北京市西城区2020届九年级模拟测试数学试题 (二模)

北 京 市 西 城 区 九 年 级 模拟 测 试

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是

（A ）（B ）（C ）（D ）

2.中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为

（A ）40.5510?（B ）35.510?（C ）25.510?（D ）25510? 3.图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是

（A ）（B ）（C ）（D ）

图1

4.下列运算中，正确的是

（A ）23?=a a a （B ）623÷=a a a （C ）2222-=a a （D ）()

2

2

436=a a

5.如图，实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A ）

3a >

（B ）10b -<-< （C ）a b <-（D ）0a b +>

6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为

（A

（B

）

（C

）（D）4

7.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），

S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，

汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确

．．．的是

（A）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟

（B）汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分

到达植物园

（C）加油后汽车行驶的速度为60千米/时

（D）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快

8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：

①2019年10月至2020年3月通话时长统计表

②

9.

的

第

__．

分)

13.如图，双曲线k

y x

=与直线y ＝mx 交于A ，B 两点，若点A 的坐标为（2，3），则点B 的 坐标为_______．

14.如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽 为50cm 的大矩形，设每个小矩形的长为x cm ，宽为y cm ， 则可以列出的方程组是______．

15.某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：

互联网行业从业人员年龄分布统计图 90后从事互联网行业岗位分布图

对于以下四种说法，你认为正确的是 (写出全部正确说法的序号)． ①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上 ②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%

③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20% ④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少

16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任

意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球 是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中. （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色

是.

（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有个球.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.0o (2020)3tan 301π--+.

18.解方程：

21133

+=

--x x

x x ． 19.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x k x k -++=.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．

20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：

A

B C

5%

其它

产品8%15%19%

41%

设计市场运营技术

已知：△ABC .

求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB ，AC 边的距离相等. 作法：如图，

作∠BAC 的平分线，交BC 于点D .

则点D 即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明.

证明：作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ，

∵AD 平分∠BAC ，

∴=( ) (填推理的依据) .

21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90 ，D 为AB 的中点，AE ∥DC ，CE ∥DA ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）连接DE ，若AC

=BC =2，

求证：△ADE 是等边三角形．

22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标

x ，y ，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者.

根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中，

①指标y 低于0.4的有人；

E

D C

B A

指标x

指标

②将20名患者的指标x 的平均数记作1x ，方差记作21s ，20名非患者的指标x 的 平均数记作2x ，方差记作22s ，则

1x 2x ，21s 22s (填“>”

，“=”或“<”)； （2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0.3的大约有人；

（3）若将“指标x 低于0.3，且指标y 低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概

率是.

23.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且??CD CB =，连接OC ，BD ，OD . （1）求证：OC 垂直平分BD ；

（2）过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，

连接AD ，CD . ①依题意补全图形； ②若AD =6，3

sin 5

AEC ∠=

，求CD 的长. 24.如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，D 是AB 边上一动点，连接CD 交AE 于点P ，连接BP ．已知AB =6cm ，设B ，D 两点间的距离为x cm ，B ，P 两点间的距离为y 1cm ，A ，P 两点间的距离为

y 2cm .

小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化

而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整:

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，

分别得到了y 1，2y 与x 的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，

(x ，2y )，并画出函数y 1，2y 的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：

①当AP =2BD 时，AP 的长度约为cm ； ②当BP 平分∠ABC 时，BD 的长度约为cm . 25.在平面直角坐标系xOy 中，函数m

y x

=

（0x >）的图象G 与直线41：=-+l y kx k 交于点A （4，1），点B （1，n ）（n ≥4，n 为整数）在直线l 上． （1）求m 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线l 围成的区域（不含边界）为W ．

①当n =5时，求k 的值，并写出区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），

抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB =2OD . （1）当2b =时，

①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式；

（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：2

2

b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ， Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围.

27.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点F . （1）如图1，过点F 作GH ⊥AE ，分别交边AD ，BC 于点G ，H .

求证：∠EAB =∠GHC ；

（2）AE 的垂直平分线分别与AD ，AE ，BD 交于点P ，M ，N ，连接CN .

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AE 与CN 之间的数量关系，并证明．

A

F

D

C

E

B

G H

A

F

D C E

B

图1 备用图

28. 对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点

N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，

①点P 关于点B 的定向对称点的坐标是；

②在点(02)，-C ，(1，D ，(21)，-E 中，是点P 关于线段AB 的 定向对称点.

（2）直线：=

+l y x b 分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.

①当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上，求b 的取值范围；

②对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.

北 京 市 西 城 区 九 年 级 模拟 测 试

数学试卷答案及评分标准

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．2x ≠10.(1)(1)a a a -+11.4 12．

72?13.（-

2，-3）

14.50,4x y x y

+=??

=?

15．①③16．

（1）红（2）20．

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小

题7分）

170o (2020)3tan 301π--

131- ·

·············································································································· 5分 18．解：方程两边乘以3(1)x -，得33(1)2x x x +-=．

解得34

x =

. 检验：当3

4

x =

时，3(1)0x -≠． 所以，原分式方程的解为3

=4

x .

······························································································································ 5分

19．解：（1）依题意，得△=[]2

(21)412k k -+-创

． =()2

21k -．

∵()2

21k -≥0， ∴ 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得

x =，

∴ 12x k =，21x =．

∵ 该方程有一个根大于2，

∴ 22k >． ∴1k >．

∴ k 的取值范围是1k >． ····································································· 5分

20．解：（1）如图.

（2）DE ，DF ，角平分线上的点到角两边的距离相等.

··························································································································· 5分

21．证明：（1）∵ AE ∥DC ，CE ∥DA ，

∴ 四边形ADCE 是平行四边形．

∵ 在Rt △ABC 中， D 为AB 的中点， ∴ AD = BD =CD =

1

2

AB ． ∴ 四边形ADCE 是菱形．

（2）在Rt △ABC

中，AC =BC =2，

∴ tan BC CAB AC ∠==． ∴ ∠CAB =30?．

∵ 四边形ADCE 是菱形．

B

E

D

C

B

A

∴ AE = AD ，∠EAD =2∠CAB =60?．

∴ △ADE 是等边三角形． ······································································· 5分

22．解：（1）① 9.

②<，>. （2）100. （3）0.25.

·························································································· 5分

23．（1）证明：∵??CD CB = ∴∠COD =∠COB ．

∵OD = OB ， ∴OC 垂直平分BD ．

（2）解：①补全图形，如图所示.

②∵CE 是⊙O 切线，切点为C ，

∴OC ⊥CE 于点C ．

记OC 与BD 交于点F ，由（1）可知OC 垂直BD ， ∴∠OCE =∠OFB =90°． ∴DB ∥CE ． ∴∠AEC =∠ABD ．

在Rt △ABD 中，AD =6，3

sin sin 5

AEC ABD ∠=∠=，

∴BD =8，AB =10． ∴OA = OB =OC =5．

由（1）可知OC 平分BD ，即DF = BF ， ∴BF =DF =4． ∴1

32

OF AD =

=． ∴CF =2．

在Rt △CFD

中，CD =

······················································································ 6分

24．解：（1）

（2）画出函数1y 的图象；

A

（3）答案不唯一，如：

①3.86；

②3． ····························································································· 6分 25．解：（1）∵点A （4，1）在函数m

y x

=（0x >

∴ m = 4．

（2）①41y kx k =-+，经过点B （1，5）， ∴ 415k k -+=．

解得4

3

k =-．

此时区域W 内有2个整点．

②∵直线l 41y kx k =-+ 过定点A （4，1）， ∵n 为整数，

当n =6时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，6），区域W 内有4个整点， 当n =7时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，7），区域W 内有5个整点， 此时，可得2=-k ．

当n ≥8时，区域W 内的整点个数大于5个． ∴ k 的取值范围是2=-k ． ····················································· 6分

26．解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．

①1x =-．

②∵抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 的坐标为（-1，0），OD =1．

∵OB =2OD ，

∴ OB =2．

∵点A ，点B 关于直线1x =-对称， ∴点B 在点D 的右侧．

∴ 点B 的坐标为（2，0）．

∵抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），

∴ 440c ++=． 解得8c =-．

∴抛物线的表达式为228=+-y x x ．

（2）设直线2

2

b y x +=+

与x 轴交点为点E ， ∴ E （2

2

b +-

，0）． 抛物线的对称轴为2

b x =-， ∴点D 的坐标为（2b

-

，0）． ①当0b >时，2

b

OD =．

∵OB =2OD ， ∴ OB =b ．

∴ 点A 的坐标为（2b -，0），点B 的坐标为（b ，0）．

当2b -<

P

∴ 2

b OD =-

． ∵OB =2OD ，

∴ OB =-b ．

∵抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B ，且A 在B 的左侧， ∴ 点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0）．

当0<22b +-

时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：2

2

b y x +=+ 和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，

解得b <-2．

综上，b 的取值范围是2b <-或23

b >

. ······································· 6分

27．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，

∴∠AGH =∠GHC ． ∵GH ⊥AE ， ∴∠EAB =∠AGH ． ∴∠EAB =∠GHC ．

（2）①补全图形，如图所示．

②AE =．

证明：连接AN ，连接EN 并延长，交AB 边于点Q ．

∵四边形ABCD 是正方形， ∴点A ，点C 关于BD 对称． ∴NA =NC ，∠1=∠2． ∵PN 垂直平分AE ， ∴NA =NE ． ∴NC =NE ． ∴∠3=∠4．

在正方形ABCD 中，BA ∥CE ，∠BCD =90°， ∴∠AQE =∠4．

∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°．

在Rt △ANE 中，

∴AE =． ······························································· 7分

28．解：（1）①()2,0；

②C ，D ．

（2）①由题意，0b ≠，

若0>b ，

当直线l 与以点()2,0-为圆心，1

为半径的圆相切时，=

b 当直线l 经过点()1,0-

时，3

=

b ． ∴

3≤b

≤3

． 若0

G H

A

F

D

C

E

B

E

C

当直线l 经过点()1,0时，=-

b ．

当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．

∴-≤b ≤-

综上，b 的取值范围是-b ≤3-

或3≤b ≤3

．

②

33

b ≤. ··························································· 7分