高数复习提纲完整版
各位亲们，经过一个学期的学习，不知道你们对高数的印象如何，是纠结，是郁闷，还是…但是不管怎样，我们还是要信心满满的迎接期末考试，现在我把我对本学期高数的一些知识点罗列出来，希望童鞋们能在百忙之中抽出时间来看一眼，能对大家有帮助就是我最大的快乐O(∩_∩)O~预祝大家都能拿到90+！注：
1）目录中黄色代表只需要了解，蓝色说明需要掌握，红色部分是重点，必须熟练；如果实在没时间的话，黄色部分可以略过，蓝色的扫一眼有个大概的印象，重点抓红色的。2）正文中红色是我认为比较常用的公式，必须背熟，蓝色是相关技巧以及注意事项，看看还是有帮助的，绿色是例题，刚哥说期中原题占到30%~40%（至于你信不信，我反正是信了），因此我把期中的考题又重新回顾了一遍，另外还添加了一些课后的习题。
3）期末的重点大多放在积分这块（前两章40%~后两章60%），还请同学们在复习的时候对积分有所侧重。期末的考题不会很难的，所以先把基础题弄好。
极限
导数与微分
不定积分
定积分
极限
一．数列的极限
1. 数列极限lim n→∞x n =a 的概念及ε?N 定义。
2. 收敛数列的性质：极限的唯一性、收敛数列的有界性、保号性以及收敛数列的子数列的
性质。
[思考]如何证明数列{x n }发散？
（1） 找出数列{x n }的一个发散子列；
（2） 找出数列{x n }的两个有不同极限的子列。（例如数列{（?1）n
}中，分别令n=2k 和
n=2k+1得到两个子列，这两个子列的极限不相等。）
二．函数的极限
1. 函数极限的性质：极限的唯一性、局部有界性、局部保号性以及函数极限与数列极限的
关系（海涅定理）。 2. 两个重要的极限
（1）lim x→0
sin x x
=1; (2)lim n→∞ 1+1n n
=e ;
（2）式一般还会变形为(1+
x )1x→0lim
=e.
[例] 求极限lim n →∞ n ?1n+1 n
lim n →∞ n ?1n+1 n
=lim n →∞ 1?2
n+1 n
=lim n →∞ 1?2
n+1
?
n+12?(?2n
n +1
)=e
lim n →∞?
2n
=e ?2
[技巧]求形如lim x →a 1+f x
g x
的极限时，把它化为lim x →a 1+f x
f x
g x f x
=e lim x →a f x g x 的
形式，求出lim x →a f x g x 即可。
三．无穷小与无穷大 极限运算法则
1. 无穷小的定义与性质（课本P55~56）
2. 无穷小的运算法则。
关于高阶无穷小的运算，有如下规律：一般的，当x →0时，
（1）ο x n +ο x n =ο x n
（2）ο x m +ο x n =ο x n m >n （3）ο x m ?ο x n =ο x m +n （4）ο
（k x n ）=ο(x n ) (k ≠0)
记住这些规律对处理麦克劳林公式中的佩亚诺余项有很大帮助。 此外要说的是，
（1） 认为x →0时，ο x n ?ο x n =0，这是不对的。例如，x →0时，x 2=
ο x ，x 3=ο x ,但x 2?x 3≠0； （2） 认为x →0，m>n 时，有
ο x m ο(x n )
=ο
x m ?n ，这也是不对的。例如，x →0时，x 3=
ο(x 2
),x 4
=ο(x),
x 3x 却是x →0时的无穷大。
3.常见的无穷小代换。
x～sin x～tan x～arcsin x
x～e x-1～ln(1+x)
1-cos x～1
2
x2
（1+x)n～1+nx
这些常用的无穷小替换可以大大缩短求极限的运算量。
[注意]做等价无穷小的代换时，对分子或分母中的某个加项作代换，就可能出错。必须将分子和分母的整体换成它们各自的等价无穷小。例如，在求极限
lim x→0tan x?sin x
3
时，如果将tan x，sin x均换成x，那么分子成为0，得出极限为0.而事实上
lim x→0tan x?sin x
x3=lim x→0(tan x
x
?1?cos x
x2
)=1×1
2
=1
2
即tan x- sin x～1
2
x3(x→0).
4.极限的四则运算（P50定理5）在运算的时候注意先变形。
[例1]lim n→∞1?1
21?1
3
……（1?1
n
)
原式=lim n→∞(1
2×3
2
×2
3
×4
3
×……×n?1
n
×n+1
n
)
=lim n→∞n+1
2n =1
2
此外，还需要注意x趋于+∞和-∞时极限不同的情况。[例2]求极限
lim x 4x2+x?1+x+1
x2+sin x
原式=lim x→∞
4+1?12?1?1
1+
x2=2?1
1
=1
变形方法是分子分母同时除以x，因为注意到x=2如果直接除以x，那么当x→-∞时，x=-x2，相应的根式就该变号。但是当x→-∞时，x
x
=-1,这点必须得注意到。当时期中编答案的时候没注意到这个，在这里向大家道个歉。
还有一些题他给出极限，要你计算某些参数，比如下面两个例子。
[例1]已知极限lim x→1x?a+b
x?1
=1，试确定a,b。
可以看出把1代入后分母为0，因此分子1?a+b=0 ……①
分子有理化，得lim x→
2
x+1x?1(x?a?b)
=1
当x →1时，分母中2（ 1?a +b ）=1 ……② 联立①②式，得a=15
16
,b=- 1
4
.
[例2]已知极限lim x →0
ln 1+x ?(ax +bx 2)
x =1,试确定a,b.
很容易看出该极限是0
0型，所以原式=lim x →01
1+x
?(a+2bx )2x
=1，仍是0
0型，因此分子中把0代
入，得1-a=0，即a=1 继续使用洛必达法则，得lim x →0
?
1
（1+x)2
?2b
2
=1,得b=-3
2.
四．闭区间上连续函数的性质 1.初等函数的连续性
2.闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理，介值定理。
导数与微分
一．导数的概念与求导法则
1.函数y=f(x)在x 0处的导数f ′(x 0)的定义
lim Δx→0
Δy
Δx
=lim Δx→0f x 0+Δx ?f (x 0)
Δx
=lim x→x 0
f x ?f (x 0)x?x 0
.
2.函数f(x)在点x 0处可导与连续的关系。（连续不一定可导，可导一定连续） [注意]利用定义求导时得注意分子分母中的Δx 系数统一
lim Δx→0f x 0+2Δx ?f (x 0)
Δx
=2lim Δx→0
f x 0+2Δx ?f (x 0)
2Δx
=2f ′(x 0)
此外还有一些变形得能看的出来
lim Δx→0f x 0 ?f (x 0?Δx )
Δx
=f ′(x 0)
lim →0
f x 0+ +f x 0? ?2f (x 0)
2
=f 〞(x 0)
[例]设曲线y=f(x)与y=sin x 在原点相切，试求lim n→∞ nf (2n
).
解析：要善于发掘题干中“y=f(x)与y=sin x 在原点相切”，“f(0)=0,f ′(0)=1”这一隐含的条件。当
n →∞时，2
n →0，lim n →∞nf (2
n )=lim n →∞[n f 2
n ?f(0)2
?2
n ]=2f ′(0)=2
所以lim n→∞ nf (2
n
).= 3.函数的求导法则
这些运算规律相信大家高中的时候就已经练的滚瓜烂熟了，咱们再来简单地复习一下。
（1）（u ±v ）′=u ′±v′
(2) (u ?v )′=u′v +uv′ (?u ）′=?u′,?为常数
(3) ( u
v
) ′=
u ′v?uv′v (v ≠0)
（4）x=φ y 是f x 的反函数，则φ′ y =1f ′(x )
(5) y=f (u), u=g(x),y′x =y′u ?u′x
dy dx
=
dy du
?
du dx
还要各种基本函数的求导公式 这是最基础的东西，必须牢记！
此外还要补充的是，有的函数形式比较复杂，直接使用用复合函数求导法则运算量较大。 [例]求y=x 1?x
1+x 的导数 直接令u=
1?x 1+x ，然后再用复合函数求导运算量太大。
不如先对两边取自然对数，得ln y =ln x +1
2[ln 1?x ?ln (1+x )] 再对两边求导，得y′y
= 1x +12(
1
1+x +
1x?1
)
所以y ′
=x
1?x
1+x
（1
x + x
x ?1） 这就是对数求导法。
另外，像y=x x ,y=x sin x ,y=(1+x )x 这样的底数和指数均含有自变量的函数求导时也应该使用对数求导法。
如果函数由参数方程来确定， 即
x =φ(t )y =ψ(t )
，那么
dy dx
= dy dt
?
dt dx
= ψ′(t )
φ(t )
值得注意的是，很多题都涉及到极坐标与直角坐标系互换关系：
x =r cos θy =r sin θ
[例]求函数r=θsin θ的导数dy dx
先将极坐标转换成直角坐标
x =θsin θcos θy =θsin 2θ
dy dx
=
dy dθdx =
sin θcos θ+θcos 2θsin θ+θsin 2θ
二．高阶导数
1. 初等函数的二阶导数求法。
在一阶导数的基础上继续求导即可。
[注意]在对参数方程求二阶导时注意变量。
例如，在求由参数方程 x =a cos t y =b sin t ,确定的函数y=f(x)的二阶导数d 2y d 2x 时,有的同学认为
y ′=
dy
dt dx =
b cos t ?a sin t
= ? b a
cot t,y′′= b
a csc 2t
上述解法中一阶导数是正确的，二阶导数d 2y d 2x
是一阶导数
dy dx 关于x 的导数，而不是
dy dx
关于
t 的导数。正确的解法是
d 2y d 2x
= d dx (dy dx
) =
d
dt (dy dx
)?
dt dx
= b a
csc 2t ?(?
csc t a
)=?
b
a
2
csc 3t. 2. sin x 、cos x 、e x 、x m 、ln (1+x )的n 阶导数公式
sin n x =sin (x +
nπ2); cos n x =cos (x +nπ
2
);
(e x )(n )=e x ;
(x n )(m )=n(n-1)……(n-m+1)x n?m (n ≥m); [ln 1+x ](n ）=（?1）
n?1 n?1 !
x n
.
记住这些基本规律对求泰勒公式中的拉格朗日型余项有很大帮助。
还要补充的是，在求两个函数乘积的高阶导数时，那个莱布尼茨公式(P98)能记的就记，记不了就用归纳法找规律，毕竟在这上面不会出太难的题。以下规律可能对解题有帮助
xe x n = (n+x)e x (1
ax +b )
(n )
=(?1)n n !a n
(ax +b )
[ln ax +b ]
(n ）
=（?1）
n?1 n?1 !a n
(ax +b )n
三．函数的微分
求微分和求导非常相似，可微就是可导，微分公式无非就是在导数后面添加一个dx ,即dy=f ′ x dx ,唯一需要提醒的就是后边的dx 别漏掉!
四．微分中值定理
1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理。（P115，P117）
看到ξ，端点函数值相等，存在实根等等字眼的时候就考虑使用微分中值定理啦，尤其以罗尔中值定理和拉格朗日中值定理最为重要，在此详细的说一下。
（1） 使用之前先验证是否满足条件（连续、可导，罗尔的还需要端点函数值相等，缺一
不可）
（2） 观察所给的形式构造出合适的函数，再利用中值定理证明。 下面通过期中考试的试题以及经典例题来说明。 [例1]叙述罗尔中值定理，并用它证明x 5+x-1=0. 叙述略。
设f(x)= x 5+x-1=0.f(x)在定义域内连续可导。
显然f(0)=-1,f(1)=1,所以f(x)=0在(0,1)上至少存在一正实根（零点定理）。现只需证明这是唯一的实根。
用假设法，假设存在两不等实根x 1,x 2,即f(x 1)=f(x 2)=0,所以由罗尔中值定理可知存在一点ξ∈（x 1，x 2），使得f′(ξ)=0.
但事实上，f′(x)=5x 4+1>0,与假设矛盾！因此假设不成立，即f(x)=0只存在一个正根。
[例2]设f(x)在[0，a,]上连续，在（0，a ）上可导，试证明存在ξ∈（0，a ）使得f(ξ)+ ξf ′(ξ)=0. 考虑到[x f(x)] ′=f(x)+x f′(x),因此设g(x)=x f(x),g ′(x)= =f(x)+x f′(x) 容易验证g(x)满足罗尔定理的全部条件，因此存在ξ∈（0，a ）使得g ′(ξ)=f(ξ)+ ξf ′(ξ)=0.
关于怎样构造合适的函数还需要大家根据题中的形式以及自己的数感和经验来判断，这可以在后面所给的习题中多加体会。 2.了解柯西中值定理。（P119）
只需要了解即可，不太可能会在这上边做太多文章。
五．洛必达法则
这可是求极限最好的方法之一，必须熟练掌握。
我认为最有可能考的就是0
0型和1∞型的未定式，现就这两个重点讲一下。
（1）0
型
确认极限是0
型之后，一般可以直接对分子分母分别求导（不可导的题不太可能会出），注意
求导别求错啦，若此时还是0
型，那就继续使用洛必达法则，直到不是未定式为止。
[例1]lim x →0sin (a+x)sin a+2x ?sin 2a
x
原式=lim x →0[cos(a +x)sin a +2x +2sin(x +a)cos(a +2x)]=3sin a cos a
(2) 1∞型
这类题我们通常使用对数恒等式a x =e x ln a 对其进行转化，最后还是转化成0
型。
[例2]lim x →∞（2
π
arctan x)x
原式=e
lim x →∞x ln(2
arctan x)
,因此只需求出lim x →∞x ln(2
πarctan x) 即可。
lim x →∞x ln(2
πarctan x)=lim x →∞
ln(2π
arctan x)
1 =lim x →∞
1
?
1+x 2
x 2
?arctanx =- π
2.
所以lim x →∞（2
πarctan x)x
=e
?
2
此外还有一些常见的未定式，通过期中考试的例题简单的说一下。 （3）
∞∞
型
[例3]lim x →+∞x+ln x x ln x
原式=lim x →+∞1+
1x
1+ln x
=0
（4）∞?∞型
这种形式的未定式通常可以通过通分，变形等转化成00
型或者∞?∞型。 [例4]lim x →∞[x ?x 2ln(1+1
x )]
令t = 1
x
lim x →∞[x ?x 2
ln(1+1x
)]=lim t →0
t ?ln(1+t)
t 2
=lim t →0
1?
11+t
2t
=lim t →0
1
2(1+t)=1
2
看到ln （1+1
x ）这种形式的最好用变量替换t = 1x
，这也是一种思维定势吧。
六．泰勒公式
1. 了解泰勒中值定理。（P128）
泰勒公式确实是长了点，但是记下并不是很难，很有规律的吖，只要记住
f n (x 0）n ！
(x ?x 0)n 就
行了，再把n 改成1,2，…，累加起来就是。这个过程中最难的就是求高阶导，求n 阶泰勒公式得求到(n+1)阶导，最后一个是余项，常用规律详见本章第二节的高阶导数。特别需要提醒的是，很多同学好不容易求出n 阶导，一高兴就忘除以n!了，这些小错误应该尽量避免。
[例]求函数f(x) = 1
x 在x 0=?1处展开的带有Lagrange 余项的Taylor 公式。
f (n )(x)= (?1)n n !
x f (n )(-1)=?n! f (n +1)(ξ)= (?1)n +1（n +1）!ξ（-1<ξ<0）
f (x)= ?1?
(x
+1)i
n i =1+
（?1）
n +1
ξn +2
（-1<ξ<0）
[提示]当看到题中同时出现f(x)、f ′ x 和f ′′(x)的时候就应该立马想到使用泰勒公式，因为泰勒公式近乎完美的将它们三个的关系刻画出来，即f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x-x 0)+12
f ′′(ξ)(x ?x 0)2. 2. 了解e x ,sin x ,cos x ,ln(1+x), 1+x 等函数的麦克劳林公式。
(1) 1
1?x
=1+x+ x 2+……+ x n +ο(x n ) (2) e x
=1+x+ x 2
2!
+……+ x n
n !
+ο(x n )
(3)
sin x =x -
x 3
6 + x 5
120 +……+(?1)k x
2k +1
2k +1 !
+ο(x 2k +1) (k ∈N )
(4)cos x=1-x2
2+x4
24
+……+(?1)k x2k
2k!
+ο(x2k) (k∈N)
(5)1+x=1+1
2x2-1
8
x3+1
16
x4+ο(x4)
麦克劳林公式也是求极限的一种方法，说这个的目的是让大家别去套公式硬算，那样运算量很大，还容易出错，记住上边的基本公式就行了，其他的基本上都可以通过这些公式推导，在这里示范一下。
①替换法
在（1）式中用-x替换x，就得到(6)
1
1+x
=1-x+ x2+……+（?x)n+ο(x n),
在（2）式中用-x 2
2替换x就得到（7）e
?x
2
2=1-
x2
2
+x
4
8
+ (x2)
(?2)n!
+ο(x2n)
②积分法
例如要求ln（1+x)的展开式的时候，考虑到ln（1+x)的导数是
1
1+x
，在（6）式中两边
求不定积分可得（8）ln（1+x)=x -x2
2
+x3
3
+……+x n
n
+ο(x n)
在（6）式中用替换法可得到
1
1+x2
= 1-x2+ x4+……+（?x2)n+ο(x2n)
上式两边求不定积分得arctan x=x-x3
3
+x
5
5
+……,这个跟sin x的展开式很像，注意下
边不是阶乘，别记混了喔~
③相乘法
例如求e x2ln(1+x)的四阶麦克劳林展开式时，如果按部就班按公式求导，不仅计算量大而且容易算错，不如换种方法试试。
用替换法可以得到e x2=1+x2+x4
2
+ο(x4)，与（8）式相乘可得
e x2ln1+x=[1+x2+x4
2+ο(x4)][ x-x2
2
+x3
3
-x
4
4
+ο(x4)]
= x-x 2
2+x3
3
-x
4
4
+x3-x
4
2
+ο(x4)=x- x2
2
+4
3
x3-3
4
x4+ο(x4)
其中涉及到的无穷小的运算参见第一章第二节函数的极限中的无穷小的运算法则。
其它函数的麦克劳林公式如y=tan x、y=arcsin x基本上都可以经过类似的推导得出，具体方法还请同学们自己练习体会。
[例1]求f(x)=x e?x的马克劳林展开式。
用替换法可得到e?x=1-x+x 2
2+……+(?x)n
n!
+R n(x)
再由相乘法可得f(x)=x e?x=x-x2+1
2x3+……+（?1)n?1x n
n?1!
+R n(x)
在利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限时，至于展开到几阶由分母的次数决定。[例2]求极限
lim x→0cos x?e?
x2
2
4
分母为x 4,因此应该展开到四阶。
cos x =1- x 22+ x 4
24+ο(x 4
), e
?
x 2=1- x 22+ x 4
8+ο(x 4),
lim x →0
cos
x ?e ?x 22
x =lim x →0
1?
x 22+ x 424+ο x 4 ?[1? x 22+ x 4
8
+ο x 4 ]x = ?1
12.
七．函数的单调性与曲线的凹凸性 1. 函数单调性的判定法
单调性什么的估计大家在高中的时候已经练得很熟了，在这里不必多说。 2. 曲线的凹凸性的判定与拐点的求法
凹凸性这块与单调性很相似，只不过凹凸性求的是二阶导，y ′′>0，是凹函数，y ′′<0是凸函数，f ′′(x 0)=0则x 0可能是拐点，到底是不是还得看左右两边二阶导数值是否异号。 3. 图像的描绘
除了需要描出特殊点之外，还应该确定曲线的渐近线。 渐近线有三种：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。 前两种较简单，重点说下斜渐近线。
既然是直线，那方程必然是y=ax +b 型的，咱要做的就是确定a, b 的值。 先确定a, a=lim x →∞
f(x)x
,把a 算出来之后，b=lim x →∞[f x ?ax],不难吧O(∩_∩)O~
[例]运用导数的性质画出函数y=
x 32(1+x)2
的图形。
y ′=x 2(x+3)2(1+x)3, 令 y ′=0, 得极值点x=-3. y ′′=3x
(1+x), 令y ′′=0，得拐点x=0. a=lim x →∞
f(x)x
=lim x →∞x 2
2(1+x)3=1
2
b=lim x →∞[f x ?ax]=-1
所以斜渐近线方程为y= 1
2x-1.图像如下图:
不定积分
一．不定积分的性质
1.原函数与不定积分的概念。
积分就是微分的逆过程，两者互为逆运算，就好比加法和减法，乘法和除法一样。
注意到函数的原函数有无穷多个，都相差一个常数?，所以在求不定积分的时候别忘了在后面添个+?。
2.不定积分的性质：设u、v有原函数，则
（1）(u±v)dx=udx±vdx
(2) kudx=k udx(k≠0)
3.基本积分公式（P164）
二．换元积分法
1.第一类换元法
说白了就是把一大堆含x的式子替换成一个变量u（u=φ(x)），从而达到简便运算的目的。
[例]求不定积分cos5x sin x dx
cos5x sin x dx=?cos5x d cos x
u6+?
u=cos x, 所以原式=?u5du=?1
6
cos6x+?
把u还原，得cos5x sin x dx=?1
6
2.第二换元法
这个跟上边本质上是差不多啦，只不过这回是把x换成含t的式子（x=ψ(t)）,但如何代
换就有技巧啦，得考虑到一些恒等式，常见的有下边几个：
（1）1-sin2x=cos2x;
(2) 1+tan2x=sec2x;
*（3）c 2x?1=s 2x(这个跟上面那个本质上是一样的，如果不熟悉双曲正余弦就别记了吧)。
看到 a2?x2就用（1）式，x=a sin t
看到2+x2就用（2）式，x=a tan t，这应该成为一种思维定势了吧。
[例]求不定积分
x2 x2+1
x=tan t,
22=d(tan t)
tan2t sec t
=csc t cot t dt =-csc t+?=?x2+1
x
+?
三.分部积分法
对于一些从形式上不太好观察出原函数的不妨考虑将被积函数和积分变量换个位子试试。
udv=uv?vdu
[例1]求不定积分arcsin x dx
arcsin x dx= x arcsin x-
1?x2=x arcsin x
2
2
1?x2
=x arcsin x+2?
[例2]求不定积分e x(1x+ln x)dx
e x(1
x
+ln x)dx=e x d(ln x)+e x ln x dx=e x ln x-ln x de x+ln x de x=e x ln x+?
上面的那个积分如果单独算e x
x
dx和e x ln x dx都是积不出的。
需要注意的是，在使用分部积分法之前得先有个预判，如果u和v交换之后积分反而更难求了，那就改想想是不是积分变量选的不当，得重选。
四．有理函数的积分
1.有理函数的不定积分
多项式积分直接用积分运算的加减法法则即可
分式的先分解成多项式，再使用加减法法则，一般使用待定系数法，利用恒等式以及特殊值把系数分别待定出来，代入即可，分解的方法详见(P190)，这个相信大家掌握的都差不多了吧。
但是，有些式子用待定系数法比较困难，应该寻求一些捷径。
[例]求不定积分
1
x(1+x)
dx.
1
x(1+x)dx=1?x4+x4
x(1+x)
dx =(1?x2
x
+1
1+x
)dx =?1
3x
+1
x
+arctan x+?
上边的例子告诉我们，拿到题先看好形式，别一味的用定式思维套公式，有时候简单的“添一项，减一项”会收到意想不到的结果喔~
还需要补充的是，有时候会出现Ax+B
x2+px+q
（p2?4q<0)的形式，这时候运用公式
Ax +B x +px +q dx= A
2ln (x 2
+px +q )+2
arctan
2
+? 就能很快得出
答案，只是这公式太难记忆，如果实在记不下来就用配方法现推。
2. 三角函数有理式和简单的无理函数的积分可以通过适当的换元化为有理函数的积分。 无理函数的就用换元法，重点说一下三角函数的。
拿到式子先看好是关于sin x 的奇函数还是关于cos x 的奇函数或者是sin x 和cos x 的偶函数，换元的方法参见(P194)。
如果什么都不是，那好，咱们还有绝招，就是利用万能公式进行转换
u=tan x 2
, sin x =
2u
1+u
2
, cos x =1?u 21+u
2
, tan x =2u 1?u
2
, dx=2du
1+u 2
这样一来就可以将其转化为有理函数的积分了。
定积分
一．定积分的概念和性质
1.理解定积分的概念和几何意义
定积分说白了就是曲线y=f(x)与x=a, x=b 以及y=0所围成的图形的面积。 最初我们可以将其分割成无限的够小的矩形，再将这些面积累加起来，因此我们可以利用这个方法逆推一些极限。 [例]求极限lim n →∞(
1n+1
+1n+2+?+1
n+n ) lim n→∞(1
n +1+1
n +2+?+1
n +n )=lim n→∞[(
1
1+1n
+
1
1+2n
+……+
1
1+n n
) 1n ]= 11+x
10
dx=ln 2
[技巧]以后碰到这样的极限直接提出一个1
n ,再化成含有1n ,2
n ,…,n
n 的式子，把这些改成x ，再求在[0,1]（一般都是）上的积分就行啦~ 2.熟悉积分上限的函数及其求导方法。
积分上限函数Φ（x ）= f t dt x
a 在闭区间[a,b]上可导，其导数为f(x)。
注意被积式为f(t)dt ，如果写成f(x)dx 就容易混了。另外注意变积分上限的积分上限不是x 的时候，比如下面这题： [例]设
f(x)= sin u
u x 20
du ,求定积分 xf x dx 1
?1
题中的那个积分是经典的积不出，直接代入肯定是不行的，积不出还可以求导吖，求导的时候要把u=x
2
，这是由积分上限决定的。f ′(x) =( sin x 2
x 2
x 20
2xdx ) ′=2x sin x 2,此为奇函数。
所以f(x)为偶函数。所以x f(x)为奇函数，定积分 xf x dx 1
?1
=0 一般来说，奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数，积分与此类似，所以在计算积分的时候先要注意函数的奇偶性，有的时候判断出是奇函数而且是对称区间不用通过计算就能直接得出是0，省时省力。 3. 定积分中值定理（P217）
积分中值定理和微分中值定理类似，鉴于期中考了一个柯西中值定理的证明，在这里把课后相类似例题证一遍。
[例]设f(x)、g(x)在[a,b]上满足条件
1）f(x),g(x)连续; 2)g(x)不变号， 则在[a,b]上至少存在一点c ，使
f x
g x dx =f (c ) g x dx b
a
b a
证明：由题意可知f(x)在[a,b]上必然存在一个最大值M 和一个最小值m ，即m ≤f(x)≤M, 所以m g x dx ≤ f x g x dx ≤M g x dx b
a b a b a . 即m ≤
f x
g x dx b
a g x dx
b a ≤M 。
由介值定理可知
f x
g x dx b
a g x dx
b
a =f(c)，整理即得
f x
g x dx =f (c ) g x dx b
a
b
a
二．微积分基本定理
掌握牛顿-莱布尼茨公式的条件与结论。（P224） 牛顿-莱布尼茨公式是必考内容，必须熟练掌握。
[提示]同学们都认为只需求出原函数就可以了，但是有的积分并不一定需要原函数，比如 4?x 22
0,由定积分的定义可知它是以2为半径的1
4的圆的面积，因此很容易得出是π。
[技巧1]值得注意的是，若f(x)为奇函数，且积分收敛，则其在对称区间内的积分
f x dx a
?a =0.
若f(x)为偶函数，则 f x dx a ?a =2 f x dx a
0。 [技巧2]
(1) f sin x dx π
20= f cos x dx π2
0; (2) xf sin x dx π0 =π
2 f sin x dx π
0.
此外用换元法或者分部积分法求定积分与求不定积分时的方法类似，在此不再赘述。但注意换元之后对应的积分上下限也要做出相应的变化。例如 1?x 2
x 2
dx 11
2
,换元x=sin t ,
那么相应的区间就变成[π6，π
2]。
三．定积分的应用
物理应用咱们不学，因此只讲利用定积分求面积以及旋转体体积。 1. 利用定积分求面积。
先确定所求面积的图形，是曲边梯形还是曲边扇形。（这个…是直的还是弯的应该不难判断吧）
如果是曲边梯形，就化成直角坐标，用 f(x)b
a dx 求即可
如果是曲边扇形，就利用极坐标与直角坐标互换关系化为极坐标方程，再利用
S = 1
2b a r 2d θ计算
确定好大方向后，就要确定积分的区间。
曲边梯形的还好，只需要求交点就行啦，这点应该都没问题了吧。 主要是曲边扇形的，得先把极坐标方程化出来，区间端点就是满足方程的能够取遍所有值的最小正周期（之后就重复了）。举个例子，r=a sin3θ,显然θ∈[0,π
6]就能取遍满足题意的所有值（r 不能取负值），而该图像是三叶玫瑰型（书后边350页有），有6个同样的面积，因此积分区间为[0,π
6]，得数乘以6即可。
那些图形在书后（P349~P350）都有，考前看看有个印象就好。 2. 求旋转体的体积
太难的就不说了，说些基础的。
先得看题上要求绕x 轴还是y 轴的体积，绕x 轴的就用公式V x =π f 2(x )b
a
dx 同理，绕y 轴就用V y =π g 2(y )b
a
dy ,其实本质是一样的. 当然，课本后边的习题还有一个公式V y =2π xf(x)b
a dx,纠正一下，应该补充条件b>a>0,否则你设y=1，a=-1,b=1，这是一个圆柱，体积为π，但用公式算得0，显然不对。其实只需改成V y =2π |x |f (x )b
a dx 就行啦。 有同学可能会问这两个公式的区别，在这里说一下。
第一个公式V y =π g 2(y)b
a dy 算的是y=f(x)与y=a,y=
b ，x=0所围成的平面绕y 轴旋转所得体积，而第二个公式V y =2π xf(x)b
a dx 算的是y=f(x),x=x 1,x=x 2,y=0所围成面
积绕y 轴旋转的体积，两者是不一样的，慢慢体会一下。
四．广义积分
1. 用广义积分的收敛定义讨论某些简单的广义积分的收敛性。
其实也就是把函数与1
x 做比较，以在区间[1，+∞)上为例 如下图
红线是作为参照的y= 1
x ,黄线、蓝线、绿线分别是y=
x
,y = 1x
,y=
x 1+x .
我们知道，在[1，+∞)上，红线与x=1，y=0所围成的面积为 1
x
+∞1 dx=+∞。
在[1，+∞)上，黄线始终在红线的上方，因此积分 x
+1发散。
蓝线始终在红线下方，因此积分 1
x +∞1
dx 收敛，可以算出它的值是1.
值得注意的是，绿线尽管也在红线下方，但随着x 的增大，从图中明显可以看出红绿两线相互逼近，也就是说当x →+∞时，红线和绿线挨在了一起，因此它们的敛散性应该是一样的，即发散。所以说，我们在判断敛散性的时候，必须考虑x 趋于无穷时它的极限与1
x
的比较，如果比值为一常数，则说明它与1
x
的敛散性相同。
如果区间是(0,1],比较的方法也是一样的，但注意这时候黄线在红线的左边，因此该积分收敛，而蓝线在红线的右边，因此该积分发散，正好与之前的相反。
2. 会计算一些简单的反常积分
计算的方法和之前算定积分的一样，还是用牛顿-莱布尼茨公式，例如计算
11+x
2dx +∞
=arctan x |0+∞
=π
2. 在判断积分收敛的时候有时候并不需要用公式求出该积分值，因为很多时候积分值很难甚至是无法计算出来的。例如判断 x arctan x
1+x +∞0dx 的时候，我们可以通过放缩，得到 x arctan x
1+x 3
+∞0
dx <2 x
1+x 3
+∞
dx <2 x
x 3
+∞0
dx=2，因此该积分收敛。
Ps ：暂时先写到这儿吧，之前那版因为要赶在圣诞节之前发出，所以质量不是太好，在此向大家道个歉sorry~这版比之前那个有所改进，但是因为小编能力有限，白天还得复习微经什么的，只能在睡前抽点时间来写写，所以没能够覆盖所有的知识点以及技巧，此外，排版方面也有所欠缺，公式打的不太好看(这个…就凑合着看吧)，设计也不算美观，超链接也没弄好（实在是技术不够…~~~~(>_<)~~~~ ）小错误也不少，等等这些还请同学们原谅。如果还有什么问题尽管找我，我会尽量帮助大家的O(∩_∩)O~
——by 小葱
附：相关例题 一．求极限
1）
①lim x →+∞（ 2+x ? x 2?x); ②lim t →∞（1?1
2t )t+1;
③ lim n →∞ 1+x (1+x 2) 1+x 4 …(1+x 2n
) (|x|<1); ④lim x →+∞x[ln 1+x ?ln x]. 2)
①lim x →0x ?sin x
tan x ?x ; ②lim x →∞
ln （1+1x
)arccot x
;
③lim x →∞e x +e ?x e ?e ; ④lim x →0（1?x)1x
; ④ lim t →1(t
t ?1?1ln t ); ⑥ lim x →0(1
x )sin x . 3) ①lim x →0cos
x ?e ?x 22
x 4; ②lim x →+∞x 3( x +1+ x ?1?2 x).
4)
①lim n →∞（n
n 2+1+n
n 2+4+……+n
n 2+n 2）; ②lim n →∞1p +2p +?+n p
n p+1
(p ≠0，p ≠?1).
5） ①lim x →0
ln 1+t dt
x
0x ; ②lim x →0
sin t 3 dt
x
0x ; ③lim x →0
sin 1+tdt x 2
0tan x arcsin x
.
二．求不定积分
1）
① 1+x 2dx ; ②
1+x 31+x
dx ; ③ cos m xsin 3xdx (m ≠?1,m ≠?3);
④
e x 1+e
2x
dx ; ⑤ dx
x (1+ln 2x ); ⑥
x?x 2
.
2)
①
2 1?x 2
; ②
x 2+a 2
x dx ; ③
arctan x 23
.
3)
① arcsin xdx ; ② xe ?2x dx ; ③ e ?3x sin 2x dx.
4)
① x +1
x?1 (x?2)
dx ; ②
dx sin x +cos x
; ③ 2x +5x +4x +5
dx .
三．求定积分
① dx 3+2cos x
π
2
; ② |1?x | (x ?4)2
20
dx ; ③ 1?x 2
x 2
11
.
四．已知极限
1）lim x→∞(?x 2+12x +1?ax ?b )=0; 2)lim x→1
x 2+ax +b x ?1
=2.
求a, b 的值。
五．计算题、证明题
1）已知曲线的极坐标方程为π=2a(2+cos θ),求
dy dx
。
2）利用拉格朗日中值定理证明
a ?
b a
a ? b b ,(a >b >0). 3）若f(x)在定义域内连续可导，在x=0的某个邻域内存在二阶导数f ’’(x),且满足f ’(0)=0, lim x →0 f’’(x ）|x| =1，试证明点（0，f(0)）是函数的极小值点。 4）设函数f(x)在[a, b]上连续，在（a, b ）可导，且f ’（x ）≠0，证明存在ξ，η∈（a, b ）使得 f ‘（ξ）f ’（η） = e b ?e a b?a e ?η. 5）求y=tan x (0≤x ≤1)绕x 轴旋转所成的体积。 6）求x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)(0≤t ≤2π),y=0, (1)绕x 轴； （2）绕y 轴 旋转所称旋转体的体积。 这些都是些基础的例题，抽时间做做吧，应该不是很难，答案什么的就不需要的吧，如果觉得有哪题不清楚的问我就是。