计算方法简明教程习题解析

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第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为*

****r e x x e x x δ-===

而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈

进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n

x 的相对误差。 解：设()n

f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =

又

1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n -?∴== 又

((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x

=,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =?

解：*

1 1.1021x =是五位有效数字；

*20.031

x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字；

*456.430

x =是五位有效数字；

*57 1.0.

x =?是二位有效数字。

解：球体体积为3

43V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)

r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为

1(*)10.33

3r

R ε=?≈ 6．设028Y =，按递推公式1n

n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100

Y

27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y

Y =-

即1000Y Y =，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*3

10001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=? 100Y ∴的误差限为31102

-?。 7．求方程25610x

x -+=的两个根，使它至少具有4

27.982=）。 解：25610x

x -+=，

故方程的根应为1,228x =故

1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211280.0178632827.98255.982x =-=

≈=≈+ 2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求1

211N N dx x ++?

？ 解 1

21arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+?

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

2211arctan(tan())

tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1N N dx

x N N N N

N N αβαβαβαβ

++=-=--=++-=++=++?

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2

()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则2

1(*)102x ε-≤? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2

1cm 10．设2

12S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，

而相对误差却减少。 解：21,02

S gt t => 2(*)(*)S gt

t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加 2*2*(*)

(*)*(*)1()2

(*)2r S S S gt t g t t t εεεε=

==

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：02 1.41y =≈

2

01(*)102

y ε-∴=? 又1101n n y y -=-

10

101y y ∴=- 10

(*)10(*)y y εε∴= 又21

101y y =-

21

(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)......y y εε∴= 10100102

8

(*)10(*)

110102

1102

y y εε-∴==??=? 计算到10y 时误差为8

1102?，这个计算过程不稳定。

12．计算61)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,

3(3-,

，

99- 解：设6

(1)y x =-，

若x =* 1.4x

=，则*11102x -ε()=?。

计算y 值，则