韦达定理精华练习题
一、韦达定理
如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =?-
=+2121, 二、练习
1、若方程2x +(2a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________
2、设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2
221x x +的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3、不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。
4、设21,x x 是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
(1) ()()1121++x x
(2) ()221x x - (3) 2
112x x x x + 5、求一个一元二次方程，使它的两根分别是25,310-
。 6、以方程2x ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） 2y +5y －6 = 0 （B ）2y +5y ＋6 = 0 （C ）2y －5y ＋6 = 0 （D ）2y －5y －6 = 0
7、已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。
8、已知关于x 的方程102x －(m+3)x + m －7= 0
①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方程的另一个根是_________ ； ②若两根之和为53-
，则m=_________ ，这时方程的两个根分别为_____，_____。 8、已知方程032=+-m x x 的两根差的平方是17，求m 的值。
9、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
10、如果α和β是方程2x2+3x －1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于βα1+
和αβ1+。
巩固练习：
1、已知方程2x －3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=_____ , αβ= _____ 。
2、如果关于x 的方程2x －4x+m = 0 与2x －x －2m = 0有一个根相同，则m 的值为_____ 。
3、已知方程22x －3x + k = 0的两根之差为
25 ，则 k = _____。 4、若关于x 的方程2x +2(m －1)x+42m =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值
为_____。
5、已知 p<0, q<0，则一元二次方程2x + px + q = 0的根的情况是_____。
6、以方程2x －3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是____________________。
7、设21,x x 是方程22x －6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)221221x x x x + (2)
2111x x - 8、设方程2x +px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求 p , q 的值。
9、 是否存在实数 k ，使关于 x 的方程 92x －(4k －7)x －62k =0 的两个实根21,x x ，满足｜
21x x ｜＝23 ，如果存在，试求出所有满足条件的 k 的值，如果不存在，请说明理由。
10、已知21,x x 是关于 x 的方程 x 2+ px + q = 0的两根，11+x 、12+x 是关于 x 的方程x 2+ qx + p = 0 的 两根，求常数 p 、q 的值。，
韦达定理的运用
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
韦达定理公式介绍及典型例题
?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】 一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根 若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根
【例题】 已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题） 解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．
韦达定理经典例题复习课程
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 .
例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β， 若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
最新初中数学之韦达定理
精品文档 精品文档 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根 12,x x ，那么1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差 （1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422 =--x x 2. 如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 3. 若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 4. 已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += 5. 若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 6. 已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = 7.已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的 倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。 8.关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 9.已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 10.已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（ ） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 11. 若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或2 12.若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －2 5 13.分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）
(完整版)集合练习题及答案-经典
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
韦达定理在初中数学竞赛应用
韦达定理的应用 例1、 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（ ）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题） （A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 14++的值。 （1999年全国初中数学竞赛试题） 例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（ ） （2001年全国初中数学联合竞赛试题） （A ） 59 （B ）95 （C ）52001- （D ）92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n m 1- 的值。 （2000年江苏省初中数学竞赛试题）
例5、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012 ≠-ab 。 求200322)12(a a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题） 练习： 1、 已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ，求 b a a b +的值。 2、 已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ，求 b a a b +的值。 3、 已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ，求 a b b a +。 4、 已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα，求m 的值。 5、 已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根，且 2321=x x ，求m 的值。 6、 关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求αββα+的值。
韦达定理公式
韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程AiX^i=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设mathx_1/math，mathx_2/math是一元二次方程mathax^2+bx+c=0/math的两个解，且不妨令mathx_1 ge x_2/math。根据求根公式，有
mathx_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}/math，mathx_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}/math 所以 mathx_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac/math， mathx_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac/math
一元二次方程之韦达定理
一对一个性化辅导教师授课学案 学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人 本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 教学目标韦达定理 授课内容 教学内容 对于一元二次方程，当判别式△＝ 时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合 性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还 常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程 的两个根，进而分解因式，即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例 做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而 筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
公式法与韦达定理
解一元二次方程（3） 公式法解一元二次方程推导 ax 2+bx+c=0 x 2+x a b +a c =0 x 2+x a b =-a c 2 +x a b +2 2?? ? ??a b =-a c +2 2??? ??a b (x+a b 2)2 =2 244a ac b - x= a b a a c b 2242--± x = 根的判别式(b 2-4ac) 240b ac ->?方程有两个不相等的实数根. 240b ac -=?方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 240b ac -
解：21,2(1),1a b k c k ==-+=- []2 2 2 42(1)41(1)88b ac k k k ∴-=-+-??-=+ 因为方程有实数根，240b ac ∴-≥ 即：880k +≥ 1k ∴≥- 220x x -+=的根的情况是( ). A 、只有一个实数根. B 、有两个相等的实数根. C 、有两个不相等的实数根. D 、没有实数根 m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分） （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根 公式法解一元二次方程 例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤： 解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式： 20ax bx c ++=(0a ≠) 2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值. 224(7)42(3)73b ac ∴-=--??-=>0 ③、求出24b ac -的值. (7)7224 x --±±∴= =? ④、若240b ac -≥，则把,,a b c 及24b ac -的值 代入
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
2021年韦达定理经典例题
一元二次方程根与系数的关系 培优训练 欧阳光明（2021.03.07） 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程 的两个实数根，求△ABC 的周长．
例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求 的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两 实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面 积。
初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用
学科：奥数年级：初三 不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。 思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2 若，且，试求代数式的值。 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m ，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理， 得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方 程。 解 （1）由韦达定理知 ， 。 ， 。 所以，所求方程为 。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 于是，得以下七个方程 ， ， ， ，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
韦达定理应用资料资料全
韦达定理的应用 一、典型例题 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组 解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数 解：①∵∴m>7
②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
初中数学代数复习之韦达定理
代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一）、一元二次方程的根的判断式? 一元二次方程2 0 (0)a x b x c a ++=≠， 用配方法将其变形为： (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ?=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-= 解：(1) 2(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+= 2(12)4490?=- -??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+= 2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 1 41203k k ->?<； (2) 141203k k -=?= ； (3)31 0124≤?≥-k k ； (4) 31 0124>?<-k k ． 【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=， 代入原方程得：22101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： x x == 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 说明：以通常把此定理称为”韦达定理”． 【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂
韦达定理推广的证明.doc
韦达定理推广的证明
证明： 当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程 ax^2+bx+c=0(a≠ 0) 有两个实根 ,设为 x1,x2. 由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取 x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a, 则： x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a] =[(-b)^2-]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a. 综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a. 烽火 TA000DA 2014-11-04 若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根 若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用 的。一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2?,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n) ? ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端 可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得 韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与 系数之间有这种关系，因此，人们把这个关 系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代
数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法 ) 在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个 根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须 射影定理图 掌握的 . 韦达定理推广的证明 设 x1 ，x2 ，??， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。
韦达定理中考真题精练
★中考真题精练 1．（2014·玉林）、是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是（A） A．时成立B．时成立 C．或2时成立D．不存在 2．（2014·呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根、判断正确的是（C） A．，B．， C．，D．与的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为27． 4．（2015·江西）已知一元二次方程的两根是m，n，则= 25． 5．（2014·德州）方程的两个实数根、满足，则k的值为1． 6．（2014·济宁）若一元二次方程的两个根分别是与，则= 4 ． 7．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且，求m的值． （1）证明：△== =． 无论m取何值，，即． ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得，， ∴= =，而， ∴，即， ∴或． 8．已知关于x的方程有两个实数根、． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 解：（1）由已知，得，即 ，∴． （2）∵，∴，∴． 而，， ∴，即， ∴或．而，∴． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，∴．
把代入已知方程，得，化简，得． 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：； （2）己知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y，则，∴． 把代入已知方程，得，∴所求方程为； （2）设所求方程的根为y，则（）， ∴（） 把代入方程，得，∴． 若，有，∴方程有一个根为0，不符合题意，∴． ∴所求方程为（）． 10．（2014?孝感）已知关于x的方程有两个不相等的实数根、． （1）求k的取值范围； （2）试说明，； （3）若抛物线与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且 ，求k的值． 解：（1）由题意，得，即 ，解得． （2）∵，∴， 而，∴，． （3）由题意，不妨设A（，0），B（，0）． ∴OA+OB=， ． ∵，∴， 解得或．而，∴．
韦达定理(常见经典题型)
韦达定理(常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案
①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实
韦达定理经典例题
韦达定理经典例题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求 证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么 例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2 -3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那 么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少 4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程 y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。 6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程 x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。