第8讲 空间几何体

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座8）—空间几何体

一．课标要求：

1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；二．要点精讲

1．柱、锥、台、球的结构特征

（1）柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

（2）锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

2．空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的长度和宽度； 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’

,O ’Y ’

,使'''

X OY ∠=450

（或1350

），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度保持不变；在已知图形平行

于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 三．典例解析

题型1：空间几何体的构造

例1．（1）（06北京理4）平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α于点 C ，则动点C 的轨迹是（ ）

A ．一条直线

B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．双曲线的一支

（2）（04天津文 8）如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα?⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且

.PC AC ⊥那么，动点在平面α内的轨迹是（ ）

A ．一条线段，但要去掉两个点

B ．一个圆，但要去掉两个点

C ．一个椭圆，但要去掉两个点

D ．半圆，但要去掉两个点

（3）正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面A BCD 内的一个动点，且满足PM=2，P

到直线A 1D 1P 的轨迹是[ ]

A .圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 解析：（1）设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线A

B 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点

C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A 。

（2）答案为B 。

（3）解析： 点P 到A 1D 1P 到A D 的距离为1，满足此条件的P 的轨迹是到直线A D 的距离为1的两条平行直线，

又2PM =，∴满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点. 故点P 的轨迹是两个点。选项为C 。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

例2．（06江苏9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱

长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，积的可能值有（ ） 且各顶点．．．

均在正方体的面上，则这样的几何体体A ．1个 B ．2个 C ．3

个 D ．无穷多个

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D 。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2：空间几何体的定义

例3．（06江西文9）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题

．．．是（B

）

Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B

点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

例4．（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（）

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件C

解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：空间几何体中的想象能力

例5．（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.

解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

例6．（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）

A．90°B．60°

C．45°D．0°

答案：B

解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°。

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

图9—1

题型4

：斜二测画法

例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm 。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得。 作法：

（1）画轴：画X ′，Y ′，Z ′轴，使∠X ′O ′Y ′=45°（或135°），∠X ′O ′Z ′=90°。 （2）画底面：按X ′轴，Y ′轴画正五边形的直观图ABCDE 。

（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE 。′

（4）成图：顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，F ′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。 点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

例8．C B A '''?是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''?的面积为3，那么△ABC 的面积为_______________。

解析：62。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

题型5：平行投影与中心投影

例9．（1）如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）

A ．①③

B ．②③④

C ．③④

D ．②④ （2）（2000全国，16）如图9—15（1），

E 、

F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的 （要求：把可能的图的序号都．

填上）.

解析：（1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E 、F 、G 、三点在平面ABC 内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C ；

（2）答案：②③；解析：∵面BFD 1E ⊥面ADD 1A 1，所以四边形BFD 1E 在面ADD 1A 1上的射影是③，同理，在面BCC 1B 1上的射影也是③。过E 、F 分别作DD 1和CC 1的垂线，可得四边形BFD 1E 在面DCC 1D 1上的射影是②，同理在面ABB 1A 1，面ABCD 和面A 1B 1C 1D 1上的射影也是②。

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现

① ② ③ ④

A B

C

D

?

?

?

E

F G

了加强能力考查的方向。

例

10．（06 安徽理16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，

其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中

的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7

以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号）

解析：如图，B、D、A1到平面α的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面

α的距离为3，所以D1到平面α的距离为6；B、A1的中点到平面α的距离为

5

2

，所以B1到平面α的距离为5；则D、B的中点到平面α的距离为

3

2

，所以C

7

2

，所以C1到平面α的距离

到平面α的距离为3；C、A1的中点到平面α的距离为

为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

题型6：三视图

例11．（1）画出下列几何体的三视图

解析：这二个几何体的三视图如下

（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，

最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三

条投射规律。

例12．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

A

B

C

D

A1 B1

C1

D1

α

（

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

五．思维总结

1.几种常凸多面体间的关系

名称棱柱直棱柱正棱柱

图形

定义

有两个面互相平行，

而其余每相邻两个

面的交线都互相平

行的多面体

侧棱垂直于底面

的棱柱

底面是正多边形的

直棱柱

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等

侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形

对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截

面的形状

与底面全等的多边

形

与底面全等的多

边形

与底面全等的正多

边形

名称棱锥正棱锥棱台正棱台

图形

定义

有一个面是多

边形，其余各

底面是正多边

形，且顶点在

用一个平行于

棱锥底面的平

由正棱锥截得

的棱台

面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面的射影是

底面的射影是

底面和截面之

间的部分

面去截棱锥，

底面和截面之

间的部分

侧棱相交于一点但

不一定相等

相交于一点且

相等

延长线交于一

点

相等且延长线

交于一点

侧面的形状三角形全等的等腰三

角形

梯形全等的等腰梯

形

对角面

的形状

三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于底的截面形状与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

其他性质高过底面中

心；侧棱与底

面、侧面与底

面、相邻两侧

面所成角都相

等

两底中心连线

即高；侧棱与

底面、侧面与

底面、相邻两

侧面所成角都

相等

几种特殊四棱柱的特殊性质

名称特殊性质

平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

3．三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

4．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这

些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。