数学建模例题之电梯问题.(优选)

某教学和办公大楼有十一层高,教室安排在1到7层,办公室都安排在8,9,10,11层上,假设学生上课每层有300人，办公人员都乘电梯上楼,每层有60人办公,现有二台电梯A、B可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间是10秒，每层电梯的最大的容量是10人。为简单起见，假设早晨7：30-8：00以前学生和办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯，当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。问：

1：把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？

2：怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？

为简单起见，现作如下假设：

1.早晨8点以前办公人员已陆续到达最底层。

2.每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内（10秒）办公人员能完成出入电梯。其余时间，如电梯开关门的时间则忽略不记。

3.当电梯下降时，没有人员在其中，电梯直接从原目标层回到最底层。

4.电梯是匀速运行的，启动、停止时的加速度忽略不记。

5.当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。

6.电梯只能运送目标层在工作区间内的员工，而不能运送其他员工，即使它已经处在待命状态。

2. 变量说明

Tk 电梯在一种模式下完成工作的耗时（k=1， (6)

a 电梯在底层停顿的时间

b 电梯在每层（除底层）停靠所需要的时间

p 电梯运行的最高目标层

m 各层需要运送的人数

n 电梯的单位运输能力

v 电梯的运行速度

3. 对问题的枚举式分析

3.1.1 先假设只有一台电梯在工作。

CASE 1 如果在电梯一次运行过程中，每一层的人员均含两名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：

Ta=30*(20+2*3*10+5*10)=3900秒=65分钟

CASE 2 如果在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：

Tb=∑6*[20+2*3*(n-1)+10]=2340秒=39分钟

3.1.2 假设三台电梯工作模式完全相同(即A、B、C三台同升同降，同开同关)。

那么，在3.1.1的CASE 1下，Tc=3900/3=1300秒=21.67分钟；在3.1.1的CASE 2下，Td=2340/3=780秒=13分钟。

3.1.3 假设A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工。

CASE 1 假设在电梯A、B一次运行过程中，每一层的人员均含五名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：

Te=12*(20+2*3*9+20)=1128秒=18.8分钟

说明：由于电梯并行，事实上，A在此情况下运行时间为984秒（16.4分钟），C运行的时间是540秒（9分钟），这里的T5指的是电梯群在该工作模式下的最长耗时。

CASE 2 假设在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：

Tf=6*[(20+2*3*8+10)+(20+2*3*9+10)]=972秒=16.2分钟

说明：同样，这是算的B的最大耗时，A、C在此种模式下分别工作828秒（13.8分钟）和540秒（9分钟）。

4．对问题的总结

用户对电梯运行的满意度包括生理和心理两方面的满意[2]。生理满意一般包括：电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适，在电梯运行途中尽量少的停顿次数。心理满意包括：

尽量短的等待时间，尽量短的乘电梯的时间。因此，需要在用户的生理满意和心理满意找到平衡点，得到最佳满意度。

而原问题中已经给出了电梯运行的速度，且本文已经忽略了电梯启动、暂停时的加速度，所以本文只需要关心电梯的运行方案，使用户在底层等待时间尽量少、在乘电梯途中尽量少暂停即符合要求。

在上述第三部分中，通过比较，我们可以发现在三台电梯同时运行时，分层停靠综合起来要比层层停靠综合起来节省时间（将一种工作模式下CASE 1与CASE 2所需要的时间相加后比较）。文献[1]给出了分组停靠节省时间的完整证明。由此可知：当每一组电梯所停的站连在一起时，能够得到最短等待时间，即为最优方案。

由此我们得到电梯在分组运行过程中将每一层的员工完全运送完毕所需时间的表达式：

Tk=m *[a+2v*(p-1)+b*(p-6)]/n

由此，我们可以知道问题1“把这些人送到相应办公楼层，要用多少时间”的答案就是第三部分的任意结果。

问题2“怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少”的答案是

3.1.2的Td=13分钟或者3.1.3的Tf=16.2分钟。

问题3“给出一种具体实用的电梯运行方案”的方案是3.1.3的方案：A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工，且在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公。

4. 5.对问题的反思

在求解问题时，本文做了太多的约束，使得问题趋于简单。但实际生活中，不可能在电梯的一趟运行过程中，所有人员都是同一目标层；在某电梯将特定组的人员运送完毕以后，其可以继续协同运送其他层的员工。这也就是为什么本文对第2问存在两个答案的原因。

因为笔者认为：从严格的按制运行过程中，本题的正确答案确实是13分钟，确实是只要求三台电梯同升同降且电梯里的员工都在同一层办公即可。但如果当层数增加、电梯内人员不在同一层工作、电梯组数也增加时，相应的3.1.3的方法才是更加可行的

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