陈正伟-指标重要性赋权方法

第四章 指标重要性赋权方法

指标的无量纲化是为了解决多个指标的可综合性问题。但为使由多个指标合成的综合评价值更能准确地反映被评价对象的真实情况，还必须对转换后的指标值赋予不同的权数。因为各个评价指标对被评价对象的影响大小和作用是不同的。所以，怎样科学地确定各评价指标的权数对综合评价结果具有重要彰响。

指标的重要性赋权就是指对于评价指标体系中的各个指标进行汇总综合时，各个指标对于研究目的的影响程度是不同的，这种不同体现为重要性，将这种重要性以数量值反映出来称为赋权。上述过程称之为指标的重要性赋权。

确定权数的方法很多，但从大范围上看，可以分成两大类：主观赋权法和客观赋权法。

第一节 主观赋权法

主观赋权法是指根据专业知识、实践经验通过主观分析研究后确定各个评价指标的重要性权数的方法。主观赋权法主要有两种类型：专家评判法和层次分析法。 一、专家评判法

1.专家评判法的概念

专家评判法是指通过收集整理专家学者对于备选的各个指标和因素的重要性程度给出主观判断信息来确定权数的赋权法。又称为专家评判赋权法、专家赋权法等等。

专家赋权法的关键是选择好专家。要选择出真正具有该领域和专业的专家、学者作为专家参与人。专家不宜太多，也不宜太少根据实际情况选定。同时还应当学会建立专家名录库，使用反馈排序法分析专家的真正水平和倾向性。1

2.专家评判法的基本思路

专家评判法的基本思路是：邀请一批对所研究问题有深入了解的专家，让他们各自独立地对每个评价指标赋予权数。然后将专家意见集中起来，求出每个指标权数的平均值和方差。由于每位专家对各评价指标的重要程度的认识不一致，所赋权数会有差异，通过均值和方差分析，就可以观察到专家意见的离散程度。如果第一次专家意见过于分散，可以进行第二次直至第n 次，目的要使专家意见接近一致，并以最后一次各专家权数的平均值为评价指标的权数。比如，假定邀请了n 位专家，其中i 位专家最后一次给p 个评价指标赋予的权数为

ip ，i i ，ωωω??21,，则以

∑==n

i ij j n 1

1ω? (j =1,2,……，p ) （1.4.1）

1

曹阳 邓新民 陈正伟等 经济分析新方法 [M] 重庆大学出版社 1996年1月第一版

作为第j 个指标的权数。这种方法简单实用，便于推广，是确定权数的主要方法之一。 3.专家评判法的步骤

专家评判法的基本步骤为：

首先构造专家评价分值的数据结构如下：

∑==n

j ij i n 1

1ωω （i ＝1，2，……p ）

然后，进行归一化处理2

生成各个指标的权数i W 。

∑==

p

i i

i

i W 1ω

ω ),...2,1(p i =

其中：11

=∑=n i i

W

。

二、层次分析法

1.层次分析法的概念

层次分析法(Analyt Hierarchy Process ，缩写为AHP)是将决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

层次分析法是由美国学者萨蒂(Saaty )于70年代提出的一种多目标决策分析方法。美国运筹学家、匹茨堡大学教授萨蒂在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。它把被评价对象的各种错综复杂的因素按照相互作用、影响及隶属关系划分成有序的递阶层次结构。根据对一定客观现实的主观判断，对相对于上一层次的下一层次中的因素进行两两比较，然后经过数学计算及检验，获得最低层相对于最高层的相对重要性权数，并进行排序。

2

归一化处理是指将考察的数据集合的各个数据转换为占全部数据总和的比重的方法。下同。

2.权数确定的层次分析法

层次分析法用于评价指标赋权时，有其独特的作用。其基本思路是，首先建立有序的递阶指标系统，然后主观地将指标两两比较构造判断矩阵，再根据判断矩阵进行数字处理及一致性检验，就可获得各指标的相对重要性权数．具体步骤是： 1）对指标进行两两比较，构造判断矩阵

判断矩阵是同—层次中的各评价指标的相对重要性的判断值，它是由若干专家根据一定客观现实所作出的主观判断．考虑到专家直接对指标赋权有一定难度，层次分析法在确定两个指标间的相对重要性程度时引入了九分位的比例标度，使任何一对指标根据专家意见可以形成一个判定值．全部p 个指标成对比较后形成一个判断矩阵B ，B 的数据结构如表1.3.1所示。

表1.3.1 判断矩阵B

矩阵B 中元素ij b 表示指标x i 对指标x j 的相对重要程度的两两比较值，用l 一9之间的9个数字或其倒数表示。ij b 越大，表示指标i 比j 越重要。具体含义是：

取8、6、4、2或其倒数

2

468、、、则是处于上述两相邻判断的中间值。

比如，i x 比j x 重要，但又不是很重要，即处于重要与很重要之间，所以，ij b 应取为6。

根据以上分析，很明显有： ji ij

ii

ij b ，b

，b

b /110==? ，p ，i ，，??=21

这表明，每次构造判断矩阵时，只需作

()2

1-n n 次判断即可。

2）计算各指标的权数

层次分析方法的原理表明，判断矩阵B 的最大特征根所对应的特征向量就是各指标的权数向量。这样，计算各指标的权数就归结为求矩阵B 的最大特征根所对应的特征向量。求解

这一特征向量的方法很多，这里介绍简单实用的方根法。

首先计算判断矩阵B 的每一行元素的积i M ，公式为 ∏==

p

J ij

i b

M 1

()p ，，

i ??=21 其次求各行i M 的p 次方根（即行向几何平均）：

p i i M ='ω （1.4.2）

最后对i ?'作归一化处理，即得各指标的权数：

∑='

'

=

p

j j

i i 1

ωωω (1.4.3)

3）对判断矩阵进行一致性检验

用层次分析方法给指标赋权的重要前提是专家对各指标的相对重要程度的判断要协调一致，不要出现相互矛盾的现象。例如，在比较三个指标，1x ，2x 和3x 时，会发生1x 比2x 重要，2x 比3x 重要，3x 又比1x 重要这种明显的矛盾。这种情况在评价指标较多时，是很容易出现的。所以，在使用层次分析方法确定指标的权数时，要检验判断矩阵的一致性。判断矩阵B 具有一致性的条件是矩阵B 的最大特征根m ax λ等于指标的个数。据此可设置一致性检验指标CI 和CR 来检验判矩阵B 偏离一致性的程度。其基本步骤为：

第一步，用权数向量()'?=p ，

，W ωωω21右乘判断矩阵B ，得到一个p 阶列向量BW ，

再按公式

∑

==p i i

i

BW p 1max

)(1ωλ (1.4.4)

可求得判断矩阵B 的最大特征根m ax λ。公式中()i BW 代表列向量BW 的第i 个分量。

第二步,计算衡量判断矩阵偏离一致性的指标CI,公式为： 1

max --=

p p

CI λ （1.4.5）

第三步，从式（1.4.5）可以看出，一致性指标CI 与指标个数p 有关。为了得到不同指标个数均适用的检验一致性的标准，还需计算随机一致性比率CR ，

RI

CI

CR =

（1.4.6）

式中RI 为随机一致性的标准，见表1.4.2。

表1.4.2 随机一致性检验表

当CR ＜0.10B ，直到通过一致性检验为止。

4）综合各层次的权数,就可求出各指标的最终权数

假定中间层相对于最高目标有m 个因素,它们的权数分别为m a a a ?,,,21，而第i 个中间

层因素包含i p 个评价指标，它们的权数分别为∑==?m

i i

i i p

，p ，

，1

21ωω。则指标体系中各评

价指标相对于最高目标的权数为： ∑==

m

J ija

i 1

ω

ω ()p ，，

i ?=21 （1.4.7） 5）总的一致性验验

设中间层第i 个因素的一致性指标的随机性为i CI ，随机性一致比率为i CR ，则总的随机一致性指标为：

∑∑===

m

j j

j

m

j j

j

CR

a CI

a CR 1

1总 （1.4.8）

如果总CR ＜0.10则认为各评价指标的最终权数的确定具有合理性。否则需要调整判断矩阵B 的数值。

上述的分析研究过程仅仅是只有一位专家进行判断后得到的判断矩阵进行处理的的简单情况。实际工作中往往是多位专家对于多个指标进行判断的情况，这时，应按上述步骤分别通过一致性检验，运用几何平均法或算术平均法将各专家确定的权数综合平均，以得到反映各评价指标的相对重要性权数。

例1．4．1 在地区间宏观经济效益评价中，选取了资金利税率()1x 投资效果系数()2x 和劳动生产率()3x 三项指标。某专家认为，资金利税率比劳动生产率极端重要，比投资效果系数稍重要，而投资效果系数比劳动生产率重要。试根据这位专家的判断确定三项评价指标的权数。

解：（1）根据这位专家的判断可构造出如下判断矩阵B ：

（2）计算各指标的权数

先按式（1.4.1）计算判断矩阵B 的行积i M

1M =1×3×9=27

022

.015

1

91667

.1513

1

32=??==??=M M

再由式（1.4.2）计算i M 的3次方根i ω'即

32731

=='ω， 19.1667.132=='ω ， 28.0022.033

=='ω 将i ω'作归一化处理，既得各指标的权数i ω为

67.047

.43

47

.428.019.133

1

113

1

=='

'

=

=++='∑∑==i i i i ωωωω

27.02=ω 06.03=ω

（3）对判断矩阵进行一致性检验

先按式（1.4.4）计算判断矩阵B 的最大特征根m ax λ

????

???

?????????=1,51,915,1,31

9,3,1B W ????

?

?????=??????????19.079.002.206.027.067.0 ，所以 ()036

.306.019.027.079.067.002.2313131max =?

??

??++==∑=i i

i BW ωλ 再按式（1.4.5）计算一致性指标CI ：

018.01

3036

.3=-=

CI 因有3个指标，查表1.4.2得随机一致性标准值RI=0.58，因此可得到随机一致性比率CR ：

10.0031.058

.0018

.0<==

CR 这说明上述判断矩阵通过了一致性检验，即可以认定上述指标权数的确定具有合理性。

尽管主观赋权依赖于主观看法，但这种主观看法是建立在经过严格挑选的专家们的经验基础上的，而这种经验的获得又是专家们对被评价事物进行深入研究的结果。并且，还要采用—定的数学方法来处理不同专家的主观看法，以便过滤掉由偶然因素决定的不同专家的主观认识差异，以保证赋权的客观性。因此，主观赋权法实际上是可行的。但该方法存在一定的不足之处：首先，同一专家在不同环境下给同一指标赋权的结果往往会有差异；其次，在对评价指标的重要性作出判断时，没有统一的客观定量标准；最后，对某些指标的重要程度的判断往往具有模糊性。所以，不能完全依赖主观赋权法来确定指标的权数。

第二节 客观赋权法

客观赋权法是直接根据各个指标的原始信息经过一定数学处理后获得权数的一种方法。其基本思想是：指标权数应根据各指标间的相互关系或各指标提供的信息量来确定。客观赋权方法主要有4种，变异系数方法、相关系数法、熵值法、坎蒂雷方法。下面分别介绍。 一、变异系数法

1.变异系数法的概念

变异系数方法是指根据各个评价指标数值的变异程度来确定评价指标的权数值的方法。 综合评价是通过多项指标来进行的。如果某项指标的数值能明确区分开各个被评价对象差异，说明该指标在这项评价上的分辨信息丰富，因而应给该指标以较大的权数；反之，若各个被评价对象在某项指标上的数值差异较小，那么这项指标区分开各被评价对象的能力较弱，因而应给该评价指标以较小的权数。极端地，如果某项指标在各被评价对象之间根本没有差异，那么在这项评价中就无法排列出各被评价对象的优劣来，因而理应给这项指标赋以零权或者从确定的评价指标体系中剔除。基于上述认识，可根据各指标数值的变异信息量的大小来确定权数。在统计学中，描述评价指标的变异信息量的指标较多，比如极差、平均差、方差（标准差）、变异系数等等，最为常用的是方差（标准差），但由于各指标量纲和数量级的通常都是不同的，使得各指标的方差不具有可比性，因此，应选用可比的各指标的变异系数。将各指标的变异系数作归一化处理就可得到各指标的权数。

2.变异系数法的步骤

变异系数法的基本步骤是：

设有n 个被评价对象，且被评价对象由p 个指标p x x x ?,,21来描述。先求出各指标的均值-

i x 和方差2

i S ：

∑∑=-??

?

??--=

=n

j i ji i n

j ji

i x x n S x n x 12

21111

式中，ji x 表示第j 个被评价对象在第i 项指标上的取值。

则各指标的变异系数i υ为：

-

=i i i x S /υ ()p i ,2,1= 对i υ作归一化处理，便可得各指标的权数 ∑==

p

j j

i

i 1

υ

υυ ()p i ,2,1=

例如：有某地区4个区县反映人口素质的指标数据资料如下：

解：首先，根据公式

∑∑=-?

?

? ??--==n j i ji i n

j ji

i x x n S x n x 12

2

1

111

分别计算得到各个指标的平均数和方差。

然后，计算变异系数：-

=i i i x S /υ，最后进行归一化处理即得到各个指标的权数。见下表。

1.相关系数法的概念

相关系数方法是指根据指标之间的相关性程度来确定各个指标的重要性程度的方法。相关系数方法使用的基本计算工具是相关系数。相关系数方法使用的相关系数可以是两两相关的相关系数来进行，也可以使用多元相关系数进行。最好是使用多元相关系数进行。

在研究构建评价指标体系时，我们论述到，评价指标体系的各个评价指标要尽可能使其之间彼此不能代替，亦即要尽量消除指标间的重复信息。但由于客观现象极其复杂，指标体系中各评价指标间总有部分重复信息的。一般说来，某评价指标与指标体系中的其他评价指标信息重复越多，说明该指标的变动越能被其他指标的变动所解释，因而该指标在综合评价中所起的作用就越小甚至没有多大意义，所以应赋予其较小的权数，反之其权数应大些。有鉴于此，可根据指标间重复信息的大小来确定权数。

两个指标间的信息重复程度可由它们的简单相关系数来反映。但是，一方面在多指标综合评价中，评价指标体系包含的指标往往多于两个；另一方面，简单相关系数有时会受中间媒介的传递效应而扩大或缩小指标间的真实的信息重复程度。因此，不能简单地用一个指标与其他指标间的简单相关系数求和的方法来衡量该指标与其他指标间的重复信息量。而要用该指标与其他指标间的多元相关系数来衡量，这种相关系数能消除多个指标间的共线性影响，能较准确地反映单指标与其他多指标间的总的重复信息量的大小。

2.相关系数法的步骤

根据上述分析可得到用多元相关系数法赋权的具体操作步骤如下： 1）计算各个指标之间的相关系数。 先求出P 个评价指标的相关系数矩阵R ：

???

?

??

?

???????=1,,,,,1,,,,121221112 p p p p r r r r r r R

2）构造分块矩阵

假定要求第P 个指标p x 与其他P 一1个指标间的多元相关系数，则对R 作如下分解：

???

?

??'=-1,,1p p p r r R R 式中1-p R 是其他1-p 个指标12,1,,-p x x x 之间的相关系数矩阵，

()'

=-p p p p p r r r r ,121,,,

是—个1-p 阶列向量。

3）计算多元相关系数

此时P x 对，12,1,,-p x x x 的多元相关系数p ρ就为：

p

p p p r R r ??'=--1

1ρ

式中1

1--p R 是相关系数矩阵1-p R 的逆矩阵。

4）评价判断

依照上面的过程就可求出其他1-P 个多元相关系数()1,,2,1-==p i i ρ。

如果i ρ越大，表示指标i x 越能被其他1-P 个指标所决定，因此，它在综合评价中的作用就越小，其权数也应越小，反之则应越大。

5）权数的确定

根据上述分析，可将多元相关系数i ρ求倒数并作归一化处理，就能得到指标的权数i ω：

∑=

p

i

i

i

i ρ

ρω1

1

()p j ,,2,1 = 。

三、熵值法

1.熵值法的概念

熵值法是指根据熵值的原理和计算公式来确定指标的重要性权数的方法。

熵最初是根据热力学第二定律引出的一个反映自发过程不可逆性的物质状态参量。物理学上指热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度；科学技术上泛指某些物质系统状态的一种量度，某些物质系统状态可能出现的程度；社会科学中用以借喻人类社会某些状态的程度；在信息论中，熵表示不确定性的量度。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。在克劳修斯看来，在一个系统中，如果听任它自然发展，那么，能量差总是倾向于消除的。让一个热物体同一个冷物体相接触，热就会以下面所说的方式流动：热物体将冷却，冷物体将变热，直到两个物体达到相同的温度为止。如果把两个水库连接起来，并且其中一个水库的水平面高于另一个水库，那么，万有引力就会使一个水库的水面降低，而使另一个水面升高，直到两个水库的水面均等，而势能也取平为止。

因此，克劳修斯说，自然界中的一个普遍规律是：能量密度的差异倾向于变成均等。换句话说，“熵将随着时间而增大”。

根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。

我们已经介绍，用变异系数法给指标赋权时，是根据各指标包含的分辨被评价对象信息

量的大小来确定的。如果某指标值在各被评价对象之间的差异较大。其分辨能力就较强，包含的信息量也就较多，它在综合评价中所起的作用就大，其权数也应较大。反之，其权数就应小些。根据上述熵值的定义我们也可以使用其来进行权数的确定。

2．熵值法确定指标权数的步骤 用熵值法确定指标权数的具体步骤是：

1）指标的“同趋势化”。当正向、逆向和适度指标并存时，应先将逆向指标、适度指标正向化。

2）对指标实际值按比重法转换成评价值，公式为： ∑==

n

l lj

ij

ij x

x b 1

式中

被评价对象的个数

项指标值

个评价对象的第第-n j i x ij _

3）计算第j 项指标的熵值j e ： ∑=-=n

i ij n ij

j b I b

K e 1

其中K>0，j e ≥0。

4）判断及差异系数的计算。计算指标j x 的差异系数j j e d -=1。如果指标j x 在各被评价对象间的数值ij x 的差异越小，则越大。极端地，当指标j x 在各被评价对象之间根本没有差异，即ij x 全相等，则j e 最大为1，相应地，差异系数0=j d ，这说明j x 此时指标在综合评价中毫无作用。反之，如果ij x 的差异越大，则j e 越小，差异系数j d 越大，j x 对综合评价的贡献也就越大。基于上述分析，可以对差异系数j d 作归一化处理，从而获得指标的权数。

5）指标j x 的权数j ω按如下公式获得：

∑==

p

i i

j

j d

d 1

ω （),,2,1(p j =

式中 p ——评价指标个数。 四、坎蒂雷赋权法

坎蒂雷赋权法假设指标

i

x 的权数

i ω同i x 与综合指标

∑=)(i i x y y ω之间的相关系数

)

(,y x cor i 是成比例的，即

)

,(y x cor i i ∝ω。因此，一个与综合指标y 高度相关的指标应赋

予一个较大的权数，反之赋以较小权数。根据这一假设，坎蒂雷(AmalKantiray)提出：指标

)

,(,21p x x x 的权数是矩阵RS 的最大特征根所对应的特征向量W (其中R 为p 个指标的相

关系数矩阵，S 为由指标标准差所组成的对角矩阵)。将W 作归一化处理，即可求得各指标

的归一化权数。

坎蒂雷赋权法是充分根据原始数据所提供的信息来确定各指标权数的。原始数据包含的信息有两种：一种是各指标变异程度上的差异信息，这种信息通过各指标的标准差或者变异系数的大小反映出来；另一种是各指标间的相互影响程度上的差异，这部分信息包含在各指标所构成的相关系矩阵中。前面介绍的变异系数法和熵值法只利用了第一种信息，相关系数法也只利用了第二种信息，而坎蒂雷赋权法是通过求矩阵RS 的最大特征根所对应的特征向量来确定指标权数的，矩阵R 包含了各指标间的相互影响，S 反映的是各指标的变异程度。因此，RS 包含了原始数据提供的两种信息。所以，坎蒂雷赋权法是一种比变异系数法、熵值法和相关系数法更合理的赋权方法。

除了以上介绍的客观赋权法以外，还有主成分分析方法和因子分析方法等，这将在介绍具体的综合评价方法时介绍这些客观赋权法。

客观赋权法主要是根据各指标提供的分辨信息量的大小或各指标间的相互关系来确定权数的，它在一定程度上可以弥补主观赋权法的不足。但客观赋权法仍有一些缺陷，如对同一评价指标体系的两组不同的被评价对象，即使用同一种方法来确定各指标的权数结果也可能会有差异；再者，有时用客观赋权法得出的权数可能会与评价者的主观认识完全不一致，从而使评价者感到困惑，等等。

第三节 赋权方法的选择

一、权数选择的一般原则

权数的选择应当遵循的基本原则如下： 1．差异性原则

差异性原则是指权数的选择必须突出各个指标之间的差异性，没有这个差异性权数的选择就失去了意义，或者变为等权问题。因此，准确区分各个指标的差异性突出重点指标的重要性程度是综合评价的权数的意义，也是权数选择的基本思想和原则。

2．特征性原则

特征性原则是指各个指标的权数选择除了要根据主观赋权确定方法和客观权数确定方法进行权数的确定分析外，还要根据评价者的特殊要求和偏好进行权数的修正。即对于某些指标的计算权数进行导向性修正。

3．归一性原则

归一化原则是指被评价的各个评价指标的权数必须满足各个权数之和等于1的要求。即：

11

=∑=n

i i

W

4．定性分析与定量分析相结合原则

定性分析与定量分析相结合的原则是指在进行评价指标的权数分析时，应当同时使用主

观分析方法，客观分析方法以及特殊性分析方法。在进行了上述分析以后，综合各种方法的利弊后确定最终权数。 二、赋权方法的选择

上述介绍的赋权方法在实际的权数确定中不是所有的方法都同时使用的，一般是根据具体情况进行选择性使用。因此，就存在一个如何选择赋权分析方法的问题。在选择客观赋权分析方法时，一般地，我们认为：

1． 关注评价指标的差异性时，我们一般使用变异系数方法、熵值法； 2． 关注评价指标之间的关联性时，我们使用相关系数方法；

3． 既关注评价指标的差异性又关注评价指标的关联性时，我们使用坎蒂雷赋权方法。 对于主观赋权方法的选择的一般原则为：

1． 关注专家们的统一意见时，使用德尔菲专家调查方法；

2． 关注各个专家的深层次深刻和数据的规范性、统一性时，使用层次分析法。 三、赋权方法的组合应用

在选择指标的赋权方法时，应注意两种倾向：一种是过分信赖统计或数学等定量方法，而忽视评价指标的主观定性分析；另一种是完全依赖专家意见，而抛弃科学的客观赋权方法。主观赋权法与客观赋权法各有其长处，但又并非尽如人意。因此，科学的态度和明智的作法，应当是将主观与客观赋权法有机结合起来，从而使指标的赋权趋于合理化。由此产生一种新的赋权方法。设指标i x 的主观赋权结果为i α，客观赋权结果为i β，由于主、客观赋权结果之间的相互补偿作用甚弱，因此，可用乘法将两种赋权结果综合起来，即指标i x 的组合权数为i i a β。也可将它们作归化处理，得组合权数i ω为

∑==

p

i j

i i

i i a a 1

β

βω

有时也可以使用线性综合来进行主观赋权和客观赋权综合后得到综合权数。

设指标i x 的主观赋权结果为i α，i x 客观赋权结果为i β；分析认为主观权数应当占70%，客观权数占30%（即三七开并且满足归一化）。为此，我们使用线性综合方法（见本书的线性综合法）得到的综合权数为：3.0*7.0*i i i k βα+=。

这种方法具有比较好的界面，可以充分利用主观和客观两种信心源泉来进行权数的确定，是应当提倡的方法。这种方法的技术关键在于主观和客观权数的比重的确定问题。需要长期培养和非常熟悉的专业技术知识作为前提才能应用。