x∈﹝a k-1,a k+1﹞时等号成立； ︱x－a k︱≥0，当且仅当x＝a k时等号成立 因为x＝a k是以上各区间唯一公共的元素， 所以当且仅当x＝a k时，以上各式的等号能同时成立，y才能达到最小。 例1 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－19︱,求y的最小值。 解析:共19项，中项为10，由以上定理知，当且仅当x＝10时，y值达到最小。 代人x＝10，y min ＝90. 例2（第19届“希望杯”高二2试） 如果对于任意实数x,都有 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋…＋︱x－2008︱≥m成立,那么m的最大值是：（A）1003×1004 （B）10042（C）1003×1005 （D）1004×1005 解析:m的最大值，即是y的最小值。 绝对值和式共2008项，中间两项分别是1004和1005， 当且仅当x∈﹝1004,1005﹞时，y能达到最小， 取x＝1004或x＝1005代人，y min ＝10042,故选（B）. 例3 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＞4，求x的解集。 解析:共4项，中间两项分别是2和3，当且仅当x∈﹝2,3﹞时，y min ＝4。 所以原不等式的解集是｛x︱x＜2或x＞3｝. 探究绝对值函数最值的 求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑 旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200| ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站， 使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。那么如何求这种 多个绝对值和的函数的最小值问题呢对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可 以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数 1 2x-1x 2 y=|2x-1|= 1 -2x+1x<) 2 ? ≥ ?? ? ? ?? （） （ ， 1 2 x=时， 作出其图象如右图：由图象可知其当 原绝对值函数的最小值为0。 例2求函数|21||22| y x x =-++的最小值。解：由于该函数 含绝对值的函数图象的画法及其应用 河南 曹少云 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ??- c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。 专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题 类型一 常数项含参数 1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a （Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）． 2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+ （Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围. 3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+. （1）若函数1()()22 h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围 5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数． （1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断在上的单调性； （3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围． 6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 7.已知函数 ，， （1）若 ，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数 的最大值的表达式； （3）是否存在实数 ，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由. ()f x 11[,]22- 探究绝对值函数最值的求法及应用 2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路 一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200| ——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数 z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。 那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。 一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。 例1求函数y=|2x-1|的最小值。 解：由于函数12x-1x 2y=|2x-1|=1-2x+1x<)2 ?≥??????（）（， 作出其图象如右图：由图象可知其当12 x = 时， 原绝对值函数的最小值为0。 例2求函数|21||22|y x x =-++的最小值。 解：由于该函数 |21||22|y x x =-++14x+1(x 211=3(-含绝对值函数的最值问题
含绝对值的函数的图像
绝对值函数最值问题(含答案修改版)
含绝对值函数的综合问题一
高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含参数含绝对值的函数综合题
关于某绝对值函数的问题解决精华(含问题详解)
高中一轮复习__含绝对值的函数
含绝对值的函数问题处理
探究绝对值函数最值的求法
高考数学提分专练绝对值函数最值问题(含答案)
高中--含绝对值的函数
含绝对值的函数问题
探求绝对值函数最值的求法
多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法
探究绝对值函数最值的求法
含绝对值的函数图象的画法及其应用
专题 与绝对值函数有关的参数最值)
探究绝对值函数最值的求法