2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

x

= ?

2017 全国研究生入学考试考研数学三解析

本试卷满分 150，考试时间 180 分钟

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．

指定位置上. ?1- cos , （1） 若函数 f (x )

x > 0, 在

x = 0 ，处连续，则（ ） ? ax ?

? b , 1

x ≤ 0,

1

（A ） ab =

（B ） ab =-

2

（C ） ab = 0

【答案】（A ）

【解析】由 f (x ) 在 x = 0 连续可得lim f (x ) = x →0

2

（D ） ab = 2

f (0)

lim

1 - cos 1 x

x = lim 2 = 1 ， f (0) = b ? ab = x →0 ax

x →0 ax 2a 2 （2） 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（ ）

（A ） (0,0) （B ） (0, 3)

（C ） (3, 0)

（D ） (1,1)

【答案】

【解析】 z x

' = y (3 - x - y ) - xy = y (3 - 2x - y ) z 'y = x (3

- x - y ) - xy = x (3 - x - 2y )

z x ''x = -2 y ， z x ''y = 3 - 2x - 2 y ， z 'y

'y = -2x ? z x ' = 0

验证可得（ A ）、（ B ）、（ C ）、（ D ）四个选项均满足?z ' = 0

? y

其中（ D ）选项对应

A = z x ''x (1,1) = -2 ，

B = z x ''y (1,1) = -1，

C = z 'y

'y (1,1) = -2

满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，所以该点为极值点.。

（3） 设函数 f (x ) 可导，且 f (x ) f '(x ) > 0，则（ ）

（A ）f (1) > f (-1)

（B ）f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1) （D ） f (1) < f (-1)

1

1 n n 【答案】（C ）

【解析】令 F (x ) = f 2 (x ) ，则有 F '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) ，故 F (x ) 单调递增，则 F (1) = F (-1) ，即

[ f (1)]2 >[ f (-1)]2 ，即 f (1) > f (-1) ，故选 C 。

∞ ?

1 ? 1 ??

（4） 设级数∑?sin n - k ln 1- n ?? 收敛，则k =（ ）

n =2 ?

? ?? （A ）1

（B ） 2

（C ） -1

【答案】（C ）

（D ） -2

1

1 1 1 1 1 1 k 1

【解析】由sin - k ln(1 - ) = - + o ( ) + k + + o ( ) n n n 6 n 3 n 3 n 2n 2

n 2

= (1+ k ) 1

+ n k 2n 2 - 1 6n 3

+ o ( n 2 ) ，

∞

1

1

又∑[sin - k ln(1- )] 收敛，故有k +1 = 0 ，即k = -1，故选 C 。

n =2

（5） 设α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则

（A ） E -ααT 不可逆

（B ） E +ααT 不可逆

（C ） E + 2ααT 不可逆 （D ） E - 2ααT 不可逆

【解析】选项 A :由(E -ααT )α = α -α = 0 可知，(E -ααT ) X = 0 有非零解，故 E -ααT

= 0 ,

即 E -ααT 不可逆。选项 B :由r (ααT ) = 1知，αα T 的特征值为0, 0,

0,1，

(n -1)个

故 E +ααT 的特征值为1,1, 1, 2 ，因此 E +ααT (n -1)个

= 2 ≠ 0 ，可逆。选项C :同理可得 E +2ααT 的特

征值为1,1, 1, 3 ，故 (n -1)个

E +2 ααT 3= 0≠ ，可逆。选项 D :同理可得 E - 2ααT 的特征值为1,1, 1, -1，

(n -1)个

故 E - 2ααT = -1 ≠ 0 ，可逆。

?2 0 0? ?2 1 0? ?

1 0 0? （6）设矩阵 A = ?0

2 1? ， B = ?0 2 0? ， C = ?0 2 0? ，则 ? ? ??0 0 1?? ? ? ??0 0 1?? ? ? ??0 0 2??

（A ） A 与C 相似， B 与C 相似

（B ） A 与C 相似， B 与C 不相似

（C ） A 与C 不相似， B 与C 相似

（D ） A 与C 不相似， B 与C 不相似

? 1 0 0 ? 0 2 0 C 0 ∑ 1 ?

【答案】（B ）

【解析】由（λE - A ）=0

可知 A 的特征值为 2,2,1。

? 3 - r (2E - A ) = 1。∴ A

可相似对角化，且A ? ? ?

由 λE - B = 0 可知 B 的特征值为 2,2,1。

3 - r (2E - B ) = 2 。∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，

∴ A

。且 B 不相似于 C 。

（7） 设 A , B ,C 为三个随机事件，且 A 与C 相互独立， B 与C 相互独立，则 A ? B 与C 相互独立

的充要条件是

（A ） A 与 B 相互独立 （B ） A 与 B 互不相容 （C ） AB 与C 相互独立 （D ） AB 与C 互不相容

【答案】（C ）

【解析】由 A ? B 与C ，独立得

P (( A + B )C ) = P ( A + B )P (C )

P ( AC + BC ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C )

P ( AC ) + P (BC ) - P ( ABC ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C )

又由 A 与C ， B 与C 独立得 P (ABC ) = P (A )P (B )P (C ) 。由此验证（A ）（B ）（C ）（D ）四项，

又（C ）选项可得 P (ABC ) = P (A )P (B )P (C ) 。

（8） 设 X 1, X 2

X n

不正确的是

(n ≥ 2) 为来自总体 N (μ,1) 的简单随机样本，记 X = 1 n

n i =1 X i

，则下列结论中

（A ） ∑

( X i i =1 - μ)2

服从

χ 2 分布 （B ） 2( X - X )2 服从 χ 2 分布

（C ） ∑

( X i i =1

- X )2

服从

χ 2 分布 （D ） n ( X - μ)2 服从 χ 2 分布

【答案】（B ）

【解析】（A ） X i - μ

N (0,1) 故

∑( X i

i =1

- μ)2 χ 2

(n ) ； n n n 2 n

2 n -1 π

π

π t 1 3

π

（B ） X n - X 1

? x - x ?2

(x - x )2

? n 1 ? ? ?

即 n

1

2

χ 2 (1) 。

n

n

2

2 2 2 2

（C ） 由 S = ∑( X i - X ) , (n -1)S i =1 = ∑( X i - X )

i =1

χ (n -1) 。

（D ） ( X - μ) N ? 0,

1 ?

，则 n ( X - μ) N (0,1) ，所以n (X - μ)2 χ 2 (1) 。

n ? ? ?

二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上. （9）

?-

π

【答案】 (sin 3

x +

π 3

。

2

π 2 - x 2 )dx = ?。

【解析】由对称区间上积分的性质可知，

?-π

(sin x +

dx =?

-π

3 dx =

。

2

（10） 差分方程 y t +1 - 2y t

= 2t 的通解为 y = ?。

【答案】 y t

= C 2t + 1 t ? 2t

,C ∈ R 。 2

【解析】由 y t +1 - 2y t = 2t 可得齐次特征方程为 r - 2 = 0 ，得 r = 2 ，故其齐次方程的通解为

y = C ? 2t ，设 y * = at 2t ，代入得a = 1 ，故通解为 y = C 2t + 1

t ? 2t ,C ∈ R 。

2 t 2

（11） 设生产某产品的平均成本C

(Q ) = 1+ e -Q ，其中Q 为产量，则边际成本为

。

【答案】C '(Q ) = 1+ e -Q (1- Q ) 。

【解析】

C (Q )

= 1+ e -Q 得C (Q ) = Q (1+ e -Q ) ， Q

N (0, 2) ? X n - X

1

N (0,1)

2

χ 2 (1)

π 2

- x 2

π 2

- x 2

x 3

x y

? ? ?

则边际成本为： C '(Q ) = 1+ e -Q (1- Q ) 。

（12） 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，且df (x , y ) = ye y dx + x (1+ y )e y dy ， f (0, 0) = 0 ，则

f (x , y ) = ?。

【答案】 xye y 。

【 解 析 】 由 题 可 知 ，

f '

= ye y ，

f ' = x (1 + y )e y

f ( x , y ) = ye y dx = xye y + c ( y )

，

f ' = xe y + xye y + c '( y ) = xe y + xye y y ，即

? 1 0 1 ? c '( )y 0= ， 即 c ( y ) = c ， f (0, 0) = 0 ，故

c = 0 ，即 f x (y , e y x ) = y

(13)设矩阵 A= 1 1 2 ? ，α ,α ,α 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 Aα , Aα , Aα 的

秩为 。

【答案】2

【解析】 ? 0 1 1 ?

1 2 3 1 2 3 由 于

α1,α ,α2

线 性 无 关 ， 可 知 矩 阵 (α1,α2,α3)

可 逆 ， 故

r (A α1, A α2, A α3) = r (A (α1,α2,α3)) = r ( A ) ，不难计算的r ( A ) = 2 ，故r ( A α1, A α2, A α3) = 2 。

(14)设随机变量 X 的概率分布为 P {x = -2} = 1

， P {x = 1} = a ， P {x = 3} = b ，若 EX = 0 ，则

2

DX = ?。

9

【答案】 2

【解析】

由分布律的归一性可知 1

+ a + b = 1 ， 又由于 EX = 0 ， 可知 -2? 1

+1+ a + 3b = 0 ，解得

2 2

a = 1 ,

b = 1 ，从而 EX 2 = (-2)2 + 1 +12 ? 1 + 32 ? 1 = 9 , DX = EX 2 - (EX)2 = 9 。

4 4 2 4 4 2 2

三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)求 lim ?

x →0+

x - te t dt

。

【解析】先对变上限积分

?

x - te t dt 作变量代换u = x - t ，得

x x

，

。

xe

- x

xe - x

2 x

x ?

?

?

?? (1+ x + y )

x - te t dt =

0 0

x

ue x -u (-du ) = e x x

ue -u du

则由洛必达法则可知：

原式= lim

e

x

x

ue -u du + x →0+

3 x 2

= 2

lim

?0

ue -u d u 2 + 3 x →0+

3 2

2 = lim

3 x →0+

- xe -x + +

1 e

- x 3

= 2 lim

xe -x + 2 3 x →0+ -xe - x + 1 e - x 3

2

2 3

y 3

(16) (本题满分 10 分)计算积分 2 4 D

为边界的无界区域。 【解析】

dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y = 与 x 轴 积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对 y 积分，后对 x 积分得

x

x

x ?

1 2

n

1

原式= ?

dx ?0

x

y 3dy (1+ x 2 + y 4 )2

1 +∞?x

dy 4

4 ?0 =- 1

dx ?0 +∞ (1+ x 2 + y 4 )2 1 | x dx

4 ?0 (1+ x 2 + y 4 )2 0 1 +∞ 1 ( 1

)dx

4 ?0 1+ x 2 1+ 2x 2 = 1 (arctan x - 1

arctan 2x ) |+∞

4 2 0

= π

(1- ) 8

(17) (本题满分 10 分)求lim

∑

k

ln(1+ k

) 。 n →∞ k =1 n

n

【解析】由定积分的定义式可知

原 式 =

lim 1 ∑n

k ln ?1+ k ?

= x ln (1+ x ) d x ， 再 由 分 部 积 分 法 可 知 ： n →∞ n n n ? ?0

k =1 ? ? 1 1 1 2

x 2 -1

1 1 x

2 -1 ?0 x ln (1+ x ) d x = 2 ?0 ln (1+ x ) d (x -1) = 2 ln (1+ x ) |0 -?0 d ln (1+ x ) 2

= - 1 1 ( x -1) d x = - 1 ( x -1)2 |1 = 1

2 ?0

4

4

1

(18) (本题满分 10 分)已知方程

ln(1+ x ) - 1

= k 在区间(0,1) 内有实根，试确定常数k 的取值范围。

x

【解析】

1

1

令 f (x ) = - ，

ln(1+ x ) x

f '(x ) = - 1 ? 1 + 1 ln 2 (1+ x ) 1+ x x 2

= (1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2 x 2

(1+ x ) ln 2 (1+ x )

令 g (x ) = (1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2 ，可得

2 = +∞ y = x

= -

∑ a x

的和函数， （I ）证明幂级数

∑ a x 的收敛半径不小于1；

= ( 1)

1 1 （II）由逐项求导定理可知 S '(x ) =

∑na x

n

n

n 2 ∞

∞ ∞

g '(x ) = ln 2 (1+ x ) + 2 ln(1+ x ) - 2x

g ''(x ) = 2 ln(1+ x ) - x

< 0, x ∈(0,1)

1+ x

故 g '(x ) 在[0,1] 上单调递减，从而 x ∈(0,1) 时 g '(x ) < g '(0) = 0

故 g (x ) 在[0,1] 上单调递减，从而 x ∈(0,1) 时 g (x ) < g (0) = 0

因 此 有 f '(x )<

， 可 知

f (x )

在 (0,1] 上 单 调 递 减 ， 从 而

f (1) =

1

-1 ， ln 2

? 1 1 ? 1 1 1

lim x →0+

f (x ) = lim

- x →0+ ?

ln(1+ x ) ? = ，则要使得 f (x ) = k 在(0,1) 内有实根，必有 ? 1

-1 < k < 。 ln 2 2 （19）（本题满分 10 分）设 a 0 = 1， a 1 = 0 ， a n +1 = n +1

(na n + a n -1 )(n = 1, 2, ) ， S (x ) 为幂级数

∞

n

n n =0

∞

n n n =0

（II ）证明(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0 （ x ∈(-1,1) ），并求 S (x ) 的表达式。

【解析】（I ）由a =

1

(na + a ) a

n +1

n +1 n n -1 ，两边同时减去 n 可知

a - a =

-1

(a - a )

a - a = -1 ? n +1 n

n + 1 n +1 n

-1

n (a n -1 - a n -2 ) =

n +1 n n -1

(a 1 - a 0 ) =

(-1)n (n +1)!

从而有a n = a n -1 +

(-1)n -1

n ! - n -2

a n -2 + (n -1)! + (-1)n -1

=

n !

则lim n a ≤ lim n 1 + +

+ ≤ lim n n = 1 ，故收敛半径 R ≥ 1；

n →∞ n

n →∞

2!

n ! n →∞

∞

n -1

n

n =1

故(1 - x )S '(x ) = (1 - x )

∑na x

n -1

= ∑na x n -1

- ∑na x n

n =1

n =1

n =1

= (-1)n

(n +1)! n k -1

= ∑

(-1)

k =1

k ! x 进而有

∞ ∞ ∞ xS (x ) = ∑a x

=

a ∞

-1 -1 -1

= ∑(n + 1)a + x n - ∑na x n = ∑[(n + 1)a + - na ] x n + a x

n =0

n 1

n =1

n

n 1

n

1

n =1

∞

∞

n +1

n

n n 1

n =0

n =1

则(1 - x )S '(x ) - xS (x ) =

∑[(n +1)a

- na - a

] x n + a x

n =1

n +1 n

n -1

1

由

a =

1

(na + a ) (n +1)a - na - a = 0 ，

n +1

n +1 n n -1 可知

n +1 n n -1

又由于a 1 = 0 ，故(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0 解此微分方程可得 S (x ) =

ce - x

1 - x

e - x

又由于 S (0) = a 0 = 1，可知c = 1，从而 S (x ) = 1 - x

。

（20）（本题满分 10 分）设三阶矩阵 A = (α1,α2,α3) 有3 个不同的特征值，且α3 = α1 + 2α2 ，

（I ） 证明r ( A ) = 2 ；

（I I ） 若 β = α1 +α2 +α3 ，求方程组 Ax = β 的通解。

【解析】(I ) 由α3 = α1 + 2α2 可知α1,α2,α3 线性相关，从而 r ( A ) ≤ 2 ，可知0 为 A 的一个特征值， 设 A 的另外两个特征值为λ1, λ2 ，由于 A 有三个互不相同特征值，可知 A 可以相似对角化，从而 A

? λ1 相似于对角矩阵Λ = λ

? ? ，由于λ , λ ≠ 0 ，可知r (Λ) = 2 ，从而r (A ) = r (Λ) = 2 。 2 ? 1 2 0 ? ? ?

(II ) 先求 Ax = 0 的通解：由于r ( A ) = 2 ，可知 Ax = 0 的基础解系中仅含有一个向量，从而 Ax = 0

的任何一个非零解均为 Ax = 0 的基础解系。由于α = α + 2α ? 1 ? ，可知 A 2 ? = α + 2α -α = 0 ，

? 1 ? 3

1 2

? 1 ? ? 1 2 3

? ? ?

因此 2 ? 即为 Ax = 0 的基础解系， Ax = 0 的通解为 k 2 ?

, k ∈ R 。再求 Ax = β 的特解：显然

? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 -1 1 1 1

2 2 1 ? 1 1 ?

1 1 ?

1

?1? ?1? ? 1 ? ?1? A 1? = β ，因此 1? 即为 Ax = β 的特解，综上所述， Ax = β 的通解为k 2 ? +

1?, k ∈ R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? （21）（本题满分 10 分）设二次型 f (x , x , x ) = 2x 2 - x 2 + ax 2 + 2x x -8x x + 2x x 在正交变换

1

2

3

1

2

3

1 2

1 3

2 3

x = Qy 下标准形为λ y 2 + λ y 2 ，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

? 2 1 -4 ? 【解析】二次型的矩阵为 A = 1 -1 1 ? ，由于二次型在正交变换下的标准形为λ y 2 + λ y 2 ，

1 1

2 2 -4 1 a ?

? ?

可知0 为 A 的一个特征值，从而 A = -3a + 6 = 0 ，可得a = 2 。要计算正交矩阵Q ，先求 A 的特

λ - 2

-1 4

征值，则由 λE - A = -1

4

λ +1 -1 -1 λ - 2

= λ(λ - 6)(λ + 3) = 0 ，得 A 的特征值为0, 6, -3 。

先求0 的特征向量： Ax = 0 的基础解系为α ? 1 ? = 2 ?

，单位化得 β = ? 1 ? 1 2 ? ，

1 ? ? ? ? 1

? -1? 6 ? ? ?

? -1? 再求6 的特征向量： (A - 6E )x = 0 的基础解系为α = 0 ?

，单位化得 β = 1 0 ? ，

2 ? ? ? ?

? 1 ? 2 2 ? ? ?

? 1 ? 再求 -3 的特征向量： (A + 3E )x = 0 的基础解系为 α = -1? ， 单位化得 β =

1

-1? ， 故

? - 2

3 6 ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? ? ? 2 3 6 ? ? 3

6 ? Q = (β2 , β3, β1) = 0 -

3 3 ?

? 2 3 6 ? 2 3 6 ? ?

?

（22）（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P {X = 0} = P {X = 2} = 1

，

2

2πσ

? n i -

y

?2 y , 0 < y < 1,

Y 的概率密度为 f ( y ) = ? 0,

其他, （I ） 求 P {Y ≤ E Y }；

（I I ） 求 Z = X +Y 的概率密度。

【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知： EY =

?+∞

yf ( y )dy = ?1 2 y 2

dy = 2 。 -∞ 0 3 ? 2 ? 2 2 4 则 P {Y ≤ EY } = P ?Y ≤ ? = ? 3 f ( y )dy = ? 3 2 y dy = 。 ? 3 ? -∞

0 9

（Ⅱ）先求 Z 的分布函数，由分布函数的定义可知： F Z (z ) = P {Z ≤ z } = P {X + Y ≤ z }。由于 X 为离散型随机变量，则由全概率公式可知

= P {X = 0}P {X + Y ≤ z | X = 0} + P {X = 1}P {X + Y ≤ z | X = 1}

F Z (z ) = P {X + Y ≤ z } = 1 P {Y ≤ z } + 1

P {Y ≤ z -1}

2 2 = 1 F (z ) + 1

F (z -1) 2 Y 2 Y

（其中 F Y (z ) 为Y 的分布函数： F Y (z ) = P {Y ≤ z }

（23）(本题满分 10 分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该 物体的质量 μ 是已知的。设 n 次测量结果为 X 1, X 2,

X 相互独立且服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，该

工程师记录的是n 次测量的绝对误差 Z i =

（I ） 求 Z 1 的概率密度；

（I I ） 利用一阶矩求σ 的矩估计量；

（IIII ）求σ 的最大似然估计量；

X i - μ (i = 1, 2, n ) ，利用 Z 1, Z 2 , Z n

估计

σ

【 解析 】（ I ）因为 X i ~ N (

μ σ, 2 ，所以 Y i = X i - μ ~ N ( 0σ, 2

， 对 应 的 概 率 密 度 为

f Y ( y ) =

2

1 2σ 2

，设 Z 的分布函数为 F (

z ) ，对应的概率密度为 f (z )；

当 z < 0 时， F ( z ) = 0 ；

当 z ≥ 0 时， F ( z ) = P {Z

≤ z } = P {Y ≤ z } = P {-z ≤ Y ≤ z } =

1 - y 2

e 2σ

2 dy ； i

i i

?

- z

2πσ

z

?i

?

?

? +∞

? 2 则 Z 的概率密度为 f (z ) = F '(z ) = - z 2

2σ 2 , z>0 ； 0,

z ≤ 0 -

z 2 （ II ）因为 EZ i = ? z 2σ 2

dz = ，所以 σ =

i ， 从而 σ 的矩估计量为 0

ο =Z i =； i =1

n

- z i 2 （II ）由题知对应的似然函数为 L (z , z ,..., z ,σ ) =

2σ

2 ，取对数得：

n

? z 2 ? 1 2 n

d ln L (σ )

i = n ? 1 z 2 ?

d ln L (σ ) ln L = ∑ ln σ - i ，所以 2 = ∑ - + i ，令 3 = 0 ，

i =1 ?

2σ ? d σ i =1 ? ο σ ? d σ

得σ =，所以σ 的最大似然估计量为σ 。 2