天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解.doc

第 4 章随机变量的数字特征

一、填空题

1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于

E( X ) E(Y)

2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气

温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .

3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数

n= 6 , p= .

4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.

5、设X的分布律为

X 1 0 1 2

P 1 1 1 1 8 4 2 8

则 E(2X 1) 9/4 .

6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .

这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .

7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是

P Y aX b 1 .

8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .

9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .

10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .

11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .

12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.

13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，

D ( X Y ) 37 .

14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .

15、若随机变量X 的概率密度为

e x x 0

，(x)

x

，则 E(2X ) 2

0 0

E (e 2 X ) 1/3 .

二、计算题

1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。设X

表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品

解: X 的分布律为:

X 1 2 3 4 5

p k 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

1

(1+2+3+4+5)=3.

E(X)

5

答：略

2、某机携有导弹 3 枚，各枚命中率为p ，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射 ]

击几次

解: 设 X 为射击次数，则X 的分布律为:

X 1 2 3

p k p p(1 p) (1 p) 2

E( X ) p 2 p(1 p) 3(1 p) 2 p 2 3 p 3

答：略

2 x 0 x 1

3、设X的密度函数为 f (x)，求E( X )、D ( X )

0其它

解:

E(X )

xf ( x)dx

2 x 2dx

2

1

3

E(X 2

)

x 2

f (x)dx

2x 3

dx

1

1

2

故

D(X) E(X 2) (E(X))2

1

(2) 2

1

2

3 18

4、( 拉普拉斯分布 ) X 的密度函数为 f ( x)

1 e | x| ( x

) ，求. E(X)、D(X)

2

解 :

E(X)

x 1

e x dx

2

E(X 2

)

x 2

1

e x dx x 2 e x dx

x 2de x

2

x 2 e x

2

xe x dx2

xde x

2e x

2

故

D(X)

E(X 2) (E(X))2

2

0, x 1 5、设连续型随机变量 X 的分布函数 F ( X )

a b arcsin x,

1 x 1

1,

x

1

求 a 、 b 、 E( X ) 、 D ( X ) .

解:

X 为连续型随机变量，

F ( x) 为连续函数 .

F ( 1 ) F ( 1),

a

2 b 0

F (1 ) F (1), a

2

b

1

可解得 ;

a

21 ,

b

1

.

X 的概率密度

1 , x 1 f (x) F ( x)

1 x 2

0, 其它

E(X)

xf (x)dx

1

x

dx =0

1

1

x 2

D(X )

E( X 2 )

1 x

2 dx 2

1 x 2

dx

1

1 x

2

1 x

2

令

x sin t ，则

D(X ) 2 2 sin 2 tdt

1

2

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为、

、, 假设它们的状态相互

独立，以 X 表示同时需调整的部件数，求

E(X)、D(X )

解 : 设 A i 表示第 i 个部件需调整， i =1,2,3

X i

1, A i 发生 则

X

X 1

X 2 X 3 ， A i 不发生，

E( X i ) P( A i ),

D ( X i )

P( A i ) 1 P( A i )

i 1,2,3

故

E(X)

E(X 1) E(X 2) E(X 3) 0.1 0.2

0.3 0.6

D(X) D(X 1) D(X 2) D(X 3)

0.1 0.9 0.2 0.8 0.3 0.7 0.46

7、对圆的直径作近似测量，设其值

X 均匀分布在区间

[a,b] 内，求圆面积的数学期望 .

解 : 因为 X ~U (a,b) ，所以 X 的密度

f ( x)

1 , a x b

b

a

0, 其它

设 Y =“圆面积” ，则 Y =

4 X 2

，所以

π 2 )

π b x 2

dx

( a 2

2 ) .

E(X) E( X

4

b ab b

4

a a 12

8、设随机变量 X ~ e(2) 、 Y ~ e(4) ，求 E( X Y) 、

E (2 X 3 2 ) .

Y

解: 显然

1 1

1

E(X),

E(Y), D(Y)

16

2

4

所以

E(X Y) E(X) E(Y)

1 1 3

2 4

.

4

E(2X 3Y 2) 2E(X ) 3 D(Y) (E(Y))2

1 3(

1

1 ) 5

16 16 8

9、设 ( X ,Y ) 的分布律为

Y 1

2

3

X

-1

求 E(X), E(Y) .

0 0

1

解 :

E(X) ( 1)(0.2 0.1 0) 0 1 (0.1 0.1 0.1) 0

E(Y )

1 (0.

2 0.1 0.1) 2

(0.1 0 0.1) 3 (0

0.3 0.1)

2

10、已知随机变量

X 的概率密度为 f ( x)

1 |1 x | 0 x 2

其它

求 X *

X E( X ) 的概率密度

D(X)

解 :

(

) 2

1 1

d

1 2

d

2

2 d

1

X

x

x

x

x

2 x

x

E

x

1 x

E(X 2

)

1 2

2x

2

x 3

dx

7

x 3

dx

1

6

D(X) E(X 2) (E(X))2

1

6

所以

X

6 ( X

1 )

F X ( y) P X

y P 6 ( X 1) y P X

y 1

F X (

y

1)

6

6

所

以

1

1

f X ( y)

d F X ( y

1) 1

f X ( y

1) 6 (1

6 y ), y

6

dy 6

6 6

0, 其它

11、设随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为

f ( x, y)

2

0 x 1, 0 y x

求E(XY).

0 其它

解 : E XY

xyf x y x y xy x y ：

( )

( , )d d

2 d d

G 0 y x 1

xOy

G

=

2 1

x

1

xx 2

dx

1 .

xdx 0 ydy

4

12、设随机变量

X 和Y 相互独立，且 E( X)

E(Y ) 0, D(X )

D(Y ) 1，

求 E[(X Y)2].

解:

E ( X Y) 2 E(X 2

)

E(Y 2 ) 2E(XY)

D( X ) (E(X ))2 D(Y) (E(Y))2

2E( X )E(Y) 2

13、设二维随机变量(X,Y) 的均值E(X)、E(Y)存在，

证 明 ： E(XY) E(X )E(Y) E ( X E(X ))(Y

E(Y )) 。

证：因为

E X E(X) Y E(Y)

E(XY) E(X )E(Y)

所以

E( XY) E( X ) E(Y) E X

E(X) Y

E(Y)

14、证明：如果随机变量 X 与Y 相互独立，且D(X)，D(Y)存在，

则

( XY ) ( X ) ( ) ( X ) 2 ( X ) ( ) 2 ( Y )

D D D Y

E D E Y D

证：

D(XY)

E[( XY)2]

[E(XY )]2

E( X

2Y2) [E(X )E(Y)]2

E( X 2)E(Y2 ) [ E(X )]2[E(Y)]2

{ D(X ) [ E( X )] 2}{ D(Y) [E(Y)]2} [ E(X )]2[E(Y)]2

D( X )D(Y) [ E(X )]2 D(Y) [E(Y)]2 D( X )

15、设区域G 为 x2 y 2 1 ，二维随机变量 ( X ,Y ) 服从G上的均匀分布，判断X、Y

的相关性、独立性.

解 :显然，二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度函数为

f (x, y) 1

, ( x, y) G

0, ( x, y) G

1 x

2

所以 f X ( x) f (x, y)dy 1 x2

1

dy, x 1 0, 其它

2 1 x2 , x 1

0, 其它

f Y ( y)

2 1 y2 , y 1

0, 其它

因此E(X) xf (x)dx

1 2 x 1 x 2 dx 0

1

同样可得E(Y) 0

又E( XY) xyf (x, y)dxdy 1 d d 0

xy x y

xOy G

所以cov( X ,Y) E( XY) E(X )E(Y) 0

故 X 、 Y 不相关，但由于

f X ( x) f Y ( y) f ( x, y)

所以 X 与Y不相互独立.

16、设随机变量

X 和 Y 的联合分布律为

Y X

1

1

1 1 1 1

8 8

8

1 0

1 8 8

1

1 1 1

8

8

8

验证 X ,Y 不相关，但 X ,Y 不相互独立 . 证：因为

E(X) (1) 3

0 1 3

0 8

8

E(Y)

(1)

3

0 1

3

8

8

E(XY) ( 1) ( 1)

1

0(1)1

1

01(1)

1

011

1

8

8

8

8

所以

cov( X , Y) E( XY ) E( X ) E(Y ) 0

故 X,Y 不相关 . 又

p

1?

3 , p

?1

3

， p 11 1

8

8 8

所以

p 1?

p

?1

p

11

故 X ,Y 不相互独立 .

17、设随机变量 (X , Y) 具有概率密度

f ( x, y)

1

(x y) 0 x 2, 0 y

2

8

其它

求 E( X ), E(Y ), cov( X ,Y ), XY

.

解：

E(X )

xf ( x, y)dxdy

1

2

2

7 8

dx

x(x y)dy

xOy

0 0

6

由 x, y 的“对称性”可得

E(Y ) 7

.

6

又E(XY) xyf ( x, y)dxdy 1 2 2 4

dx xy(x y)dy

xOy

8 0 0 3

所以cov( X ,Y) E( XY ) E( X )E(Y)

1

.

36

又E( X 2 ) x 2 f ( x, y)dxdy 1 2 2 2

( x

5 dx x y)dy

xOy

8 0 0 3

由 x, y 的“对称性”可得

E(Y2) 5

3

11 , 11 .

所以D(X ) E(X 2) (E(X))2 D(Y)

36 36

故XY cov( X ,Y) 1

.

D(X )D(Y) 11

18、已知随机变量X，Y不相关，都具有零期望值及方差为1，

令 U X ， V X Y，试求UV 。

解：cov(U ,V ) cov( X , X Y) cov( X , X ) cov( X ,Y ) D(X) 0 1

D(U) D(X) 1,D(V) D(X Y) D(X) D(Y) 2

cov(U ,V ) 1

UV

2

D(U ) D(V )

19、设X~N( , 2),Y ~ N ( , 2 ), X ,Y相互独立

求 Z1 X Y, Z2 X Y 的相关系数. ( 其中, 是不为0的常数) 解：

cov(Z1 , Z2 ) cov( X Y, X Y)

cov( X , X ) cov( X , Y ) cov( Y, X ) cov( Y, Y)

2 (DX )cov( X ,Y )cov(Y, X ) 2 D(Y)

(22) 2

因为 X ,Y 相互独立，所以

D(Z1) D( X Y)2D(X) 2 D(Y)( D(Z2) D( X Y)2D( X )2D(Y)(

所以2 2

)

2 2 2

)

2

cov(Z1 , Z 2 ) 2 2 Z1Z2 2 .

D(Z1) D(Z2) 2