分析力学习题精选.

第15章虚位移原理

解题的一般步骤及应注意的问题

１．解题的一般步骤

（１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题

①求平衡条件；

②求约束反力；

③求桁架内力。

（2）分析约束的性质, 画主动力的受力图.

①系统以外的物体对它的作用力；

②非理想约束的约束反力；

③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。

（3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐标。

（4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：

①几何法：运用运动学中分析速度的方法，进行计算。

②分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。

（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。

2.应注意的问题

1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。

2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。

3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。

三、典型例题分析

例1 图示曲柄连杆机构, 在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡, 试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a, AB=b, 在图示位置AB与水平线的夹角α=30o

解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δ?，则Ａ点虚位移为δr A, B点虚位移为δr B, AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δψ, 机构的虚位移如图。

根据虚位移原理得：

Ｐδr B－Ｍδ?＝０（１）

3

r , A B δ?δδδψδδψδ?δa AC BC r BC r AC a r B A ==∴===Θ

代入（１）式得：03

=-δ?δ?M a P

a

M P 30=

∴≠δ?Θ 15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。作用线平分ABC ∠。设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有

)902cos(δ)90cos(δ?-=-?θθB C r r

即 θ

cos 21

δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ

θ

sin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2

N F

F =

15-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。当?==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。

解：由虚功原理： 0δδcos 1=-??θM r F A （1） 式中

a

r B

δδ=

? （2）

A 、

B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =

2tan δδθB A r r =

（3）

式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=?-??a

r M r F B

B θθ

Fa M Fa M 2

1,sin ,30221=

=?==θθθ 15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。求机构平衡时F 2与F 1的关系。

解：用解析法解，选取?为广义坐标，则滑块A 的约束方程

?tan l y A =

??δsec δ2

l y A = （1）

由虚位称原理

0δδ)(21=+-A y F a F ? （2）

把式（1）代入（2）得 0δsec δ2

21=+-???l F a F

因 0δ≠?，于是有 0sec 2

21=+-?l F a F

故 ?

221cos a l F F =

15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知?=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M ？ 解：解除弹簧约束，代之以弹性力F 及F '。

已知0=θ时弹簧原长为0.3 m ，在任意θ角时，弹簧)cos 3

.06.0(θ

-=-=AD AB DB ，此时弹簧的缩短量为)3.0cos 3

.0(3.0-=-θ

DB 。 故弹性力 F F '=)3.0cos 3

.0(

-=θ

k 取x 轴沿AB 杆，设D 点沿杆的坐标为x D ，而选取θ为广义坐标，则滑块D 的约束方程为

θcos 3.0=

D x ，θθ

θ

δcos sin 3.0δ2=D x 另外有 x B = 常量，0δ=B x

由虚位移原理

0δδ)(=+-θM x F D 把F 及D x δ的表达式代入上式得

0δδcos sin 3.0)3.0cos 3.0(2=+?--θθθ

θθM k

θ

θ

θ2

cos sin 3.0)1cos 1(3.0?-?=k M 把k = 5000 N/m 代入求得 m N cos )

cos 1(sin 4503?-=θ

θθM

15-9 在图示机构中，曲柄AB 和连杆BC 为均质杆，具有相同的长度和重量W 1。滑块C 的重量为W 2，可沿倾角为θ的导轨AD 滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡位置。

解：取?为广义坐标，另作坐标系Axy ，设AB = BC = l 因 )sin(2

1?θ+=

l

y

θ

?θθ?θ?θ?θsin cos 2sin )

(2

sin cos 2)sin(2sin 2l AC y l

l l AC y C ==-+=-+= 对坐标的变分：

?

θ??

θ?θ??

?θδsin sin 2δδ)cos(2sin sin 2δδ)cos(2

δ21l -y l l y l

y C =??

?

???-+-=+=

由虚位移原理

0δδδ22111=++C y W y W y W 即 0δsin sin 2)cos(2sin sin 2)cos(221=?

?????

-???

???-+

-+?θ?θ?θ??θl W l l l W 因0δ≠?，故有

0sin sin 2)cos(2sin sin 2)cos(221=-??

?

???-+-+θ?θ?θ??θl W l l l W

即

1cot cot 2

1

sin sin 2sin sin 2cos cos 12-=-=?θ?θ?θ?θW W 故 θ?cot )

(2tan 211

W W W +=

15-11 图示均质杆AB 长为2l ，一端靠在光滑的铅直墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE 上。欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置，问曲面的曲线DE 的形式应是怎样的？ 解：作坐标系Dxy ，由于杆AB 只受主动力W 作用，根据虚位移原理 0δ=C y W 0≠W 0δ=C y ，故

y C = 常量

杆在铅直位置时y C 0 = l ， y C = l 杆在任意位置时y C = y A + l cos ?， 即 ?cos l y l A +=

?

?sin 2)cos 1(l x l y A A =-=

消去?得DE 曲线方程

1)(42

2

22

=-+l y l l x A A 由方程知 ，DE 曲线为中心在（0，l ）长短半轴分别为2l 和l 的椭圆的一部分。如坐标系Dxy 向上平移l 距离，则DE 曲线方程与书中答案一致。

15-13 半径为R 的滚子放在粗糙水平面上，连杆AB 的两端分别与轮缘上的A 点和滑块B 铰接。现在滚子上施加矩为M 的力偶，在滑块上施加力F ，使系统于图示位置处平衡。设力F 为已知，忽略滚动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩M 以及滚子与地面间的摩擦力F s 。 解：作功力M ，F ，虚功方程为：

0δ2δ=-B A

s F R

s M

A s δ，

B s δ向AB 投影： ?=45cos δδB A s s

0δ)2/(δ2

2

=-?

B B s F

R s M M = 2RF 0=∑

x F

， F s = F

15-15 试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。 解：将BD 杆解除代之以力F 及F '。

令C 点有虚位移C r δ，则B 点必有虚位移B r δ D 点必有虚位移D r δ，如图（a ）。

由虚位移原理

0δ90cos δδP =-?'+D D B r F r F r F 即

P

δδF F r r B D = （1）

由图（a ）可见，ACD 框的转轴在A 点， CB 杆的瞬心在E 点 故 AC AD

r r C D =δδ 及

EB

EC

r r B C =δδ 所以 16363

66δδδδδδ2

222=+?+=?=B C C D B D r r r r r r （2）

由式（1）、（2）得 P F F F ='=（拉力）

例15-4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆OA 的质量为m 1，它可绕端点O 转动，另一端装有质量为m 2，半径为r 的均质小齿轮，小齿轮沿半为R 的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M 的作用时，试求系杆的角加速度。

图15-4

【解】 机构具有一个自由度，选系杆的转角φ为广义坐标。设系杆对O 轴的转动惯量为

J O ，小齿轮对其质心A 的转动惯量为J A ，小齿轮的绝对角速度为，则A 点的速度为

小齿轮的角速度

系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即

与广义坐标对应的广义力

将上两式代入拉氏方程

例题2 三铰拱如图所示,求支座B 的约束反力。

解: (1)求支座B 的铅垂反力, 解除支座B 的铅垂约束,代之约束反力Y B ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC 绕A 定轴转动, BC 做平面运动, 瞬心为A, 画虚位移图如图。

利用虚位移图，δr C =(AC )δθ1 =(AC )δθ2

δθ1 = δθ2 = δθ 利用虚位移图计算虚功 δW (m ) = m δθ1

δW (P ) = aP δθ2

由虚位移原理，m δθ+ aP δθ -2aY B δθ = 0

C

A

B m

P

a

a

a 2

2P a m Y B +=

(2)求支座B 的水平反力, 解除支座B 的水平约束, 代之约束反力X B ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC 绕A 定轴转动,

BC 做平面运动, 瞬心为I , 画虚位移图如图。 利用虚位移图得:

δr C = (AC ) δθ1 = (IC )

δθ1 = δθ2 = δθ 利用虚位移图计算虚功 δW (m ) = m δθ1 δW (P ) = aP δθ2 δW (X B ) = 2aX B δθ2 由虚位移原理得:

m δθ1+

aP δθ2+2aX B δθ2=0

例题=15kN, M =40kN?m,求固定端支座A

2

2P a m Y B +

= P

2

2P a m X B --

=P

M A =7.685kN ?m

(2)求固定端支座A 的水平反力, 解除固定端约束,代之以水平反力X A 和滑块A , 该滑块固结

于A 端， 只能水平方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有X A 、M 、P 1、P 2以及均布荷载的合力Q 。该系统有一个自由度: AB 做平动, CD 做定轴转动，BC 做平面运动，瞬心为I 。

画虚位移图如图。由虚位移图得：δr A =δ

BI=8，

A

A

r CD IC r δδθδθδδθ

18121===

由虚位移原理得:

解: (1)求固定端支座A 的反力偶, 解除固定端约束,代之反力偶M A 和固定铰支座A , 如图所示, 作用在系统上的主动力有M A 、M 、P 1、P 2以及均布荷载的合力Q 。该系统有一个自由度: AC 绕A 定轴转动, BC 做平面运动, 瞬心为I , 画虚位移图如图。 δr B =(AB )δθ1 =(BI )δθ2 δθ2 =

BI

AB

δθ1=1.25δθ1 δW (M ) = M δθ3 利用虚位移图得: δW (P 1) = -2P 1δθ1 δW (M A ) = M A δθ1 δW (P 2) = -P 2?

2.123?δW (Q ) =-Q ?1δθ1

由虚位移原理得: M A δθ1+ M δθ3-2P 1δθ1+(-P 22.123?δθ2+ P 2?6.12

1

?δθ2)-Q δθ1=0 δr C =(IC )δθ2=(CD )δθ3

02

1

22321212=-??-??

-?+?δθδθδθδδM BI P P rA Q rA X A

02

232

1=

--A

A A A r P r P r Y δδδ

例4 求图示桁架1、２杆的内力。

δW (S 1) = - 0.87aS 1δθ1 δW (P

) = - aP δθ1 δW (P ) = -2aP δθ1 δW (S 2) = - 0.87aS 2δθ2 由虚位移原理得:

0.87aS δθ1 - aP δθ1 - 2aP δθ1

S 1 = 1.15P

Y A = 16.495kN

由虚位移原理得:

解：(1) 求1杆的内力S 1，解除1杆，用内力S 1和S '1代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P 、P 、S 1和S '1。该系统有一个自由度: ADEFG 做定轴转动, BFH 做平面运动， 瞬心在B 点。

画虚位移图如图。利用虚位移图得: (3)求固定端支座A 的铅直方向的反力Y A , 解除固定端约束,代之以铅直反力Y A 和滑块A , 该滑块固结于A 端， 只能铅直方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有Y A 、M 、P 1、P 2以及均布荷载的合力Q 。该系统有一个自由度: AB 做平动, BC 做平面运动， 瞬心在C 点。CD 不动。 画虚位移图如图。 解得：X A =17.547kN δδr F =2a δθ1 = a δθ2 2δθ1

= δθ

2

利用虚位移图计算虚功

利用虚位移图得:

S G = S F = S =s2=0

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02

3

33311=δθ+

δθ-δθ+δθF G aS aP aS aP 1

3)(δθ=δG G aS S W (2) 求2杆的内力S 2，解除2杆，用内力S 2和S '2代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P 、P 、S 2和S '2。该系统有一个自由度: ADEG 做定轴转动, BFH 做平面运动，瞬心在B 点（因为B 点的速度沿水平方向， EF 做平面运动，F 点的速度等于随E 点平动的速度和绕E 点转动的速度，而这两个分速度均沿铅直方向， 所以F 点的速度沿铅直方向，由此可定出BFH 部分的瞬心在B 点）。GH 做平面运动，瞬心在I 1点，EF 做平面运动， 瞬心在I 2点。画虚位移图如图。

δr G =AG δθ1 =I 1G δθ2 δr H =I 1H δθ2=BH δθ3

δθ1 = δθ3

利用虚位移图计算虚功δW (P ) =aP δθ1 δW (P ) = - aP δθ3

32

3

)(δθ=

δF F aS S W