2019-2020学年哈尔滨市平房区中考调研测试数学试卷(一)(有标准答案)

黑龙江省哈尔滨市平房区九年级中考调研测试数学试卷（一）

一、单选题

1.如果冰箱冷藏室的温度是5℃，冷冻室的温度是-3℃，则冷藏室比冷冻室高（）

A. 8℃

B. -8℃

C. -2℃

D. 2℃

【答案】A

【考点】有理数的减法

【解析】【解答】解：5﹣（﹣3）=5+3=8．故答案为：A．

【分析】求冷藏室比冷冻室温度高多少，就用冰箱冷藏室的温度减去冷冻室的温度，根据有理数的减法即可得出答案。

2.下列图形中,不是轴对称图形的是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【考点】轴对称图形

【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故不符合题意；

B．是轴对称图形，故不符合题意；

C．是轴对称图形，故不符合题意；

D．不是轴对称图形，故符合题意．

故答案为：D．

【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据定义一一判断即可。

3.下列运算中，正确的是（）

A. x·x2= x2

B. （xy）

2=xy2 C.

D. x2+x2=2x4

【答案】C

【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用

【解析】【解答】A.x·x2=x3 ，故不符合题意；

B.（xy）2=x2y2，故不符合题意；

C. 符合题意；

D.x2+x2=2x2，故不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项法则，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；根据法则一一判断即可。

4.如左图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（）

A. B.

C.

D.

【答案】B

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：从左向右看第一列是两个正方体，第二列式一个正方体，故答案为：B．【分析】求简单几何体的左视图，就是从左向右看得到的正投影，从左向右看第一列是两个正方体，第二列式一个正方体从而得出答案。

5.反比例函数(k为常数,k≠0)的图象位于( )

A. 第一、二象限

B. 第一、三象

限 C. 第二、四象

限 D. 第三、四象限

【答案】C

【考点】反比例函数的图象

【解析】【解答】解：∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数（k为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限．故答案为：C．【分析】根据偶次方的非负性及已知条件可知：k2＞0，故﹣k2＜0，根据双曲线的比例系数小于0，则图像位于第二、四象限．即可得出答案。

6.如图,飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C,此时飞行高度BC=1200米,从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为则飞机与指挥台之间AB的距离为( )米

A. 1200

B. 1600

C. 1800

D. 2000

【答案】D

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：∵tanα=tanB= ，且tanB= ，∴BC= = =1600（米），则AB= = =2000．故答案为：D．【分析】根据等角的同名三角函数值相等得出tanα=tanB=，再根据正切函数的定义得出BC=,再根据勾股定理得出AB的长。

7.将抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线解析式是( ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【考点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：依题意可知：平移后得到的抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣3．故答案为：C．【分析】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），又因为平移不改变二次项系数，从而根据平移规律得出所得抛物线解析式。

8.如图,在菱形ABCB中,点E在AD边上,EF∥CD,交对角线BD于点F,则下列结论中错误的是( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB=CD=AD．∵EF∥CD，∴EF∥AB，∴，△DEF∽△DAB，∴．∵AB=CD，∴，∴选项A、B、D不符合题意；选项C符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据菱形的性质得出AB∥CD，AB=CD=AD，又EF∥CD，故EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，及相似三角形判定方法的准备定理得出DE∶ AE=DF ∶BF ，△DEF∽△DAB，根据相似三角形对应边成比例得出EF∶AB=DF∶DB,又AB=CD=AD，从而得出EF∶CD=DF∶DB,EF∶AD=DF∶DB,故选项A、B、D不符合题意，从而得出答案。

9.如图,△ABC为等边三角形,将△ABC绕点A逆时针旋转75°,得到△AED,过点E作EF⊥AC,垂足为点F,若AC=8,则AF的长为( ）

A. B. 3

C.

D.

【答案】D

【考点】旋转的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°，由旋转可得，AC=AD=AE=8，∠EAB=75°，∴∠EAF=180°﹣60°﹣75°=45°．∵EF⊥AC，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF= AE=4 ．

故答案为：D．

【分析】根据等边三角形的性质得出∠CAB=60°，由旋转可得，AC=AD=AE=8，∠EAB=75°，根据平角的定义得出∠EAF的度数，进而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系即可得出答案。

10.在一次越野赛中,甲选手匀速跑完全程,乙选手1.5小时后速度为每小时10千米,两选手的行程y(千米)随时间x(小时）变化的图像（全程）如图所示，则乙比甲晚到（）小时.

A. 0.4

B. 0.

3 C. 0.2

D. 0.1

【答案】B

【考点】通过函数图像获取信息并解决问题

【解析】【解答】解：由图可知：甲的速度=10÷1=10（千米/时），甲的时间=2小时，总路程=10×2=20（千米）．根据0.5～1.5小时内，乙半小时跑2km，可得1小时跑4km，故1.5小时跑了12km，剩余的8km 需要的时间为8÷10=0.8小时，根据1.5+0.8﹣2=0.3，可得乙比甲晚到0.3小时，

故答案为：B．

【分析】根据图像解决问题，由于甲是匀速行完全程，根据图像可以得出甲的速度10千米/时，甲行的时间为2小时，根据路程=速度乘以时间得出总路程是20千米；根据0.5～1.5小时内，乙半小时跑2km，可得1小时跑4km，故1.5小时跑了12km，剩余的8km需要的时间为8÷10=0.8小时，根据1.5+0.8﹣2=0.3，可得乙比甲晚到0.3小时，

二、填空题

11.把384000000用科学记数法表示为________.

【答案】

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：384 000 000=3.84×108．故答案为：3.84×108．

【分析】用科学计数法表示绝对值比较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10,n等于原数的整数位数减1。

12.函数的自变量的取值范围是________.

【答案】x≠-3

【考点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．

【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，得出不等式，求解即可得出x的取值范围。

13.计算: ________.

【答案】

【考点】二次根式的加减法

【解析】【解答】解：原式=3 ﹣= ．故答案为：．

【分析】根据二次根式的性质分别化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可。

14.不等式组的解集为________.

【答案】x＞3

【考点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：

由（1）得：x≥1；

由（2）得：x＞3，∴原不等式的解集为：x＞3．故答案为：x＞3．

【分析】解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后按照同大取大的方法得出不等式组的解集。

15.把多项式分解因式的结果是________.

【答案】

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：原式=3a（a2﹣4a+4）=3a（a﹣2）2．故答案为：3a（a﹣2）2．

【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。

16.分式方程= 的解是________．

【答案】x=2

【考点】分式方程的解

【解析】【解答】解：两边都乘以x（x﹣1）得：x=2（x﹣1），

去括号，得：x=2x﹣2，

移项、合并同类项，得：x=2，

检验：当x=2时，x（x﹣1）=2≠0，

∴原分式方程的解为：x=2，

故答案为：x=2．

【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为x（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．17.一个扇形的面积为12πcm2,圆心角为120°,则该扇形的半径是________.

【答案】6cm

【考点】扇形面积的计算

【解析】【解答】解：设扇形半径为r，则，解得：r=6（cm）．故答案为：6cm．

【分析】设扇形半径为r，根据扇形的面积计算公式及扇形的面积列出方程，求解即可得出答案。

18.星期一早晨,小红、小丽两人同在新疆大街公交站等车去同一所学校上学,此时恰好有途经该校公交站的三辆车同时进站(不考虑其它因素),则小红和小丽同乘一辆车的概率为________.

【答案】

【考点】列表法与树状图法，概率公式

【解析】【解答】解：将三辆车分别记为1，2，3，画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小红和小丽同乘一辆车的有3种情况，∴小红和小丽同乘一

是：= ．故答案为：．

【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有9种等可能的结果，小红和小丽同乘一辆车的有3种情况，根据概率公式即可得出小红和小丽同乘一辆车的概率。

19.在正方形ABCD中,点0为正方形的中心,直线m经过点0,过A、B两点作直线m的垂线AE、BF,垂足分别为点E、F,若AE=2,BF=5,则EF长为________.

【答案】3或7

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，

连接AO，BO．∵O是正方形ABCD的中心，∴OA=OB，∠AOB=90°，∴∠EOA+∠FOB=90°．∵∠EOA+∠

EAO=90°，∴∠EAO=∠FOB．在△AEO和△OFB中，∵∠EAO=∠FOB，∠AEO=∠OFB，AO=OB，∴△AEO≌△OFB，∴AE=OF，EO=BF，∴EF=OE+OF=BF+AE=5+2=7．

②如图2，

同理可得：AE=OF，EO=BF，∴EF=OE－OF=BF－AE=5－2=3．

综上所述：EF长为3或7．

故答案为：3或7．

【分析】分两种情况：①如图1，连接AO，BO．根据正方形的性质得出OA=OB，∠AOB=90°，然后根据同角的余角相等得出∠EAO=∠FOB，利用AAS判断出△AEO≌△OFB，根据全等三角形的性质得出AE=OF，EO=BF，根据线段的和差及等量代换得出EF的长；②如图2，同理可得：AE=OF，EO=BF，由EF=OE－OF=BF－AE得出答案；综上所述即可。

20.如图,在△ABC中,AC=BC,D为AB的中点,F为BC边上一点,连接CD、AF交干点E.若∠FAC=90°-3∠BAF,BF:AC=2:5,EF=2,则AB长为________.

【答案】

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图，延长CD到H，使DH=DE，作FG∥AB交CD于G．

∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB．∵DH=DE，CD⊥AB，∴AH=AE，∠HAD=∠EAD，∴∠HAE=2∠BAF．又∵∠

FAC=90°-3∠BAF ，∠FAC+∠BAF+∠ACD=90°，∴∠ACD=2∠BAF=∠HAE．∵∠H=∠H，∠ACD=∠HAE，∴△HAE∽△HCA，∴AH：HE=HC：AH，∴AH2=HE?HC．

又∵BF：AC=BF：BC=2：5，∴CF：BC=3：5．∵FG∥AB，∴FG：BD=CF：BC=3：5，FG：BD=FG：AD=EF：

AE=EG：DE=3：5．又∵EF=2，∴AE= ，∴AH= ．∵DE：DG=5：8，∴DE= GD= × CD= CD，∴CD=4DE=4DH，∴=2HD?（HD+CD）=2HD?5HD=10HD2，∴HD= ，∴DE= ．∵

= ，∴AD= ，∴AB=2AD= ．故答案为：．

【分析】如图，延长CD到H，使DH=DE，作FG∥AB交CD于G．根据等腰三角形的三线合一得出CD⊥AB，根据中垂线的定理得出AH=AE，∠HAD=∠EAD，根据等量代换得出∠ACD=2∠BAF=∠HAE，从而判断出△HAE ∽△HCA，根据相似三角形对应边成比例得出AH：HE=HC：AH，故AH2=HE?HC．又BF：AC=BF：BC=2：5，根据比例的性质得出CF：BC=3：5，根据平行线分线段成比例得出FG：BD=CF：BC=3：5，FG：BD=FG：

AD=EF：AE=EG：DE=3：5，从而得出AE,AH的长，再由DE：DG=5：8得出DE=CD，CD=4DE=4DH从而得出HD 的长，DE的长，根据勾股定理得出AD的长，根据等腰三角形的三线合一得出AB的长。

三、解答题

21.先化简，再求代数式的值，其中.

【答案】解：原式= = =

当a=3tan30°﹣2cos60°=3× ﹣﹣2× = ﹣1时，原式= ．

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先计算分式的除法，将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，然后将除式的分子分母交换位置将除法转变为乘法，约分化为最简形式；再按同分母分式的减法法则计算出结果；根据特殊锐角的三角函数值将a的值化简，再代入分式化简的结果按实数的运算算出答案。

22.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1.线段AB的两个端点在小正方形的顶点上。

①在图中画一个以AB为腰的等腰三角形△ABC，点C在小正方形的顶点上，且tan∠B=3；

②在图中画一个以AB为底的等腰三角形△ABD,点D在小正方形的项点上,且△ABD是锐角三角形.连接CD,请直接写出线段CD的长。

【答案】解：如图所示：△ABC、△ABD即为所求：

CD==

【考点】等腰三角形的判定，作图—复杂作图

【解析】【分析】①根据方格纸的特点，画一个以AB为腰的等腰三角形△ABC，点C在小正方形的顶点上，且tan∠B=3；故点A一定在BC的中垂线上，且过A点向BC所引的垂线的长度应该是底边BC一半的3倍，而且C点还要在格点上，根据条件作出即可；

②在图中画一个以AB为底的等腰三角形△ABD,点D在小正方形的项点上,且△ABD是锐角三角形，故D点一定在AB的中垂线上，利用方格纸的特点即可作出满足条件的图形；再利用方格纸的特点，根据勾股定理即可得出CD的长度。

23.随着2018年两会的隆重召开,中学校园掀起了关注时事政治的热潮我区及时开展“做一个关心国家大事的中学生”主题活动。为了了解我区中学生获取时事新闻的主要途径，分别从电脑上网、手机上网、听广播、看电视、看报纸五个方面,在全区范围内随机抽取了若干名中学生进行问卷调查(每名中学生只选一种主要途径),根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图请根据统计图的信息回答下列问题:

（1）本次调查共抽取了中学生多少人?

（2）求本次调查中,以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；

（3）若本区共有中学生7000人，请你估计我区以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生有多少人？【答案】（1）解：120÷40%=300（人），∴本次抽样调查共抽取了中学生300人

（2）解：300﹣90﹣120﹣45﹣15=30（人），∴被调查的中学生中以听广播作为主获取时事新闻主要途径有30人，补全条形统计图：

（3）解：7000× =1050（人），∴由样本估计总体全区以看电视作为获取时事新闻主要途径的中学生有1050人．

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图

【解析】【分析】(1）根据条形统计图及扇形统计图可知：用手机上网的中学生的人数是120人，其所占的百分比是40％，用手机上网的中学生的人数除以其所占的百分数即可得出本次共调查的中学生的人数；（2）用本次调查的中学生人数分别减去电脑上网，手机上网，看电视，看报纸，获取时事新闻的人数即可得出求本次调查中,以听广播获取时事新闻为主要途径的人数，根据人数补全条形统计图即可；

（3）用本区的中学生总人数乘以样本中以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生所占的百分比即可得出该区以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生的人数。

24.已知:如图,AD是△ABC的中线,E为AD的中点,过点A作AF∥BC交BE延长线于点F，连接CF. （1）如图1,求证:四边形ADCF是平行四边形；

（2）如图2.连接CE，在不添加任何助线的情况下,请直接写出图2中所有与△BEC面积相等的三角形。

【答案】（1）证明：∵D为BC的点、E为AD的中点，∴BD=CD，AE=DE．

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．

在△AEF和△DEB中，∵∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB，AE=DE，∴△AEF≌△DEB，

∴AF=DB．又∵BD=CD，∴AF=CD．

又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形

（2）解：△CFE、△ABD、△ACD 、△ACF、△ABF

【考点】三角形的角平分线、中线和高，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定

【解析】【分析】1）根据中点定义得出BD=CD，AE=DE．根据二直线平行，内错角相等得出∠AFE=∠DBE．然后由AAS判断出△AEF≌△DEB，根据全等三角形对应边相等得出AF=DB，根据等量代换得出AF=CD．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；

（2）根据△AEF≌△DEB，得出BE=EF，根据等底同高的三角形面积相等得出△CFE的面积=△BEC的面积；根据E是AD的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△ABE的面积=△BED的面积，根据D是BC的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△CDE的面积=△BED的面积，根据等式的性质即可得出△ABD的面积=△BEC的面积;根据E是AD的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△ACE的面积=△CDE的面积，根据D是BC的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△CDE的面积=△BED的面积，根据等式的性质即可得出△ACD 的面积=△BEC的面积;根据平行四边形的性质得出△ACD的面积=△ACF的面积，又△ACD的面积=△BEC的面积，故△ACF的面积=△BEC的面积;根据△AEF≌△DEB，得出BE=EF，根据等底同高的三角形面积相等得出△AEF的面积=△ABE的面积,根据E是AD的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△ABE的面积=△BED

的面积，根据D是BC的中点，由同底等高的三角形面积相等得出△CDE的面积=△BED的面积,根据等式的性质得出△ABF的面积=△BEC面积。

25.平房区政府为了“安全,清激、美丽”河道,计划对何家沟平房区河段进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工,受条件阻制,每天只能由一个工程队。若甲工程队先单独施工3天,再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务；若甲工程队先单独施工2天,再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务。

（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）何家沟平房区河段全长6000米。若工期不能超过90天,乙工程队至少施工多少天?

【答案】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意得：

解得：

答：甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米．

（2）解：解：设乙工程队施工a天．根据题意得：

80a+50（90-a）≥6000

解得：a≥50

答：乙工程队至少施工50天．

【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题

【解析】【分析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据甲工程队先单独施工3天,再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务及甲工程队先单独施工2天,再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务，列出方程组，求解即可；

（2）设乙工程队施工a天，则甲工程队施工（90-a）天，根据甲工程队施工的总工作量+乙工程队施工的总工作量不少于6000，列出不等式求解即可得出答案。

26.已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC.

（1）如图1,求证:∠BAD=∠CAD

（2）如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；

（3）如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.

【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°．

∵BD=CD，∠BDA=∠CDA，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD．

（2）解：连接BE．

∵弧BG=弧BG ，∴∠GAB=∠BEG．

∵CF⊥AB，∴∠KFE=90°．

∵EH⊥AG，∴∠AHE=∠KFE=90°，∠AKH=∠EKF，∴∠HAK=∠KEF=∠BEF．

∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90°，∴△KFE≌△BFE，∴BF=KF= BK．

∵ OF=OB-BF，AK=AB-BK，∴AK=2OF．

（3）解：连接CO并延长交AG于点M，连接BG．

设∠GAB= ．

∵AC=CG，∴点C在AG的垂直平分线上．∵ OA=OG，∴点O在AG的垂直平分线上，

∴CM垂直平分AG，∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．

∵AF⊥CG，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF=∠GCM = ．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB= 90°，∴∠AGB=∠CMG=90°．

∵AB=AC=CG ，∴△AGB≌△CMG，∴BG=GM= AG．

在Rt△AGB中，．

∵∠AMC=∠AGB= 90°，∴BG∥CM，∴∠BGC=∠MCG= ．

设BF=KF=a，，∴GF=2a，，AF=4a．∵OK=1，∴OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），∴AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，∴3a+2=4a，∴a=2， AK=6，∴AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6．

∵tanα=tan∠HAK= ，设KH=m，则AH=2m，∴AK= =6，解得：m= ，∴AH=2m= ．在Rt△BFC中，．∵∠BAD+∠ABD=90°，∠FBC+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠BAD，，∴tan∠GAD= = ，∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL= AH= ．

【考点】圆的综合题

【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，然后利用SAS判断出△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应角相等即可得出结论；

（2）连接BE．根据同弧所对的圆周角相等得出∠GAB=∠BEG．根据垂直的定义及对顶角相等，三角形的内角和得出∠HAK=∠KEF=∠BEF．根据AAS判断出△KFE≌△BFE，根据全等三角形对应边相等得出

BF=KF=BK．根据线段的和差由OF=OB-BF，AK=AB-BK得出结论；

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB= α ．首先根据AC=CG，OA=OG判断出CM垂直平分AG，根据垂直平分线的性质得出AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．根据同角的余角相等得出∠GAF=∠GCM = α ．根据圆周角定理得出∠AGB=∠CMG=90°．从而判断出△AGB≌△CMG，根据全等三角形的性质得出

BG=GM= AG．在Rt△AGB中， tan ∠GAB=tanα=GB∶AG=1∶2 ．根据平行线的判定由∠AMC=∠AGB= 90°，得出BG∥CM，根据平行线的性质得出∠BGC=∠MCG= α，设BF=KF=a， tan∠BGF=tanα=BF ∶

GF=1 ∶2，故GF=2a， tan∠GAF=tanα=GF ∶AF= 1 2 ，AF=4a．根据OK=1得出OF=a+1，AK=2OF=2

（a+1），AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，从而得出方程，求解得出a的值，AK=6，AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6．根据tanα=tan∠HAK= HK ∶AH=1 ∶2 ，设KH=m，则AH=2m，根据勾股定理由AK的长列出方程，求解得出m的值，进而得出AH的值，在Rt△BFC中，根据正切函数，由tan∠BCF=BF∶FC=1 ∶3；根据同角的余角相等得出∠BCF=∠BAD，根据等角的同名三角函数值相等得出 tan∠BAD=tan ∠BCF=1∶ 3，根据正切定理得出∠GAD=45°，从而得出结论HL=AH，AL= AH；即可得出结论。

27.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线交x轴于点A(l,0)、B(3,0),交y轴于点

C.

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点P为对称轴右侧第四象限抛物线上一点,连接PA并延长交y轴于点K,点P横坐标为t,△PCK 的面积为S,求S与t的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3,在(2)的条件下,过点A作AD⊥AP交y轴于点D.连接OP,过点O作OE⊥OP交AD延长线于点E,当OE=OP时,延长EA交抛物线于点Q,点M在直线EC上,连接QM,交AB于点H，将射线QM绕点Q逆时针旋转45°,得到射线QN交AB于点F,交直线EC于点N,若AH:HF=3:5,求的值.

【答案】（1）解：将A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得：，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：过点P作PG⊥x轴于点G，PS⊥y轴于点S，

AG=t﹣1 GP=t2﹣4t+3．在Rt△PAG中，tan∠PAG= = =t﹣3．在Rt△AKO中，tan∠KAO= = =t﹣3，OK=t﹣3，∴CK=t﹣3+3=t，∴S= CK?PS= t2（t＞3）．

（3）解：过点E作ER⊥x轴于点R．

∵OE⊥OP，∠REO=∠POG，OE=OP，∠ERO=∠OGP，∴△OER≌△POG，∴OG=ER=t，OR=PG=t2﹣4t+3，AR=t2﹣

4t+4，∠REA=∠PAG，tan∠REA= = ，tan∠REA=tan∠PAG，=t﹣3，解得：t=4，∴

点E（﹣3，﹣4）点P（4，﹣3），CP∥OG AR=ER=4，∴∠EAR=∠QAB=45°，过点Q作QT⊥x轴于点T，

并延长CP于点V，连接QB，设点Q（m，﹣m2+4m﹣3），由QT=AT 可得﹣m2+4m﹣3=m﹣1，解得m=1或2，∴点Q（2，1），AT=BT=1，∴∠AQB=90°，过点A作AU⊥x轴并截取AU=BF，连接QU，∠QAU=∠QBT=45°，QA=QB，∴△QAU≌△QBF，∴∠AQU=∠BQF，∴QF=QU，∠HQU=∠HQF=45°，QH=QH，∴△QUH≌△QHF，∴

UH=HF，设AH=3k，则HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，∴AH：HF：FB=3：5：4，∴AH=HT= ，TF= tan∠HQT= tan∠FQT= ，设EC直线解析式为y=kx+b 过点E（﹣3，﹣4），点C（0，﹣3），所求解析式

为y= x﹣3，过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设点M（x，﹣3），由tan∠HQT= = ，可得x=0，点M（0，﹣3）与点C重合，设点N（n，n﹣3），tan∠FQT= = ，解得：n=3，∴= = ．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入抛物线 y =ax2+bx?3得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）过点P作PG⊥x轴于点G，PS⊥y轴于点S，从而得出AG=t﹣1 GP=t2﹣4t+3，在Rt△PAG中，根据

正切函数的定义得出tan∠PAG=PG∶ AG=t-3,根据等角的同名三角函数值相等得出在Rt△AKO中，tan∠KAO= OK∶OA=t-3,OK=t﹣3,CK=t,根据三角形的面积公式即可得出S与t的函数关系式；

（3）过点E作ER⊥x轴于点R．首先根据ASA判断出△OER≌△POG，根据全等三角形的性质得出OG=ER=t，OR=PG=t2﹣4t+3，AR=t2﹣4t+4，∠REA=∠PAG，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等得出,求解得出t的值，进而得出E,P两点的坐标；过点Q作QT⊥x轴于点T，并延长CP于点V，连接QB，设点Q（m，﹣m2+4m﹣3），由QT=AT 可得﹣m2+4m﹣3=m﹣1，求解得出Q点的坐标，过点A作AU

⊥x轴并截取AU=BF，连接QU，∠QAU=∠QBT=45°，QA=QB，进而判断出△QAU≌△QBF，△QUH≌△QHF，故UH=HF，设AH=3k，则HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，从而得出AH：HF：FB=3：5：4，用待定系数法求出

EC直线解析式，过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设出点M的坐标，由正切函数的定义得tan∠HQT= MV ∶QV=1 ∶2；从而得出M点的坐标，得出其与C点重合，设出点N的坐标，根据tan∠FQT= NL ∶QL=1 ∶3求出n的值，从而得出答案。