北工大 2014概率统计考题

北京工业大学2013—2014 学年第 一 学期

“概率论与数理统计”课程(工)试题答案

一、填空题（每空2分,共30分）

1.设B A ,为事件，且7.0)(,4.0)(==B A P A P 。当A 与B 相互独立时，=)(B P 0.5 ；互斥时，=)(B P 0.3 .

2.在区间(0,1)中随机地抽取两个数X 和Y ，则P ( |X -Y | < 0.5 ) = 0.75 .

3.设随机变量X 服从[-2,2]上均匀分布，则2X Y =的概率密度函数为=)(y f Y y /25.0

（0< y <4）.

4.若X 服从[0,1]区间上均匀分布，记}3.01.0{≤≤=X A ，Y 表示对X 进行20次独立观测后事件A 发生的次数。则)(Y E = 4 ，=)(Y Var 3.2 .

5.设随机变量X 可能取的三个值为 -2, 0和1，且(2)0.4, (0)0.3P X P X =-===，则E (X )= -0.5 , Var (X )= 1.65 .

6.设随机变量~(1,1)X N ，),2,2(~2N Y 且X 与Y 相互独立，则 2~X Y - N (0, 8) .

7.设)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记

∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1

22

1)(11,1. 则X ～ N (μ,σ2

/n ) ， 2/)(S X n μ-～

n-t 1

， 22/)1(σS n -～

2

1

-n χ；

8.设n X X ,,1 是抽自参数为2的泊松分布总体X 的简单样本,X 和S 2分别为样本均值与样本方差, 求P { X = E (2X -S 2) } = 2e -

2 。

9.设161,,X X 是来自总体)1,(~μN X 的随机样本，且5=X ，则未知参数μ的置信系 数为0.95的置信区间为[ 4.51 , 5.49 ]。(96.1025.0=Z )

二、解答题（每小题14分，共70分）

注: 每题要有解题过程，无解题过程不能得分

1．一批同型号零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器同时生产，各台机器生产零件零件数量

分别占35%，40%和25%，次品率分别为2.0%，2.5%和1.6%。 (1). 求该批零件的次品率；

(2). 现从该批零件中抽到一件次品，求该次品由各台机器生产的概率。

解：设A ={零件是次品}，B 1 ={零件由Ⅰ号机器生产}，B 2 ={零件由Ⅱ号机器生产}，

B 1 ={零件由Ⅲ号机器生产}。则

123123035 040 025002 0025 0016. P(B ).,P(B ).,P(B ).;

P(A|B ).,P(A|B ).,P(A|B ).======

(1). 由全概率公式，得

3

1()()(|)

0.350.020.400.0250.250.016 0.021;

i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑ (2). 由贝叶斯公式，得

1113

1

2223

1

312()(|)

0.350.021

(|)0.33333,

0.0213()(|)

()(|)

0.400.02510

(|)=0.47619,0.02121

()(|)

4

(|)1(|)(|)=

0.19048.21

i

i

i i

i

i P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B A P B P A B P B A P B A P B A ==⨯=

=

=≈⨯=

=

≈=--≈∑∑

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为

2

0.5,0

() 0,

0,x a e x F x x -⎧-≥⎪=⎨

<⎪⎩ 其中a 为常数。求：

(1). a 的值； (2).X 的概率密度函数f X (x )；

(3).Y f Y (y ).

解 (1). 由1==+∞

→a x F x )(lim ，得1=a ；

(2). 由)()(x F x f X '=， 得 ⎪⎩⎪⎨

⎧<≥=-;

,

,)(.0002

50x x xe x f x X (3). 记)(y F Y 为Y 的分布函数，则)()()(y X P y Y P y F Y ≤=≤=. 于是，当0>y 时，

4

5021y

Y e y X P y F .)()(--=≤=；当0

⎪⎨

⎧<≥=-.

,,)(.00024

503y y e y y f y Y 3．设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度函数为

2,

01

(,)0,

.

cy y x f x y ⎧≤≤≤=⎨

⎩其他

(1).求常数c ；(2).求X 和Y 的边缘概率密度(), ()X Y f x f y ；(3).计算()E XY .

解 (1). 由12

3d d d d 110310

2c

dx x c y cy x y x y x f x

==

==

⎰⎰⎰⎰⎰

∞∞-∞

∞

-),(，得12=c ；

(2). ⎩⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==

⎰⎰

∞

∞

-,,,),()(其他，01

04其他，

010d 12d 302x x x y y y y x f x f x X

⎩⎨

⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰

∞

∞-;,

),(,),()(其他，010121其他，010d 21d 212y y y y x y x y x f y f y Y (3). ..),()(503d 12d d d 1

510

3====

⎰⎰⎰⎰⎰

∞

∞-∞

∞

-dx x y xy x y x y x xyf XY E x

4．(本题14分) 设总体X 有概率密度函数

2 ,0

()0,

0,x x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩λλ

其中0>λ为未知参数，n X X X ,,,21 为从总体X 中抽出的随机样本。求： (1).λ的矩估计； (2).λ的极大似然估计。

解 (1). 记 ∑==

n i i X n X 11。由λ

λλ2d d 022===⋅=⎰⎰∞-∞∞- x e x x x f x X E x )()(。利用 )(X E X =，得λ

ˆ2=

X 。解该式，得 X 2=λ

ˆ; (2). 记 x

n n

i n

i i n

i e

x x f L λλλ-==∏

∏==

1

12 )()()(为参数λ的似然函数。则

x n x n L n

i i λλλ-+=∑=12ln ln )(ln ,

令

x n n L -=λλλ2d d )(ln =0, 解得x 2=λ~。 故 X

2=λ~.

5．(本题14分) 假设某品牌日光灯的使用寿命(单位：小时)服从正态分布),(2σμN ，现从 该品牌的日光灯中随机抽取9只进行试验，测得寿命的平均值为100.4，样本方差为0.49。问在显著性水平α=0.05下，从样本看： (1).可否认为100=μ？ (2).可否认为2

=0.5σ？

解 n =9，4001 0.05,.==x α，s 2=0.49，50 ,

001200.==σμ。 (1). 因 538030623702 40|001100.4||10...)/(.|=⨯=<=-=--αμn t n s x ，故接受原假设，即

可认为“100=μ”；

(2). 因

))

/(),/(().,.(...)(22153517 18028475

0490812

1212

2

αχαχσ---=∈=⨯=

-n n s n ，故接受原假设，即可认为2

=0.5σ。