2020届江苏省南通中学、海安中学、启东中学三校高三5月联考
2020届江苏省南通中学、海安中学、启东中学三校高
三5月联考
高三数学
第Ⅰ卷(共 160 分)
一、填空题(每题 5 分,共 70 分)
1．已知集合 A=｛0，3，4｝，B=｛-1，0，2，3｝，则 A ∩
B= ． 2．设复数 z 满足(z +i )i =-3+4i (i 为虚数单位)，则 z 的模为 ．
3．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果 S 是
．
4．某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100)，则图中 a 的值为 ．
5．某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙 丌在同一兴趣小组的概率为 ．
6．已知 F 1,F 2 分别是双曲线 C ：(a >0,b >0) 的左、右焦点， P 是该双曲线右支上一点， ? = 0 ，
sin ∠PF 1 F 2 =，则双曲线 C 的离心率为 ．
7．如图，三棱锥 S-ABC 中，∠SBA=∠SCA=90°， ? ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线 SB 不 AC 所成的角为 90°；②直线 SB ⊥平面 ABC ；
③平面 SBC 上平面 SAC ；④点 C 到平面 SAB 的距离是
a ． 其中正确结论的序号是
．
8．给定两个命题，命题 p ：对任意实数 x ，都有 ax 2>-ax-1 恒成立，命题 q ： 关于 x 的方程 x 2-
x+a=0 有实数根．若“ p ∨ q ”为真命题，“ p ∧ q ”为假命题，实数 a 的取值范围是 ．
9．若实数 x,y 满足约束条件，则 x 2+（y -4）2 的范围为 ．
22221x y a b
-=1F P uuu r 2F P uuu r 12210330
10x y x y x y +-≥??-+≥??--≤?
10．已知函数的图像在 [0, ] 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取 值范围为 ． 11．直线 y=x+b 不曲线 有且只有一个公共点，则 b 的取值范围是 ． 12．正项数列的前 n 项和为 S n ，且 2（n ∈N *），设，则数列 的前 2016 项的和为 ．
13.
14．已知函数，若关于 x 的函数 y = f 2 (x ) - bf (x ) + 1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 ．
二、解答题(6 题,共 90 分)
15．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，P A ⊥平面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，P A=AB=BC ，E 是 PC 的中
点．(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥平面 ABE ．
16．已知在△ABC 中，三个内角 A,B,C 成等差数列．
(1)若 b=7，a+c=13，求此三角形的面积；
17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点O ，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝，记∠APQ ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y 千米。
（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；
()=22cos sin()4
f x x x πωω+
12ω2
1x y =-{}n a 2n n n S a a =+21(1)2n n n n
a c S +=-{}n a 3lg()0()640x x f x x x x ?-=?
-+≥?p
（2）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
18．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： a > b > 0）的左、右顶点分别是A 1 ,A 2，上、下
顶点分别为 B 2, B 1，点 P (a , m ) (m >0)是椭圆 C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线 PO 分别交 A 1B 1,A 2B 2 于点 M ,N ． (1)求椭圆的离心率；
(2)若 MN = ，求椭圆 C 的方程； (3)如图 2，在(2)的条件下，设 R 是椭圆 C 上位于第一象限内的点，F 1,F 2 是椭圆 C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2 且不 y 轴交点 Q ，求点 Q 的纵坐标的取值范围．
22
221x y a b +=3
5
7
* 19．已知两个无穷数列 {a n } 和 {b n } 的前 n 项和分别为 S n ,T n ，
a 1=1，S 2=4，对任意的 n ∈N ，都有 3S n+1=2S n +S n+2+a n ．
(1)求数列 {a n } 的通项公式；
(2)若 {b n } 为等比数列，b 1=a 1,b 2=a 2，求满足
(k ∈N *)的 n 值．
20．已知函数 f (x )=a (x-1)ln(x -1)+(bx +1)(x-1)+a+1(a ,b ∈R) ．
(1)若曲线 y= f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 x-y+1=0，求实数 a ,b 的值；
(2)已知 b=1,当 x>2 时，f (x )>0，求实数 a 的取值范围．
22n n k n n
a T a
b S +=+
第Ⅱ卷(共 40 分)
21．
B ．[选修 4-2：矩阵与变换]
已知曲线 C ：y 2 = x ，在矩阵 M=对应的变换作用下得到曲线C 1 ,C 1在矩阵 N=对应的变换作 用下得到曲线 C 2,求曲线 C 2 的方程．
C ．[选修 4-4：坐标系不参数方程]
在极坐标系中，求直线θ =（ρ ∈ R ）被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长．
121002????-??0110??????
2π
22．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A ,B ,C 三种商品有购买意向．已知该网民购买 A 种商品的概率为，购买 B 种商品的概率为，购买 C 种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品 相互独立．
(1)求该网民至少购买 2 种商品的概率；
(2)用随机变量 ? 表示该网民购买商品的种数求 ? 的概率分布和数学期望．
23．对于给定的大于 1 的正整数 n ，设 x=a 0+a 1n+a 2n 2+…+a n n n ，其中 a 1∈ 0，1，2， … , n ? 1 ，i=0,1,2,…,n-1,n ，
且 a n ≠0，记满足条件的所有 x 的和为 A n ．(1)求 A 2；(2)设 A n = ，求 342312
(1)()2
n n n f n -()f n