巧用物理图像“面积”解题实例
巧用物理图像“面积”解题实例分析
正兴学校物理组 林汉中
物理图像能形象地表达物理规律、能直观地叙述物理过程、能鲜明地表达物理量间的依赖关系。在解题中如能充分利用物理图像的“面积”所表示的物理意义来解题，可以使解体过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。
图像在中学物理在应用十分广泛，这是因为它具有如下优点：能形象地表达物理规律、能直观地叙述物理过程、能鲜明地表达物理量间的依赖关系。
在众多物理图像中，图像与坐标轴所围成的“面积”常与某一表示过程的物理量相对应，如能充分利用“面积”的这一特点来解题，不仅思路清晰，而且在很多情况下可以使解体过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。在有些情况下运用解析法可能无能为力，但在图像法中应用面积的特点则会使你豁然开朗。
一、V －t 图像中的“面积”大小表示位移的大小
【例1】如右下图2所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有 ( )
A ． 两球同时落地；
B ．b 球先落地；
C ．两球落地时速率相等 ；
D ．a 球先落地
【解析】在分析运动的全过程中，可由机械能守恒定律判定出两球落地时速率相等。因为b 球运动时间无法用运动学公式求得，所以不能直接比较两球落地时间的大小。但因为两球从顶端到落地过程运动位移相等，根据V －t 图中的“面积”表示位移的大小，可以做出两次运动的V －t 图像(见图3)，由图可知t b ＜t a ，b 球用时比a 球用时少，故应选正确答案为 B 、C 。
二、F －L 图像中的“面积”大小表示做功的多少
【例2】一立方形木块，边长为0.2m ，放在水池中，
恰有一半浮出水面而处于静止状态，现用力将木块慢慢推
至全部浸没水中，在这一过程中必须对木块做多少功?
【解析】将木块全部压入水中，这一过程由于浮力变化，
因而所施的力也是变化的，这是变力做功过程。所施外力
由0随深度线性增大到ρgV －G(式中ρ为水的密度)，由题
意知G ＝ρg 2V ＝40N ，所以ρgV-G ＝2G-G ＝G ，这一段位移为0．1m ，可以写出关系式F
＝ρgSL (0 ≤L ≤0.1m)。做出这一过程的F －L 图像，如右图1示，三角形“面积”即为
变力的功的多少，
即 )(22
401.0J W ＝?= 三、V
1－L 图像中的“面积”大小表示时间的大小 【例3】一只蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比．当蚂蚁爬到距巢中心L 1的A 点处时，速度是V 1。试问蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2的B 点时所需要的时间为多少?
【解析】此题中，蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能运用匀速运动公式求解． 本题若巧妙地采用V 1－L 图像解答，不仅使它的“面积”能够表示运动的时间，而且同时把速度与距离成反比(图线为曲线)转化为速度的倒数与距离成正比(图线为直线)，使原来较复杂的运动求解变得很容易。如图4所示，做出蚂蚁运动的
V 1－L 图像，可知图像
中直线下画有斜线部分的梯形“面积”在数值上就等于所求的时间，
即)(2
111221L L V V t -+
=， 又因为2
2111
1L V L V = 所以11212
22V L L L t -=
四、F －t 图像中的“面积”大小表示冲量的大小
【例4】如图5所示，在光滑的水平面上，有竖直向下（垂直纸面向里）的
匀强磁场分布在宽度为s 的区域内，一个边长为L （L
速度v 0垂直磁场的边界穿过磁场后速度变为v ，没线圈完全进入磁场时的速度为
v ′，则（ ）
A 、v ′>20v v +
B 、v ′=2
0v v + C 、v ′<
20v v + D 、A 、C 均有可能，B 不可能
【解析】线圈在进入磁场的过程中，穿过它的磁通量发生变化，产生感应电流，受安培力作用，而且随着速度减小，安培力逐渐减小，线圈做变减速运动；线圈完全进入磁场后，不再有感应电流，做匀速运动；在线圈离开磁场的过程中，又做变减速运动，可以做出V —t 图像如图6所示，由于线圈长度一定，图中两条曲线和时间轴所围的“面积”是相等的，而其它关系则不能确定。
用牛顿定律、运动学公式、能量关系都不能解决此题，故考虑采用动量定理，线圈运动过程中只受安培力F=BIL=R
v L B 22，由此可以看出，F 与v 的变化规律相对应，即F —t 图应与V —t 图一致，因此F 图线与时间轴所围“面积”即冲量Ｉ也应相等，如图7所示。由以上分析可得：
I １＝I ２
I １＝mv ′－mv 0
I ２=mv －mv ′
则v ′=2
0v v +， 故选项B 正确。
从以上实例分析看到，一些看似很复杂、解题过程较为繁琐的物理习题，通过应用物理图像分析求解，往往可以达到事半功倍的效果。当然，物理图像的应用不仅仅在于“面积”，物理图像包含的物理意义是多方面的，只要我们在平时的解题中多加留意，就会有意想不到的收获。
面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用
平面几何问题的证明——面积法（教案） 教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导 2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学内容： 2002年，张景中院士推出《新概念几何》，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为 1、夹角为α的菱形的面积定义为αsin ，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。 张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。 一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式： 1、设ABC ?中，角C B A ,,所对的边依次为c b a ,,，又a h 为a 边上的高，R 为其外接圆半径，r 为其内切圆半径，)(21c b a p ++= ，则 （1）a ABC ah S 21=?； （2）A bc S ABC sin 21?=?; （3）R abc S ABC 4=?; (4)A C B a S ABC sin 2sin sin 2?=?; (5)rp S ABC =?； (6)))()((c p b p a p p S ABC ---= ?。（海伦公式） 2、在凸四边形ABCD 中，边长分别为d c b a ,,,，两对角线长为,,f e 两对角线夹角θ，且)(2 1d c b a l +++= ，则： （1）θsin 21?=ef S ABCD (2) 2222222)(441d b c a f e S ABCD --+-= (3)))()()((d l c l b l a l S ABCD ----= （当D C B A ,,,四点共圆时） (4)?2cos ))()()((?-----=abcd d l c l b l a l S ABCD ，2D B +=?或2C A +=? 引理1：圆内接四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积 ]1[ ))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=，)(21d c b a p +++= 。
利用函数图像的对称性解题
利用函数图像的对称性解题 【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点,而函数图像是函数性质的一种直观表现。函数图像的对称性,充分体现了数学的对称美,具有很好的数学价值。 【关键词】函数；图像；对称性；辅助函数； 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此我们
可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。 由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，
虚设隐零点 巧解高考题
虚设隐零点 巧解高考题 求解导数压轴题时，很多时候都需要求函数在给定区间上的零点，但经常会碰到函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形．此时，可以将这个零点虚设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这种解题方法为“虚设零点”法．此解题方法类似于解析几何中的“设而不求”. 例1：（2017年全国II ，理21）已知函数()2 ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥. (1)求a ； (2)证明()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 202e f x --<<. 解：(1)1a =； （2）由（1）知 ()2 ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--,1 ()2f x x ''=- ∴()f x '在10, 2?? ???单调递减，在1,2??+∞ ??? 单调递增. 即min 1 ()()ln 2102 f x f ''==-< 又 222(1)0,()0f f e e -''== > ∴201(,)2 x e -?∈使得0()0f x '= 当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，0(,1)x x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ∴()f x 在()()00,,1,x +∞单调递增，在()0,1x 单调递减 即()f x 存在唯一的极大值点0x . 又 000()22ln 0f x x x '=--= ∴00ln 22x x =- 从而 222000000001 1()ln ()2 4 f x x x x x x x x =--=-+=--+ 201 (,)2 x e -∈ ∴ 2011()()()24f e f x f -<<= 而2 22 2 2()()f e e e e ----=+> ∴()2202e f x --<< 评析：当导函数存在零点且无法求出时，可考虑虚设零点0x ，再对0()0f x '=进行合理的变形与代换，将超越式转化为普通式，从而达到化简0()f x 的目的.再根据零点存在性判定定理，得出201 (,)2 x e -∈，并结合0()f x 的单调性即可完成证明. 例2：（2015年全国Ⅰ文科21（2））设函数 ()2e ln x f x a x =-.
《用画图法解决问题》综合练习
用画图法解决问题 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（），它的面积是（）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（），大长方形的宽是（）。 (3)小长方形的长是（），宽是（）。 (4)大长方形的长是（），宽是（）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 4．一块长方形的花布，如果长减少5分米或宽减少3分米，面积都比原来减少45平方分米，原来这块花布的面积是多少平方分米？（先分别在图中画出长减少和宽减少的部分，再解答）
5．植物园有一块空地长85米，宽50米，现进行规划，把这块地的长增加了20米，宽增加到85米，这块地的面积新增了多少平方米？（在下图中画出增加的部分，再解答） 6．光明小学有一块边长8米的正方形草坪，四周有一个宽1米的花圃，在花圃里栽牡丹花，每棵占地1平方米，一共要栽多少棵？（先在图上画一画，再解答） 7. 人民剧场原来有座位40排，每排28个座位。扩建后，增加了5排，每排增加了4个座位，扩建后比原来多坐多少人？ 8. 一个正方形，如果它的边长增加5米，所形成的的正方形比原来正方形的面积多95平方米，原来正方形的边长是多少米？（先画出示意图，再解答）
参考答案 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（5米），它的面积是（25平方米）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（10平方米），大长方形的宽是（5米）。 (3)小长方形的长是（5米），宽是（2米）。 (4)大长方形的长是（7米），宽是（ 5米）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 20－15＝5（米） 15×5＝75（平方米） 答：剩余部分的面积是75平方米。 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 示意图： 长方形的宽：50÷5＝10（米）；长方形的长：60÷3＝20（米） 长方形菜地的面积：20×10＝200（平方米）
八年级数学面积法解题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。 F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??=
高中物理位移图像和速度图像的意义及应用
位移图像和速度图像的意义及应用 陕西 三原 王春生 高考十分重视对物理图像的考查。 近年来对质点运动图像的考查力度明显加强， 既有单 独命题，又有综合命题；既有定性分析、判断、简单推理的问题，又有定量 计算或作图的问题。运动图像是表达物体运动规律的直观手段，也是解决有关运动 学问题的重要途径和方法。运用它不仅可达化繁为简、化难为易之目的，而且能收 到事半而功倍之效，还能快速提升解题能力水平。 【实例解析】 1. （2020·宁夏）甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动， t ＝0时刻 同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的 v － t 图中（如图），直线 a 、 b 分别描述了甲乙两车在 0－20 s 的运动情况 说 法正确的是 在 0－10 s 内两车逐渐靠近 B ．在 10－20 s 内两车逐渐远离 C ．在 5－15 s 内两车的位移相等 D ．在 t ＝ 10 s 时两车在公路上相遇 [解析] 此题属于追及问题。由图知：甲做匀速直线运动，乙做匀减速直线运动， 在前 10S 内 V 甲＜V 乙，乙位于甲的前方且两者间距逐渐增大；在 t=10S 时，两者速度 相等，间距最大； 10S 之后 V 甲＞V 乙, 两者间距逐渐减小 [ 答案 ]C 2. （2020·上海·物理）固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小 环，小环在沿杆方向的推力 F 作用下向上运 与小 环速度 v 随时间变化规律如图 F 示，取重力加速度 g ＝ 10m/s 2 。 求： 1）小环的质量 m ； A ． 列 F
2）细杆与地面间的倾角 [ 解析] 該题实质为牛顿运动定律的基本应用题型（已知运动求解力），其特点是以速度图像的形式呈现出物体的运动信息。 v2 由图知前2S小环做初速为零的匀加速运动，其加速度a＝t＝0.5m/s 2， 再依据牛顿第二定律得 F1－mg sin ＝ma??① 2s 后小环做匀速运动，依据共点力的平衡条件得：F2＝mg sin ??②联立①②两式并代入a 即得所求。 [ 答案]m＝1kg，＝30 。 【小结】高考对运动图像的考查问题可分为两类。一类题目给出物体的受力、运动情况，求作位移、速度等图像或从所给图像中作出选择，有的还需要据所作图像解答相关问题；另一类题目则直接给出位移或速度图像，要求对物体的运动情况做出分析并回答或解答相关问题。 解决第一类问题的关键是要抓住物体的运动特征，解决第二类问题的关键是要抓住图线特征，要准确把握点、线、面、斜率、交点、截距的物理含义，并注意与运动过程、状态的对应关系。 对于第一类题目，应依据运动规律先建立函数关系式（数学模型），再据所学解析几何知识确定图线的类型或变化趋向或依据实验数据描点（常用十字点）、连线，必要时再结合所作图像解答相关问题。对于第二类问题，一般应着眼于图线的特征，对物体的运动性质先做出判断，弄清其运动特征，其次要注意图像反映的物理量与其它物理量的联系，如速度与动能、动量的关系；加速度与合外力的关系，位移、合外力与功的关系，时间、合外力与冲量的关系等。【注意事项】运动图像问题是常见题型，解答此类问题时要特别注意纵轴表示的是 位移还是速度，其次要注意图线是直线还是曲线，位移图像中的“直线”表示物体做匀速运动或保持静止；“曲线”表示物体做变速运动；速度图像中的“直线”表示
巧用二次函数图象的对称性解题解析
巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式 来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的
交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。
在三角形中巧用面积法解题
在三角形中巧用面积法解题 所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 例2 在A B C 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。 D F C B E A 。 小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。 二、利用面积的可比性解题 例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得A B C 的面积为 。 D C B A 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角 ABC ，P 为A B C 内一点，过 P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥ 的高为h.试说明P D P E P F h ++=。
A B C D P F E 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。 现提供部分习题供同学们练习： 1、如图，已知A B C 和B D C ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。 D B A O C S4 S3 S1 S2 2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S A O B =6,S C O D =1,试求S A O D 与S B O C 的面积比。 D A C B O 3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？ B C 4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。
初二数学-面积法解题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。
F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??= ③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB 故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE 同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF ∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点 求证：S S ADM ABCD ?= 1 2 分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h A B S S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ???=+= ?=121 2 证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为h MN DC AB = +2 则S MN h ABCD =? 又 S S S MN h AMD AMN MND ???=+= ?1 2
如何认识位移时间和速度时间图像
如何认识s-t 、v-t 图象 首先，用s-t和v-t所描述的运动都是直线运动，因为当物体做曲线运动时，位移方向和速度方向都在不停的发生着变化，不可能仅用正、负表示所有的方向，所以不能画出s-t和v-t图象。 那么怎么认识和应用s-t和v-t图像呢？ 认识s-t图像要从位置、运动情况、运动快慢三个方面来认识 1、图像位于时间轴的上方，说明物体是在参考点正方 向上，位于时间轴的下方，说明物体是位于参考点负方向上。 如图1所示，A、B两点表示在第1s和第2s末，物体位 于参考点正方向4m和2m处，而C、D两点表示在第5s和第 6s末，物体位于参考点负方向5m和6m处。大家思考一下， 计时开始时，物体在什么位置？ 2、平行于时间轴或和时间轴重合的图像表示物体静止 如图2所示，A表示物体始终静止在参考点处，B表示 物体始终静止在参考点正方向2m处，而C表示物体始终静 止在参考点负方向6m处。 3、在s-t图像中表现为一条斜线，则说明物体是作匀 速直线运动。 如图3所示，A、B、C、D四条斜线都表示物体在做匀速直线运动。 4、s-t图像靠近时间轴的运动是向着参考点运动。 从正方向靠近时间轴，是朝负方向运动靠近参考点，从 负方向靠近时间轴是朝正方向运动靠近参考点；s-t图 像远离时间轴是背离参考点运动，在时间轴上方远离时 间轴的图像是朝正方向背离参考点运动，在时间轴下方
远离时间轴的图像是朝负方向背离参考点运动。 如图3所示，A图像是在时间轴上方远离时间轴，因此是从参考点正方向上某一点朝向正方向运动；B图像从正方向靠近时间轴，因此它是从参考点正方向上某一点朝负方向运动靠近参考点、C图像从负方向靠近时间轴，因此它是从参考点负方向上某一点向正方向运动靠近参考点，然后再经参考点向正方向运动。D图像是从参考点向负方向运动远离参考点。它们都表示物体在做匀速直线运动。 5、斜线的斜率越大，表示物体运动的速度越大。 如图4所示，A、B、C三个图像都表示物体在做匀速 直线运动，大家可以思考一下它们各自做什么样的运动， 但就A、B、C三个图像，它们的速度谁大谁小呢，从图上 可以看出，它们在相同时间内产生的位移是C最大，B居 中，A最小，所以V C>V B>V A，这一点也可以从图象的斜率 上看出来 在s-t图像中还要注意交点的物理含义，它表示在这一时刻，所表示的几个物体是处于同一位置上。 认识v-t图像要从运动情况、运动快慢、速度变化快慢、位移四个方面来认识 首先说明一点，v-t图像中不可能给出物体运动的 初始位置，这要从题义上去寻找。 1、和时间轴重合的图像表示物体静止，如图5 所示，和时间轴重合的图象说明物体的速度等于零， 表示物体是静止的，但静止在什么位置，这是图象所 不能表示的。
函数图象解题方法与技巧
对于二次函数y=a(x-h)2 +k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=x k (k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m 个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2 +k±m ，y=kx+b±m ，y=x k ±m ；若将它们的函数图象向左(或右)平移n 个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n) 2+k ，y=( x±n)+b ，y=n x ±1。简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。 一、求平移后的解析式 例1把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是( )。 (A) y=3(x+3) 2-2 (B) y=3(x+3) 2+2 (C) y=3(x-3) 2-2 (D) y=3(x-3) 2+2 提示：根据法则，选 (D) 例2 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k 、b 为常数，k≠0,b>0)可以看成将直线y=kx 沿y 轴向上平行移动b 个单位面得到，那么将直线y=kx 沿x 轴向右平行移动m 个单位(m>0)得到的直线方程是 。 提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km 二、求平移前的解析式 例3，把抛手线y=x2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有( )。 (A) b=3,c=7 (B) b= -9, c= -15 (C) b=3, c=3 (D) b= -9, c=21 分析：本题若先将y=x 2+bx+c 化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x 2-3x+5［顶点式为y=(x-23)2+411 ］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-23+3)2+411+2，化简得y=x 2+3x+7。选(A) 三、求满足某些条件的平移 例4 把抛物线y= -3(x-1)2向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴交于A(x 1,0)、(x 2,0)两点，已知x12+x22=926，则平移后的抛物线解析式为 。 分析：根据法则，平移后的解析式为：y= -3(x - 1)2+k ，即y= -3x 2+6x+k-3。 由x12+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=926，得(36)2 -2×3)3(--k =926，∴k=34。 ∴y= -3(x -1) 2 +34， 即y= -3x 2 +6x -35。 四、求过定点的平移 例5函数y=3x+1的图象沿x 轴正方向平行移动 年单位，使它过点(1，-1)。 分析：将函数y=3x+1的图象沿x 轴正方向平移m 个单位，可以看作向右平移m 个单位，根据法则， 平移后的解析式为y=3(x-m)+1，由平移后的图象过点(1，-1)可得m=35。 五、求平移后的函数图象 例6 (2001，宿迁)函数图象y=11-x +1的图象是( ) 。
在三角形中巧用面积法解题
.在三角形中巧用面积法解题
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专题：在三角形中巧用面积法解题 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 。例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。 F E D C B A O 25 35 30 40 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。 A B C D P F E
高中数学函数解题技巧与方法
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
2019年高中数学虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用含解析答案
在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的， 我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们 用的好像都是同一个方法-- 虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理， 【反思：有的学生提出，我们很容易就观察得到了 h (0) = f '(0) = 0 .但是，对于 谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用 ------以 2019 年几道模拟题为例 顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题． 一、【2019 合肥一模理科 21】二、【2019 顺德三模理科 21】 三、【2019 佛山 3 月统考（北京燕博园）理科 21】四、【2019 广州一模理科 21】 五、【2019 广东模拟理科 21】六、【2018 广州二模理科 21】七、【2013 全国二卷理科 21】 一、【2019 合肥一模理科 21】 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = e x - ln(x +1) ( e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间； (Ⅱ)若 g (x ) = f (x ) - ax ， a ∈ R ，试求函数 g (x ) 极小值的最大值． 解析：(Ⅰ)易知 x > -1 ，且 f '(x ) = e x - 1 . x +1 【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】 令 h (x ) = e x - 1 x +1 ，则 h '(x ) = e x + 1 (x +1)2 > 0 ， 【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于 0,说明一阶导数递增】 ∴函数 h (x ) = e x - 1 x +1 在 x ∈(-1，+ ∞) 上单调递增，且 h (0) = f '(0) = 0 . 【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】 可 知，当 x ∈(-1, 0) 时， h (x ) = f '(x ) < 0 ， f (x ) = e x - ln(x +1) 单调递减； 当 x ∈(0, +∞) 时， h (x ) = f '(x ) > 0 ， f (x ) = e x - ln(x +1) 单调递增. ∴函数 f (x ) 的单调递减区间是(-1, 0) ，单调递增区间是(0, +∞) .
专题27 面积法
专题27 面积法 阅读与思考 平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角． 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快． 用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法： （1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题． 例题与求解 【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手． 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？ D E F A B C P 【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝0 90，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的 5 2 ，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3 解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决． E F A O B D C
【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC . （长春市竞赛试题） 解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口． G D B C A F E 【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F . 求证：（1） 1=++CF PF BE PE AD PD ； （2） 2=++CF PC BE PB AD PA . （南京市竞赛试题） 解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段. E P B A C D F 【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且 1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DP CD DF BD DE AD ??的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值. （黄冈市竞赛试题） F D A B C E P
2013年中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题
解题方法及提分突破训练：面积法专题 ，那么点B′的坐标是（） A. (-2,3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2，-3) 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．Array 4.（2012?潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状
二名词释义 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容： （一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据 1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 1 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的 4 1 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的 4 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）用面积法解几何问题（常用的解题思路） 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题。 三典题示例 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等
拓展---函数图像解题技巧
《函数及其图象》解题技巧 【考点聚焦】 函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识． 函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体． 在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的． 【热点透视】 热点1:通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系 【例1】(1)点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________． (2)若反比例函数k y x =的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为_____． 【分析】(1)将点(24)，代入2y kx =+．(2)将点的坐标直接代入可以求出k 值． 【解】(1)1k =；(2)2y x =-． 【小结】直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查． 热点2:重视对函数图象及性质的考查 【例2】(1)均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是( ) (2)星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y (千米)与时间x (分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( ) (A)小王去时的速度大于回家的速度 (B)小王在朋友家停留了10分钟 (C)小王去时所花的时间少于回家所花的时间 (D)小王去时走上坡路，回家时走下坡路