微分中值定理与导数地应用习题

第四章 微分中值定理与导数的应用习题

§4.1 微分中值定理

1． 填空题

（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是

π

π

-4．

（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．

2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．

A ． 必要条件

B ．充分条件

C ． 充要条件

D ． 既非充分也非必要条件

（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A. x

e x

f =)( B. ||)(x x f = C. 2

1)(x x f -= D.

?????

=≠=0

,00 ,1sin )(x x x

x x f （３）若)(x f 在),(b a 可导，且21x x 、是),(b a 任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立

（ B ）．

A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ

B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间

C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

3．证明恒等式：)(2

cot arctan ∞<<-∞=

+x x arc x π

．

证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011

11)(2

2=+-+='x

x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2

f π

=，

故 )(2

cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π

．

4．若函数)(x f 在),(b a 具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．

证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．

5． 证明方程06213

2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03

1)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使

0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02

1

12=++ηη，这与

02

112

>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．

6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<>

于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.

证明： 由于)(x f 在],[b a 可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 连续，在开区间(,)a b 可导．又因为

()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点

2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．

7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使

()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证明： 只需令2

)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式

（１）当π<

x

cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即

0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<

因此， 当π<

x

cos sin >．

（２）当 0>>b a 时，b

b

a b a a b a -<

<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有

'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'

1()f x x

=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而

b

b

a b a a b a -<<-ln ．

§4.2 洛毕达法则

1． 填空题 （１） =→

x

x

x 3cos 5cos lim

2

π35-

（２）=++∞→x

x x arctan )

1

1ln(lim

0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=3

1

（４）0

lim(sin )x

x x +

→=1

２．选择题

（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞

→n n n n n e

n ln lim

lim 11lim

=∞→n n e

B ． =-+→x x x x x sin sin lim

0 ∞=-+→x

x

x cos 1cos 1lim 0

C ． x x x x x x x x x cos 1cos

1sin 2lim sin 1sin lim

020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11

lim 0=→x x e

（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）

A ． x x x sin lim 20→

B ． x x x tan 0)1(lim +→

C ． x

x x x sin lim +∞→ D ． x n

x e x +∞→lim

3． 求下列极限

（１）n

n m

m a x a x a x --→lim ．

解： n n m m a x a x a x --→lim =n

m n m a x a n

m nx mx ---→=11lim

．

（２）2

0222lim x x x x -+-→．

解： 20222lim x

x x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2

)2(ln ．

（３）3

0tan sin lim

x x

x x -→ ．

解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)

21

(lim )1(cos tan lim x

x x x x x x x -?=-→→＝21-． （４） 2

0)(arcsin 1

sin lim x x e x

x --→．

解：20)(arcsin 1

sin lim x x e x x --→＝2

01sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim

00=+=-→→x e x x e x x x x ．

（５）x x x x x

x ln 1lim 1+--→．

解： )ln 1()(x x x x

x +='， x x x x x

x ln 1lim

1+--→＝x

x x x

x 1

1)

ln 1(1lim 1+

-+-→＝2

2111)ln 1(lim

x x x x x x

x x --+-→

2])ln 1([lim 1221

=++=++→x x x x x x ．

（６） )1

1

1(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x

x

e x x e e x x x x x x x

（７） x

x x

tan 0

)

1

(lim +→ ．

解：1)1(lim 202

000sin lim

csc 1lim cot ln lim

ln tan lim tan 0=====+→+→+→+

→+----→x x x

x x

x

x

x x x x x x x e

e

e

e

x

．

（８）)3

1ln()21ln(lim x

x

x +++∞

→．

解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 2

3ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim

1

x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =x

x

x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．

（９） n n n ∞

→lim ．

解： 因为1lim 1

lim

ln 1

lim

===∞→∞→∞

→x

x

x

x

x x x e

e

x ，所以n

n n ∞

→lim

=1．

§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性

1． 填空题

（１） 函数)ln(42

2

x x y -=的单调增加区间是),2

1

()0,21(+∞-

，单调减少区间)2

1

,0()21,( --∞．

（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则x

x f x F )

()(=在+∞<

（３）函数12

+=ax y 在),0(∞+单调增加，则a 0>．

（４）若点（1，3)为曲线2

3bx ax y +=的拐点，则=a 23-

，=b 2

9，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．

2． 单项选择题

（１）下列函数中，（ A ）在指定区间是单调减少的函数. A . x

y -=2

),(∞+-∞ B . x

y e = )0,(-∞

C . x y ln = ),0(∞+

D . x y sin = ),0(π

（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,2

1(（ B ）． A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的

（３）)(x f 在),(+∞-∞可导, 且21,x x ?,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增

（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x

．

解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；

当0

（２）(2y x =-

解：)1(3

1031

-=

'-x x y ， 当1>x ，或0'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．

（３）)1ln(2x x y ++=

解： 0111112

2

2

>+=

++++

='x

x

x x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．

3． 证明下列不等式

（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式|

|1|

|||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．

证明：令x

x

x f +=

1)(，则0)1(1)(2>+=

'x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即

|

|1|

|||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++

（２）当1>x 时, 1

)

1(2ln +->

x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11

ln )('

-+

=x

x x f ，由于当1x >时，211

()0f x x x

''=

->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1

>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f , 因此1)

1(2ln +->x x x ．

（３）当 0>x 时，6

sin 3

x x x ->．

证明：设6

sin )(3

x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->， 所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6

sin 3

x x x ->．

4． 讨论方程k x x =-

sin 2π

(其中k 为常数)在)2

,0(π

有几个实根．

解：设()sin ,2x x x k π?=-

- 则()x ?在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(π

??， 由()1cos 02x x π?'=-=，得2arccos x π=为)2

,0(π

的唯一驻点．

()x ?在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2π

π上单调增加．

故k ---

=242arccos )2(arccos 2πππ?为极小值，因此)(x ?在]2,0[π

的最大值是k -,最小值是k ---

2

4

2arccos 2ππ．

（１） 当,0≥k 或2

4

2

arccos 2--

<ππ

k 时,方程在)2

,

0(π

无实根；

（２） 当02

4

2

arccos 2<<--

k ππ

时,有两个实根；

（３） 当2

4

2

arccos

2--

=ππ

k 时，有唯一实根．

5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=2

3

中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．

解： c bx ax y ++='232

,b ax y 26+=''，所以

2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44

a b c a b a b c d a b c d ?-+-+=?

+=?

?

+++=-?

?-+-+-+=? 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．

6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间

（１）12

-+

=x x

x y 解： 222)1(11-+-='x x y , 3

23)1(62-+=''x x

x y ,

令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．

当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-

故曲线1

2-+=x x

x y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，

曲线的拐点为)0,0(．

（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间

解：y '=

，y ''=．

当0=x 时，y y ''',不存在；当2

1

-=x 时，0=''y ． 故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,2

1

(3--是曲线的拐点,

7．利用凹凸性证明: 当π<

x

x >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2

sin 41)(x

x f -=''．

当π<

x x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线

)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）

的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即π

x x >2sin ．

§4.4 函数的极值与最大值最小值

1． 填空题

（１）函数x

x y 2=取极小值的点是1

ln 2

x =-

． （２） 函数3

12

3

2)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为3

2

2

)21(

=

f ，最小值为

(0)1f =- ．

2．选择题

（１） 设)(x f 在),(+∞-∞有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则

)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）

A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点

B ． 0x x =是)(x f 的极大值点

C ． )(x f ''在),(+∞-∞恒为负

D ． )(x f ''不为零

（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x

e

x f x x f x --='+''1)]([3)(2

，若

00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）

A. )(0x f 为)(x f 的极大值

B. )(0x f 为)(x f 的极小值

C.

))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点

（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)

()

()(lim 2

000

-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值

3． 求下列函数的极值 （１） ()3

/22

3x x x f -=． 解：由13

()10f x x

-

'=-=，得1=x ．

4

''31(),(1)03

f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．

（２）x

x x f 1)(=．

解：定义域为),0(+∞，11ln 2

1

, (1ln )x x

x

y e

y x

x x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．

因此e

e e y 1)(=为极大值．

4． 求1412322

3+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．

由2

66120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．

而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．

5． 在半径为R 的球作一个接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 3

1

π=， 由于2

2

2

)(R r R h =+-，因此)2( 3

1

)(2h Rh h h V -=

π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2

=-='h Rh h V π，得3

4R h =，此时R r 322=． 由于接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 只有一个根,

故当3

4R

h =, R r 322=时, 接锥体体积的最大．

6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？

解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则

)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），

其中k 是某一正数． 由 0)34005(

2

=-+='x

x k y , 得15=x .

由于k y x 400|0==, k y x 380|15==,2

10051

1500|+

==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．

7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?

解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且

t b

y t a x sin ,cos =

=

, t b t a l sin cos +

= )2,0(π

∈t ． 则

t

t

b t t a l 2

2sin cos cos sin -='， 由0='l 得3

tan a

b

t =, 此时23

32

32

)(b a l +=， 故木料最长为2

33

23

2)(b a l +=．

§4.5 函数图形的描绘

１．求2

3

)

1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→23

1)1(lim

x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim

lim 2

3

22-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．

第四章 综合练习题

1．填空题

（１） 01ln(1)

1lim sin lim

arctan x x x x x x

→→+∞++= 0 ． （２） 函数)1ln(+-=x x y 在区间)0,1(-单调减少，在区间),0(+∞单调增加．

（３） 曲线)1ln(1

x e x y ++=

的渐近线是00==y x 和． （４）=-→x

x x cos 0

2

)

(tan lim π

1 ． 2． 求下列极限 （１） 2

)1ln(sin 1tan 1lim x x x x

x x -++-+→

解：20)1ln(sin 1tan 1lim

x x x x

x x -++-+→＝x

x x x x x x x sin 1tan 11])1[ln(sin tan lim 0+++?-+-→ ＝x x x x x x x tan lim )1ln(cos 1lim 2100→→?-+-＝x x x

x -+-→)1ln(cos 1lim 210＝111sin lim 2

10-+→x

x x

＝2

1)1(sin lim 210-=+-→x x x x ．

（２） x

e e x x x x a a x x 1sin

)(1cos

)1cos 11sin (lim 21-+-+∞→ 解：x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin (lim 21-+-+∞→=x

e e x x x x x a x 1sin

)1(1

cos

)1cos 11sin (lim 212-+-∞→=x x e x x x a x 1)1(1cos 11sin lim 22+-∞→ =a x a e x

x x x x x x e 24

32223131sin 11cos 11cos 1lim

1-=-+-∞→． 3． 求证当0>x 时， )1ln(2

12

x x x +<-．

证明： 令2

2

1)1ln()(x x x x f +

-+=, 则 2

1()111x f x x x x

'=-+=++, 当0>x 时, ()0f x '>，故)(x f 在),0[+∞单调增． 当0>x 时，有()(0)0f x f >=，即

)1ln(2

1

2x x x +<-．

4． 设)(x f 在],[b a 上可导且4≥-a b ，证明：存在点),(0b a x ∈使)(1)(02

0x f x f +<'.

证明： 设)(arctan )(x f x F =, 则)(1)()(2

x f x f x F +'='，且2|)(|π

≤x F ． 由拉格朗日中值定理知, 存在),(0b a x ∈，使)()

()(0x F a

b a F b F '=--, 即

14422|)(||)(|)()()

(1)(02

0<=+

≤-+≤--=+'π

π

π

a b a F b F a b a F b F x f x f ．

5． 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 具有二阶导数且存在相等的最大值, 且

)()(a g a f =, )()(b g b f =, 证明： 存在),(b a ∈ξ,使得)()(ξξg f ''=''．

证明： 设)(),(x g x f 分别在),(,21b a x x ∈取得最大值M ， 则12()()f x g x M ==, 且12()()0f x g x ''==． 令)()()(x g x f x F -=．

当21x x =时, 0)()()(1===x F b F a F , 由罗尔定理知, 存在),(),,(1211b x x a ∈∈ξξ, 使

0)()(21='='ξξF F , 进一步由罗尔定理知, 存在),(21x x ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''

当21x x ≠时, 0)()(11≥-=x g M x F ,0)()(22≤-=M x f x F ，由零点存在定理可知，存在],[211x x ∈ξ，使0)(1=ξF ． 由于0)()(==b F a F ，由前面证明知, 存在),(b a ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''．

6． 设0≤k ,证明方程11

2=+

x kx 有且仅有一个正的实根． 证明：设11)(2-+=x kx x f ． 当0=k ，显然11

2=x

只有一个正的实根．下考虑0

情况．

先证存在性： 因为)(x f 在),0(+∞连续，且+∞=→)(lim 0

x f x ，-∞=+∞

→)(lim x f x ，由零点存在定理

知，至少存在一个),0(+∞∈ξ，使0)(=ξf ，即11

2

=+x kx 至少有一个正的实根． 再证唯一性：假设有12,0x x >，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在

12(,)(0,)x x η∈?+∞，使0)(='ηf ，即023=-ηk ，从而02

3>=η

k ，这与0

程11

2=+x

kx 只有一个正的实根．

7． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t 小时之后，生产出t t t t Q 129)(2

3

++-=个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？ 解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ． 又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()x t 在[3,)+∞上单调减少．故当3=t 时，)(t x 达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．