有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广

摘要

闭区间在实数系是紧致的，闭区间上的连续函数具有许多优良的整体性质。例如有界性、最值性、介值性及一致连续性。开区间或半开区间是非紧致的,其上的连续函数就未必具有上述性质。本论文从连续函数在不同区间上的性质，分别讨论连续函数的局部性质、在闭区间上的性质、以及一般区间上三方面内容；同时还要讨论连续函数在闭区间上的性质和应用。由上述连续函数在闭区间和局部区间的性质由此推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，讨论一般性区间上的连续函数性质，连续函数的性质，主要从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时讨论其复合函数、导函数的证明其是否成立，以及极限的存在；本文还讨论一致连续函数，本论文作为闭区间上连续函数性质的应用,补充一些相应的条件,将上述性质逐一地推广到开或半开区间。

关键词:连续函数，有界性，最值性，闭区间，开区间，极限

Abstract

Closed interval in the real number system is compact, continuous function on a closed interval has many excellent overall properties. For example, the value of boundedness and uniform continuity, intermediate value. Open interval or half open interval is non compact, continuous function on which it may not have the above properties. This paper from the continuous function in different section properties,respectively discuss local properties, continuous function in closed interval properties, as well as the general interval of three aspects; At the same time also discussed the properties and application of continuous function in the closed interval. By the continuous function in closed interval and the local properties of interval which is extended to the general interval correlation theorem and properties, discuss the general properties of continuous functions on the interval, the properties of continuous function, mainly from the continuous function on the interval. Almost everywhere Integrability and differentiability . At the same time we prove that the composite function, guiding function whether it was established, and the existence of a limit . This paper also discusses the uniformly continuous function, this paper use as continuous function on a closed interval properties, additional conditions, the properties one by one extension to open or semi open interval.

Key Words：Continuous function, Boundedness, The value, The closed interval, The interval, Limit

前言

根据现在国内的情况来看，关于连续函数的性质研究的文献并不多，而且其中的很多文献也只是在连续函数性质上的一两点的拓展；并且在实数范围内，没有把连续函数的定义，等价定义，基本性质等一些相关定理，进行系统的研究总结形成相对完整的体系。在进入21世纪后，随着计算机高度的普及，数学也面临着一次深刻的改革，如何能够把握时机，来抓住历史的机遇，如何能够在以后的世界里发挥更重大的作用，因此我们应该在已经研究出来的这些基础之上，结合在实数范围内的连续函数的性质，以及定理研究，再加上完整的透彻，这样就能进行更好的拓展和推广，从而将它应用到其他的学科和生产实践之中去。

在生活中，连续函数要在整个区间上连续的情况很少，而大多的函数是不连续的；事实上，很多的不连续函数是可以分解成一些半连续的函数，欲研究现实生活中的现象，必须把连续的条件进行一个放松，这样对研究连续函数就非常的有实用价值了。连续函数是分析研究学中的一个至关重要的一个概念，对连续函数的研究将可能提供能解决其他问题的新方法，通过对分析学内容的完善，将会使数学这样如此抽象的一个系统变得更加的完善和严谨。其次，连续函数在物理学，计算机科学，拓扑学以及生物系统的研究中都存在着广泛的应用，故对连续函数的性质的研究是推动其他学科的进步的动力。本论文会从连续函数在不同区间上存在的性质，分别得对连续函数在局部中、闭区间上的性质以及在一般区间上这三方面进行讨论；连续函数的局部性质主要有保号性、局部有界性，以及复合函数性质和四则运算性质及其应用；与此同时，我们还要对连续函数在闭区间上的性质和应用进行相应的讨论，而且通过对连续函数有界性定理和最值定理，零点定理、介值定理的证明可以推导得到，在闭区间上函数的连续性在该区间上有界，在闭区间上的函数在连续区间内必取得介于最小值与最大值之间的任何值的推论；根据上述连续函数在闭区间和局部区间的性质可以推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，对于一般性区间上的连续函数性质的讨论，如果在不同一般区间上的有界性定理和最值定理及介值定理的证明；我们对连续函数的性质讨论，主要是从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时对它的复合函数、导函数的证明其是否成立进行讨论；本论文还对连续函数的一致连续性进行讨论，即一致连续函数的的定义及证明，包括一致函数的几种运算性质，如通过加减乘除以后的函数是否仍是一致连续以及对复合函数的一致连续性的证明。

本论文的研究增加了我们抽象思维能力、分析问题及解决问题的能力。对我们综合素质的提高起到了很大的帮助。

第一章 有界闭区域中连续函数的性质

有界闭区域上的连续函数具有一些重要的性质，例如有界性、取得最大值与最小值及介值性定理。这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的，现在我们来讨论一下有界闭区域中连续函数的性质。

1.1连续函数的定义

在本节中，我们讨论一下连续函数的连续性性质。

函数连续与否的概念就是对函数图像的直观分析。比如，函数2()2y f x x ==的图像是一条向上的抛物线，图中的各个点相互“连结”而不出现“间断”，这就构成了“连续”曲线的外观。然而函数sgn y x =的图像（如图1.1）直观的告诉我们，它的“连续性”在0x =处遭到了破坏，也就是这一点出现了“间断”。 定义1.1.1设函数()f x 在点0x 的某个领域中有定义，且成立

00lim ()()x x f x f x →=，

则函数()f x 在点0x 连续，或称0x 是函数()f x 的连续点。

“函数()f x 在0x 连续”可用“εδ-方式”表述为：

0ε?>，0δ?>，0()x x x δ?-<:0()()f x f x ε-<.

定义1.1.2若函数()f x 在区间(,)a b 上的每一点都存在连续性，则称函数()f x 在开区间(,)a b 上是连续的。

例1.1.2 函数1()f x x

=在区间（0,1）连续。 证：设0x 是（0,1）中任意一点，0ε?>，欲求0δ>，使得当0x x δ-<

000

11x x x x xx ε--=<

将不等式左边放大，加上条件002

x x x -<，于是02x x >，从而 2002

x xx > 取200min{,}22

x x δε=，当0x x δ-<时， 002000

211x x x x x x xx x ε---=<<， 因此1()f x x

=在（0,1）连续。 定义1.1.3 若00lim ()()x x f x f x -→=，则函数()f x 在0x 左连续；若00lim ()()x x f x f x +→=，

则函数()f x 在0x 右连续。

00lim ()()x x f x f x -→=可表述为：0ε?>，0δ?>，0(0)x x x δ?-<-≤：

0()()f x f x ε-<；

00lim ()()x x f x f x +→=可表述为：0ε?>，0δ?>，0(0)x x x δ?≤-<：

0()()f x f x ε-<.

定义1.1.4 若函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，并且在左端点a 处右连续，在右断点b 处左连续，则称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续的。

证：

设0(0,1)x ∈任意一点，令00min{,1}0x x η=->，当0x x η-<时，(0,1)x ∈，因此

00(1)(1)x x x x ---

0001(1)(1)x x x x x x x x --=--+-01(1)

x x x x <--. 所以，0ε?>，取00min{,(1)}x x δηε=-，当0x x δ-<时，有

00(1)(1)x x x x ---01(1)

x x x x <--ε<， 即()(1)f x x x =-在（0,1）上连续.

考虑区间的端点，对于任意给定的0ε>，取2δε=，当0x δ≤<时，

()(0)f x f x ε-≤<；

当10x δ-<-≤时，

()(1)1f x f x ε-≤-<.

说明()f x 在0x =右连续，在1x =左连续。 由此得出()(1)f x x x =-在闭区间（0,1）上连续。

1.2连续函数的性质

1.2.1有界性定理

如函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续的，则其必在[,]a b 上有界。

证： .

若()f x 在[,]a b 上是无界的，可将[,]a b 均分为两个小区间[a ,

2a b +]与[2

a b +,b ]，则()f x 至少在其中之一上无界，将它记为[1a ,1b ];再将闭区间[1a ,1b ]等分为两个小区间[1a ,112a b +]与[112

a b +,1b ],同样的道理()f x 至少在其中之一上无界，将它记为[2a ,2b ]，······.按照这样的步骤一直做下去，便能得到一个闭

区间套{[n a ,n b ]},即()f x 在其中任何一个闭区间[n a ,n b ]上都是无界的.

根据闭区间套定理得知，存在一个唯一的实数点ξ属于任意的闭区间

[n a ,n b ]，并且

ξ=lim lim n n n n a b →∞→∞

=. 因为[,]a b ξ∈，而()f x 在点ξ连续，存在0?>，0M >,对于一切(),[,]x O a b ξδ∈,成立 ().f x M ≤

由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞

==，我们又可知道对于充分大的n , ()[,],[,]n n a b O a b ξδ∈,

因此得到()f x 在这些闭区间[,]n n a b （n 充分大）上有界的结论，从而产生了矛盾。

这说明所作的假设是不能成立的，即函数()f x 在[,]a b 上必定是有界的。

1.2.2 最大值与最小值定理

在闭区间上的函数在该区间上连续，即在该区间上是有界的，并且一定存在其最大值与最小值。

换而言之，如果存在函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，即存在常数M>0,使得其对任一的[,]x a b ∈，满足条件()f x M ≤;并且至少存在一点1ξ，使得()1f ξ是()f x 在[,]a b 上的最大值；同样的道理，这里也至少存在一点2ξ，使得()2f ξ是()f x 在[,]a b 上的最小值。(如图1.2.1)

证：

由上述定理1.2.1得知，集合{()[,]}f R f x x a b =∈这个数集是有界的，因此必有它的上下确界，记作

inf f R α=，sup f R β=.

现证明存在1[,]a b ξ∈，使得1()f ξα=.

一方面对一切[,]x a b ∈，成立()f x α≤;另一面对任意给定的0ε>，存在[,]x a b ∈，使得()f x αε<+.即取得1n n

ε=

，1,2,3n =······，从而得到一个数列{}n x ，[,)n x a b ∈且满足 1()n f x n

αα≤<+ 由于数列{}n x 是有界的，这里我们应用Bolzano-Weierstrass 定理得知，存在收敛子列{}nk x ；

1lim nk k x ξ→∞

=，并且1[,]a b ξ∈ 不等式

1()nk k

f x n αα≤<+，1,2,3k =，···， 令k →∞，通过极限的夹逼性和()f x 在点1ξ的连续性，得到1()f ξα=.

说明()f x 在[,]a b 上取得最小值α，即αmin f R =.

同理可以证明存在2[,]a b ξ∈，使得2()max f f R ξβ==.

注：开区间上的连续函数即使有界，也不一定能够取得它的最大值与最小值。例如，()f x x =在（0,1）连续而且有界，因而存在上下确界inf{()(0,1)}0f x x α=∈=与sup{()(0,1)}1f x x β=∈=，但()f x 在区间（0,1）上取不到0α=和1β=。

1.2.3 零点定理

如果0x 使0()0f x =，则0x 称为函数()f x 的零点。

设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <（即()f a 与()f b 异号），那么在开区间内(,)a b 内至少有一点ξ，使得

()0f ξ=.

证：

设()0f a <，()0f b >，定义集合V :

{()0,[,]}V x f x x a b =<∈.

集合V 是有界、非空，所以必有上确界。令

sup V ξ=

由()f x 的连续性和()0f a <，10δ?>，1[,]x a a δ?∈+：()0f x <；再有()0f b >，20δ?>，2[,]x b b δ?∈-：()0f x >.于是可知

12a b δξδ+≤≤-，

即(,)a b ξ∈.

取,1,2,3,n x V n ∈=···，()n x n ξ→→∞，因()0n f x <，可以得到

()lim ()0n n f f x ξ→∞

=≤.

如果()0f ξ<，由()f x 在点ξ的连续性，0,(,)x O δξδ?>?∈:()0f x <,

这与sup V ξ=产生矛盾。因此有

()0f ξ=

1.2.4 介值定理

设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，并且在区间上的端点处取不同的函数值

()f a A =,()f b B =;

那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使

()f C ξ= ()a b ξ<<

证：

假设()()x f x C ?=-,()x ?在闭区间[,]a b 上连续，且()a ? A C =-与()b B C ?=-异号。根据零点定理，开区间(,)a b 内至少有一点ξ使得

()0?ξ= ()a b ξ<<

由()()f C ?ξξ=-,于是上式即得

()f C ξ= ()a b ξ<<

推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

1.2.5 一致连续性

我们先介绍函数的一致连续性概念。

若函数在区间I 上连续，0x 是在I 上任意取定的一个点。由于()f x 在点0x 连续，因此

000,0,():()()x x x f x f x εδδε?>?>?-<-<.

通常这个δ不仅与ε有关，而且与所取定的0x 有关，即使ε不变，但选取区间I 上的其他点作为0x 时，这个δ就不一定适用了。但对于某些函数却有这样的重要情形，

即存在只与ε有关，而对区间I 上任意一点0x 都能适用的正数δ，即任意0x I ∈，只要0x x δ-<时，就有0()()f x f x ε-<.若函数()f x 在区间I 上存在这样的情形，就说函数()f x 在区间I 上是一直连续的。

定义 设函数()f x 在区间I 上定义，若对于任意给定的正数0ε>，存在正数0δ>，只要12,x x I ∈,满足12x x δ-<时，就有

12()()f x f x ε-<

则称函数()f x 在区间I 上一致连续。

函数一致连续性表示，无论在区间I 的任何一个部分，只要自变量的两个数值接近到某一个程度，就能够使所对应的函数值达到所指定的接近程度。 注：若函数()f x 在区间I 上一致连续，那么函数()f x 它在区间I 上也是连续的，但反过来就不一定是成立的，举例说明如下：

例 函数()f x 1x

=在区间(0,1]是连续的，但它不是一致连续的。 因为函数()f x 1x

=是初等函数，它在区间(0,1]上有定义，所以在(0,1]上是连续的。

0(01)εε?><<，假定()f x 1x

=在(0,1]上一致连续，应该0δ?>，对于(0,1]上的任意两个值12,x x ，当12x x δ-<时，就有12()()f x f x ε-<. 取原点附近的两点

11x n =，211

x n =+， n 为正整数，显然12,x x 在(0,1]上，由于

121111(1)

x x n n n n -=-=++ 所以，只要n 取得足够大，总能使12x x δ-<.这时有

1211()()(1)111

1

f x f x n n n n ε-=-=-+=>+

不符合一致连续的定义，因此()f x 1x

=在(0,1]上不是一致连续的。 定理 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续的，则其在该区间上也一致连续。

1.2.6 连续函数的四则运算

由函数极限的四则运算，类似的连续函数，也有这样的运算规则。

设00lim ()()x x f x f x →=，0

0lim ()()x x g x g x →=，则 (1) 0

00lim(()())()()x x f x g x f x g x αβαβ→+=+ （α，β为常数）； (2) 0

00lim(()())()()x x f x g x f x g x →=； (3) 000()()lim()()()

x x f x f x g x g x →= （0()g x 0≠）. 1.3 连续函数的性质应用

有界闭区域中连续函数的性质有很多广泛的应用，现在我们通过例题进行讨论如下 ：

例1 若函数()f x 在[1,)+∞上一致连续，求证：()f x x

在[1,)+∞上有界。 证：因函数()f x 在[1,)+∞上一致连续，对1,0εδ=?> ，对''',[1,)x x ?∈+∞ ，且满足'''x x δ-≤ 时，有

'''()()1f x f x -< 由

((1))()1f n f n δδ+-≤ 于是

((1))((1))()()f n f n f n f n δδδδ+≤+-+

1()f n δ≤+≤ ·

··(1)(),(1(1))n k f k k k δδδ≤+-+≥>-

对任意[1,)x ∈+∞ ，存在m ，使得(1)m x m δδ<≤+ ， ()()()()1()()()f x f x f m f m f m m k f k δδδδ≤-+≤+≤-+

(())(())x m f k k f k k δδδ=+-≤

+- .

所以有 ()1(())1()f x f k k f k k x x δδδδ

-≤+≤+- 得()f x x

在[1,)+∞上有界。 例2 某越野运动员用时三十分钟共跑了六英里，证明：一定存在某时刻，在该时刻起的五分钟内，该运动员跑了一英里。

解： 设x 为离开起跑线的英里数，对于[0,5]中的每个x ，以()f x 表示从x 跑到x +1英里所需要的时间，则函数()f x 为连续函数，且有

(0)(1)(2)(3)(4)(5)30f f f f f f +++++=.

因为(0),(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f f 不可能全大于5，也不可能全小于5，因此，如果上式左端有一项等于5，则结论得到证明，否则在[0,5]内存在,a b 满足

()5()f a f b <<，

由闭区间上连续函数的介值定理得到，存在c ，使得

()5f c = ()a b c <<

因此从c 英里到c +1英里恰好跑了五分钟。

例3 某登山运动员在星期六上午7:00开始登山，直到下午五点到达顶点，在山上宿营后，星期日上午7:00开始返程，在下午五点到达出发点。证明：该运动员在星期日的某时刻和星期六的同一时刻处于同一高度。

解： 设S 为运动员从山顶点到出发点的距离。在时间段[7,17]T =中，第一天的t T ∈时刻此人与出发点的距离设为()f t ，第二天的t T ∈时刻，此人与出发点的距离设为()g t ，则()f t ，()g t 在T 上为连续函数。易知

(7)0f =，(17)f S =

(7)g S =，(17)0g =.

这里取

()()()h t f t g t =-，

则，

(7)0h S =-<， (17)0h S =>，

根据介值定理知，存在0(7,17)t ∈，使得

000()()()0h t f t g t =-=，

即

00()()f t g t =，

所以，在两天中必有某一时刻，此运动员在同一高度。

例4 假定地球赤道的温度是连续不断的变化的，证明：地球赤道上存在任何时刻相对于球心是对称的两处温度是相同的。

解： 赤道可视为一个大圆C ,地球的球心O 为大圆C 的圆心，在大圆C 上我们取定一个点A ,以OA 作为角的始边，设P 为大圆上任意的点，按逆时针方向，OP 与OA 所成的角为x ，点P 对应的温度设为()f x 。根据题意得知()f x 为连续函数且

(0)(2)f f π=

现在令

()()(),[0,]F x f x f x x ππ=-+∈

因为

(0)(0)(),F f f π=-

()()(2)()(0)F f f f f ππππ=-=-

因此，如果

(0)(0)()0F f f π=-=，

则，

(0)()f f π=，

结论成立，若

(0)(0)()0F f f π=-≠，

那么，

(0)()0F F π?<,

可以看出，()F x 也是连续函数，根据闭区间上连续函数的性质知，存在0(0,)x π∈，

使得

000()()()0F x f x f x π=-+=，

即

00()()f x f x π=+，

而0x 与0x π+相对于O 是对称的，所以结论也成立。

推论：如果将问题中地球赤道改为地球某同一纬度圈，也会有类似的结论。 例5 一个煎饼不论它的形状如何，可切一刀，使它的面积二等分。

解：将一个煎饼看作一个平面图像Ω，它的面积设为0S .过Ω外的一点O 作极轴OX ,使图像Ω位于OX 的上方。假设图形Ω位于θα=和θβ=(0)αβ<<之间。图形Ω位于θα=与经过极点O 的射线之间所夹部分的面积为θ的连续函数，设为

()S f θ= ()αθβ≤≤.

因为

()0S α=，0()S S β=，

因此，根据闭区间上的连续函数的介值定理得知，存在0θ，使得

001()2

S S θ=

， 所以，射线0θθ=将图形Ω的面积二等分。 例6 求证函数2()f x x =在[,]a b 一致连续，但在(,)-∞+∞上不一致连续.

证：0ε?>，取2(||||1)a b ε

δ=++，则当'x ，'x ∈[,]a b 且|'''|x x δ-<时，有

|(')('')||(''')(''')|[|'||''|]f x f x x x x x x x δ-=+-≤+

2(||||)2(||||1)a b a b ε

ε<

?+<++ 因此2()f x x =在[,]a b 一致连续 然而2()f x x =在(,)-∞+∞上不一致连续

取

01

ε=，无论0

δ>取得多小的值，根据

1

lim0

n n

→∞

=可以知道，只要这里的n充分

大就可以使

1

'x n

n

=+，''x n

=的距离

1

|'''|

x x

n

δ

-=<，但

222

11

|(')('')|()2()1

f x f x n n

n n

ε-=+-=+>=

故函数2

()

f x x

=在(,)

-∞+∞上不一致连续.

第二章 闭区间上连续函数性质的推广

2.1 闭区域中连续函数性质在开区间的推广

在大学期间，我们所学的都是闭区间上连续函数的性质，其应用非常广泛，然而在开区间或无穷区间上，这些性质就不一定能适用了。这一章我们将这些定理加以推广，使它在开区间或无穷区间上也可以成立。

2.1.1 （有界性定理的推广） 如果函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，并且

lim ()x a f x A +→=与lim ()x b

f x B -→=都为有限值，则()f x 在(,)a b 上有界。 证： 把()f x 在闭区间[,]a b 上作连续开拓，设

,()(),(,)

,A x a F x f x x a b B x b =??=∈??=?，

则()F x 是[,]a b 上的连续函数，故()F x 在[,]a b 上有界，当(,)x a b ∈时，

()()

F x f x =，即()f x 在(,)a b 上有界。 2.1.2 （介值性定理的推广） 如果函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，并且lim ()x a

f x A +→=与lim ()x b

f x B -→=都为有限值，A B ≠ ,若(,)m A B ∈ 其中的任何实数。那么，在(,)a b 内至少会存在一点ξ，使()f m ξ=.

证： 同2.1.1定理，把()f x 在闭区间[,]a b 上作连续开拓，设

,()(),(,)

,A x a F x f x x a b B x b =??=∈??=?，

则()F x 是[,]a b 上的连续函数，，故()F x 在[,]a b 上具有介值性，若(,)m A B ∈ 其中的任何实数，那么，在(,)a b 内至少会存在一点ξ，使()f m ξ=.当(,)x a b ∈时，

()()F x f x =，即定理得证。

2.1.3（零点定理的推广）如果函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，并且lim ()x a

f x A +→=与lim ()x b f x B -→=都为有限值，,A B 异号（即0A B ?<），那么，在(,)a b 内至少会存在一点ξ，

使得()0f ξ=。

证：同2.1.2定理，把()f x 在闭区间[,]a b 上作连续开拓，设

,()(),(,)

,A x a F x f x x a b B x b =??=∈??=?，

则()F x 是[,]a b 上的连续函数，故()F x 在[,]a b 上具有介值性，若(,)m A B ∈ 其中的任何实数，那么，在(,)a b 内至少会存在一点ξ，使()0f ξ=.当(,)x a b ∈时，()()F x f x =，即定理得证。

2.1.4 (最值定理的推广) 如果函数()f x 在区间(,)a b 上连续，而且lim ()x a

f x A +→=与lim ()x b f x B -→=都是有限值，则

（1）如果存在(,)a b ξ∈，使得{}()max ,f A B ξ≥,那么，()f x 在(,)a b 内取得最大值。

（2）如果存在(,)a b ξ∈，使得{}()min ,f A B ξ≤，那么，()f x 在(,)a b 内取得最小值。

证：（1）把()f x 在闭区间[,]a b 上作连续开拓，设

,()(),(,),A x a F x f x x a b B x b =??=∈??=?

，

则()F x 是[,]a b 上的连续函数，故()F x 在[,]a b 上可取得最大值，由于存在(,)a b ξ∈，{}()()max ,F f A B ξξ=≥，所以最大值点不可能是a 或b .这里可设最大值为000()(),(,)F x f x x a b =∈，那么，0()()(),(,)F f F x a b ξξξ=≤∈.

如果0()()F F x ξ=，那么()()F f ξξ=也是在[,]a b 上的最大值，所以ξ是()

f x

在(,)a b 内的最大值点。

若0()()f F x ξ<，那么，根据题意得知0max{,}()()A B f F x ξ≤<,0x 是()f x 在(,)a b 内的最大值点。

综上所述，()f x 在(,)a b 内取到最大值。

同样的道理，可以得证()f x 在(,)a b 内取到最小值。

2.2闭区域中连续函数的性质在导函数上的推广

上一节中我们就在闭区间中的连续函数的性质也可以推广到开区间上这一问题进行了探讨，连续函数的性质包括最值存在性、介质性、零点存在性等，其应用都非常广泛；现在我们继续讨论这样的问题，即若一元函数()f x 是可导的，那么，函数()f x 一定是连续的，但是导函数'()f x 就不一定连续了。本节中将闭区间上连续函数的性质推广到导函数的性质。

定理2.2.1 假设函数()f x 在区间[,]a b 上可导，如果函数()f x 在x a =处取到[,]a b 上的最大值或者最小值，那么，'()0f a +≤或'()0f a +≥；如果函数()f x 在x b =处取得[,]a b 上其最大值或者最小值，那么'()0f b -≥或'()0f b -≤。

证：当()f x 在x a =处取[,]a b 上的最大值时，也就是()()0f a x f a +?-≤时，又因为

'0()()()lim x f a x f a f a x

+

+?→+?-=?，所以有'()0f a +≤。 '0()()()lim x f b x f b f b x

--?→+?-=?，所以有'()0f b -≤。 ······ 下面给出相应的例题进行讨论。

例1设函数()f x 在区间[,]a b 上可导，'()0f a +>，'()0f b ->，()()f a f b ≥，求证：'()f x 在(,)a b 上至少有两个零点。

证：根据函数()f x 在区间[,]a b 上可导可知()f x 在区间[,]a b 连续，也就是说，在区间[,]a b 上()f x 达到最大值和最小值至少各有一次。

由题可知'()0f a +>，'()0f b ->，()()f a f b ≥，那么函数()f x 在区间[,]a b 上的最小值、最大值都不在区间端点取得。如果()f x 在区间[,]a b 上的最大值在区间端点取得，那么必然是在x a =处达到，故'()0f a +≤，与'()0f a +>相互矛盾，所以函数()f x 在区间[,]a b 内的最大值不可能取在端点处，同理也可证明()f x 在区间[,]a b 上的最小值也不可能取在端点处。故函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值都是在开区间(,)a b 内取到的，又因为()f x 在区间[,]a b 上是可导的，那么在()f x 的最大值与最小值处'()0f x =。所以'()f x 在(,)a b 内至少存在两个零点。

定理2.2.2 设()f x 在区间[,]a b 上可导，''_()()0f a f b +?<，那么'()f x 在(,)a b 内存在零点。

证：考虑它的一般性，可以假设'()0f a +>，'()0f b -<，利用定理2.2.1可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值不能在x a =或x b =处取到，这样就存在(,)c a b ∈，使得函数[,]

()max ()a b f c f x =，即x c =是()f x 在[,]a b 的最大值点，又因'()0f c =，即'()f x 在(,)a b 内存在零点。

通过定理2.2.2，我们又可以得到进一步的推论。

推论：假设函数()f x 在区间(,)a b 内是可导的，如果()f x 在(,)a b 内无零点，那么函数()f x 在(,)a b 内恒正或者恒负。

证： 如果函数()f x 在(,)a b 内既不是恒正也不是恒负，则存在12,(,)x x a b ∈ 12()x x <使''12()()0f x f x ?<，根据定理2.2.2可知，'()f x 在12(,)x x 内有零点，这与函数()f x 在(,)a b 内无零点产生矛盾。

例2设()f x 在[2,2]-上存在一阶连续的导数，在(2,2)-内存在二阶可导，且'()1,(0)1f x f ≤>.

求证：存在(2,2)ξ∈-，使得'()0f ξ=。

证：用反证法

假如不存在(2,2)ξ∈-使得'()0f ξ=，那么导函数'()f x 在(2,2)-内是恒正或者恒负的。由于函数()f x 在[2,2]-上存在一阶连续的导数，在(2,2)-内存在二阶可导，因而存在介于0与x 之间的ξ，使得[]2,2x ?∈-有，'''21()(0)(0)()2f x f f x f x ξ=++，也就是'''21()(0)(0)()2

f x f f x f x ξ--=。 如果(2,2)x ∈-时，''()0f x >，那么'()(0)(0)0([2,2],0)f x f f x x x -->∈-≠，而根据题意得到的是'(2)(0)2(0)1(1)20f f f --<---=，故产生矛盾。

如果(2,2)x ∈-时，''()0f x <，那么'(2)(0)(0)0([2,2],0)f f f x x x --<∈-≠，而根据题意得到的是'(2)(0)2(0)1120f f f --+>--+=，故产生矛盾。

定理 2.2.3 设()f x 在区间(,)a b 内是可导的，1212,(,),x x a b x x ?∈≠，如果''12()()f x f x ≠，那么对于在'1()f x 与'2()f x 之间的任意值c ，存在介于1x 和2x 之间的ξ使得'()f c ξ=。

证： 设函数'()()x f x cx ?=-，那么()x ?在12[,]x x 或者21[,]x x 上可导，并且''()()x f x c ?=-。

由于c 介于'1()f x 与'2()f x 之间，因此

''''1212()()(())(())0x x f x c f x c ???=--<，

根据定理2.2.2可以知道，'()x ?在1x 与2x 之间存在零点ξ，这样就说明存在ξ介于1x 和2x 之间，使得'()0?ξ=。因此考虑到在'1()f x 与'2()f x 之间的任意值

c ，就存在介于1x 和2x 之间的ξ使得'()f c ξ=。

例3假设函数()f x 在闭区间[,]a b 上存在三阶可导，证明：存在(,)a b ξ∈，使得

'3(3)1()()()()()()224

a b f b f a f b a b a f ξ+=+-+-. 证：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上存在三阶可导，那么()f x 在02a b x +=

的二级泰勒公式为