角动量题目
1. 如图，劲度系数3
k=的弹簧一端O固定，另一端有质量 2.0kg
m=的质点。
质点绕O点在光滑水平面内做匀速圆周运动，总机械能为
012J
E=。突然沿径
向给质点一击，使之获得沿径向向外的速度
01.0m/s
r
v=。设弹簧的原长很小，可以忽略不计。
（1）试用能量曲线()
E r
:描述质点受打击前后的运动状态。
（2）试求质点运动的半径范围。
2. 如图，地球沿半径为
R的圆轨道绕太阳运动。彗星绕太阳沿抛物线运动。已知抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交。忽略地球与彗星之间的引力。试求：（1）彗星抛物线方程。
（2）彗星的最大速率是地球公转速率的几倍？
（3）彗星在地球轨道内运动时间是多少地球年？
3. 一人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地心是椭圆的一个焦点，在直角坐标系
中，椭圆的轨迹方程为
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴，为
已知常数．当该人造卫星在轨道的远地点时，突然以很大的能量沿卫星运行方
向从卫星上发射出一个质量为m的太空探测器，这探测器在地球引力作用下做双曲线运动，此双曲线的焦点位于地心，实半轴的长度正好等于原来椭圆远地点到地心的距离．试问在发射时，给探测器的能量为多大?设地球的质量m E、万有引力常量G为已知，不计地球以外星体的影响．
动量与角动量习题解答
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对
第04章__动量和角动量补充
1、如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的 角速度 在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往 下拉．则物体 (A) 动能不变，动量改变． (B) 动量不变，动能改变． (C) 角动量不变，动量不变． (D) 角动量改变，动量改变． (E) 角动量不变，动能、动量都改变．［ E ］ 难度：易 2、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是R A和R B．设卫星对应的角动量分别是L A、L B，动能分别是E KA、E KB，则应有 (A) L B > L A，E KA > E KB． (B) L B > L A，E KA = E KB． (C) L B = L A，E KA = E KB． (D) L B < L A，E KA = E KB． (E) L B = L A，E KA < E KB． ［ E ］ 难度：中 3、假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒． (C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒． (E) 角动量守恒，动量也守恒． ［ A ］ 难度：易 4、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则这种情况下一定守恒的物理量是： (A) 动量． (B) 角动量． (C) 机械能． ［ A ］ 难度：易 5、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中正确的是： (A) 在圆轨道的各点上它的速度相等．
(B ) 在圆轨道的各点上它受的力相等． (C) 在圆轨道的各点上它的动量相等． (D) 在圆轨道的各点上它对圆心的角动量相等． ［ D ］ 难度：易 6、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中错误的是： (A) 在圆轨道的各点上它受的力不相等． (B) 在圆轨道的各点上它的动量不相等． (C) 在圆轨道的各点上它的速度不相等． (D) 在圆轨道的各点上它的动能不相等． ［ D ］ 难度：易 7、一单摆，在摆动过程中，若不计空气阻力，则： (A) 摆球的动能守恒． (B) 摆球对悬点的角动量守恒． (C) 摆球的动量守恒． (D) 摆球的机械能守恒． ［ D ］ 难度：易 8、一物体质量为10 kg，在力F＝3＋4t(SI)作用下从静止开始作直线运动，则3s末物体速度的大小： (A) 1.8m/s．(B) 2.7m/s． (C) 3.6m/s．(D) 4.5m/s． ［ B ］ 难度：中9、足球运动员用头顶球，球的质量约为0.5kg，迎面飞来的球的速率为5m/s，顶回的速率为4m/s，若运动员与球接触的时间为0.25s，那么，运动员头部受到的平均冲力大小为： (A) 1 N．(B) 2 N． (C) 9 N．(D) 18 N． ［ D ］ 难度：中
5.3角动量例题
5.3角动量例题 例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆 的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点 以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以 O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌 面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可 伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为 L/2，A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲 击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时 的速度 例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半 径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有 一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的 中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪断 后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？
冲量 动量与角动量
冲量 动量与角动量 3-1-1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上 运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率 向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回， B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向 右运动，如图．则A 和B 的质量分别为 (A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg (C) m A =3 kg , m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］ 3-1-2. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 (A) 9 N·s . (B) -9 N·s ． (C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］ 3-1-3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等． (D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 3-1-4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． 3-1-5. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 3-1-6. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上， 如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运
角动量习题
第五章 角动量 习题 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 439km =近，远地点d 2384km =远，地球半径R 6370km =地，求卫星在近地点和远地点的速度之比. [解 答] 卫星所受的引力对O 点力矩为零，卫星对O 点角动量守恒。 r m =r m νν远远近近 2384+6370 1.29439+6370d +R r r d +R νν====远近远地远近近地 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着一条由??r =acos ti bsin tj ωω+定义的空间 曲线运动，其中a,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. [解 答] 2222????????()r =acos ti bsin tj a sin ti b cos tj a =-a cos ti b sin tj acos ti bsin tj r ωωνωωωωωωωωωωωω+=-+-=-+=- 2F m r ω=-，通过原点0τ=。 5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场??2F =(3t -4t)i +(12t -6)j 中运动，其中t 是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩. [解 答]
已知，m=1kg 有牛顿第二定律 F ma = 1??a F m 2(3t -4t)i +(12t -6)j = = 0d a ,t 0,0 dt νν=== t t 322??d adt dt ??=(t 2t )(6t 6t)2(3t -4t)i +(12t -6)j i j ν νν∴==-+-??? 同理由 ,t 0,0dr r dt ν= == t 3220 ??d [(t 2t )(6t 6t)]dt r r i j =-+-? ? ??423212r =(t -t )i +(2t -3t )j 43 ????4t =2:r =i 4j,F =4i 18j 3-++ 0????M r F ()()4i 4j 4i 18j 3=?=-+?+ x y y y x x x y y x x y ??? i j k ???A B A A A (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k B B B z z z z z z ?==-+-+- 0??? i j k 4?M 4 040k 3 4 18 0 =-=- 5.1.4 地球质量为24 6.010kg ?，地球与太阳相距6 14910km ?，视地球为 质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量. [解 答] 2L rm mr , 2(rar/s) 365243600νωπ ω===?? 将 624r 14910km,m 6.010kg =?=?代入上式得 402L 2.6510kg m /s =??
2021年力矩与角动量的关系
在物理学里，作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，[1]称为力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。 欧阳光明（2021.03.07） 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用 力。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。
其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的 是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒 没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 若物体(或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统)的角动量守恒. 例如静电力或万有引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律. 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。例如，当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行
大学物理动量与角动量练习题与答案
大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R
动量与角动量
动量、角动量 一．选择题： 1．动能为E k 的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的二倍，m B A m 2=。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ）E k （Ｂ）k E 21 （Ｃ）k E 31 （Ｄ）k E 32 [ ] ２．质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为v 的 匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m v (B)-2m v (C)i mv 2 (D) i mv 2- [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为m A 和m B ，且A B m m 2=，两者用一轻弹簧连 接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比E kA /E kB 为 (Ａ)21 （Ｂ）２ （Ｃ）2 （Ｄ）22 [ ] ４．质量分别为m 和m 4的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向运动， 它们的总动量大小为 （Ａ）2mE 2 (B) 3mE 2 (C) 5mE 2 (D) (2mE 2)12- [ ] 5.力i t F 12=（ＳＩ）作用在质量kg m 2=的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ）s m kg i /54?- (B) s m kg i /54? (C) s m kg i /27?- (D) s m kg i /27? [ ] B v
6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（34+）， B 粒子的速度为（2j i 7-），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为（7j i 4-），此时粒子B 的速度等于 （A ）j i 5- （B ） j i 72- （C ）0 （D ）j i 35- [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ] 8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)L B A L >,E kB kA E > （B ）L kB kA B A E E L <=, （C ）L kA B A E L ,=>E kB （D ）L kB kA B A E E L <<, [ ] 9．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常 数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 （A ）m GMR （B ） R GMm （C ）Mm R G （D ）R GMm 2 [ ] 10．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端。 当他们向上爬时，在某同一高度，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 （A ）甲先到达。 （B ）乙先到达。 （C ）同时到达。 （D ）谁先到达不能确定。 [ ] 11．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外 力的矢量和为零，则此系统 (A)动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C)动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。
力矩与角动量的关系
而扭转则涉及到力矩。 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。 力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的 方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。 其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的 条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不 变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。
4动量和角动量习题思考题
) s 习题4 4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。 解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v = ，由I mv =? ， ∴旋转一周的冲量0I = ； （2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量： 2cos T I T j mg j πθτω =?=? 所以拉力产生的冲量为2mg πω ，方向竖直向上。 4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力 F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到3s 间所做的功。 解：（1）半椭圆面积?====?=????v t F v t Fv x F x F A d d d d J 6.125402012 1 4==???=ππ （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。 4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为 cos sin r a t i b t j ωω=+ ，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而dr v dt == sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；
专题讲座6-角动量理论
专题讲座6-角动量与自旋 在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系 L L i L ?= 即 及 2 [, ]=0.L L 即 222 [, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有 2 2 2 2 ,x y z L L L L =++ 下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2 L 和（比如说）z L 的共同本征态： 2 L f f λ= 和 .z L f f μ= 引入算苻 我们有 ()11, ()2 2x y L L L L L L i +-+-= += - ?? , L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻) L ±与z L 的对易关系为 [, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±± 所以 [, ].z L L L ±±=± 当然，也有
2 [, ]0.L L ±= 定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 2 2 ()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±=== 所以L f ±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。 ()()() =()(), z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+± 所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。 我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。 对于一个给定的λ值，我们可以得到一个态的“梯子”，每一个“阶梯”与相邻梯级间隔为z L 的本征值相差一个 ，升高要用升阶算符，降低要用降阶算符。但是这个过程不能永远持续下去：因为这样会达到一个z 分量超过总量的态，而这是不可能的。一定存在一个最高的阶梯t f ，使得： 0.t L f += 设l 是z L 在这个最高阶梯的本征值（用字母“l ”的适当性马上明白）： 2 ; .z t t t t L f lf L f f λ== 因为 22 2 2 ()()() =(), x y x y x y x y y x z z L L L iL L iL L L i L L L L L L i i L ±=±=+-- 或者写作另一种形式， 2 2.z z L L L L L ± =+ 因此有 2 2 2222 ()(0)(1), t z z t t t L f L L L L f l l f l l f -+=++=++=+ 所以 2 (1).l l λ=+ 这告诉我们以z L 的最大量子数l 表示的2L 的本征值。 同时也存在一个最低的阶梯，b f ，使得 0.b L f -=
力矩和角动量定理
定义1 向量的向量积 设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则存在向量c，满足 （1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ； （2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。 这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为 c = a × b 注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a × b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a × b与向量a和b构成的平面垂直，即a × b与a和b都垂直。 向量a和b的向量积a × b满足以下运算性质： （1）反交换律：a × b = ? b × a；图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b) × c = a × c + b × c； （3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a × b)（λ为任意实数）。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a × a = 0； （2）设a和b为两个非零向量，则有a × b = 0 ? a∥b。 设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有 （1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； （2）i × i = j × j = k × k = 0； （3）i × j = k，j × k = i，k × i = j，图1.2 基向量之间的关系 j × i = ? k，k × j = ? i，i × k = ? j。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略） a × b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk) = (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k = (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a × b ==i ?j +k
大学物理动量与角动量练习题与答案
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v ? 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同 样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v ? 1＝ 02m v m m - +v 。 (2) 第二只船运动的速度为v ? 2＝0 2m v m v 。（水的阻力不计，所有速度都 m m 0 图3-11 ?30v ?2 图3-15 θ m v ? R
动量和角动量
０一叶一世界 第四章 动量和角动量 §4.1 动量守恒定律 一、冲量和动量 1.冲量 定义：力的时间积累。 dt F I d =或? =21 t t dt F I 2.动量 定义：v m P = 单位：kg.m/s 千克.米/秒 二、动量定律 1.质点动量定理 内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。 冲量的方向与动量改变量的方向相同。 在直角坐标系下的表示 平均冲力：1 22 1 t t dt F F t t -= ? 1 212 t t P P --= 2.质点系动量定理 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。 三、动量守恒定律 条件：若系统所受的合外力0=合F ，则： 结论：= ∑i i i v m 恒量
１一叶一世界 四、碰撞 1、恢复系数 10 201 2v v v v e --= 2、碰撞的分类 完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10< 专题六：力矩和角动量 例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。求: （1）地给圆环的摩擦力； （2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。 例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。 例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。 （1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？ （2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？ 例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。为了保持物块静止， (1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？ (2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？ 例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ 角动量守恒 现在我们来讨论物体的转动。有关转动的运动学我们在第一章已经了解得很 清楚了，有趣的是，你发现在转动和线性运动之间几乎每一个量都是相互对应的。 譬如，就象我们讨论位置和速度那样，在转动中可以讨论角位置和角速度。速度 说明物体运动得多快，而角速度则反映了物体转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快，角度变化也越快。再继续下去，我们可以把角速度对时间微分，并称2 d dt d dt αω==ΦK K K 2为角加速度，它与通常的加速度相对应。 当然，转动只是一种形式稍微特殊一点的运动，其动力学方程也就无外乎 Newton 定律了。当然，由于这种运动只涉及转动，因此，我们也许可以找到一 些更加适合描述转动的物理量以及相应的作为Newton 第二定律推论的动力学 方。为了将该转动动力学和构成物体的质点动力学规律联系起来，我们首先就应 当求出，当角速度为某一值时，某一特定质点是如何运动的。这一点我们也是已 经知道了的：假如粒子是以一个给定的角速度ωK 转动，我们发现它的速度为 v r ω=×K K K (1) 接下来，为了继续研究转动动力学，就必须引进一个类似于力的新的概念。 我们要考察一下是否能够找到某个量，它对转动的关系就象力对线性运动的关系 那样，我们称它为转矩(转矩的英文名称torque 这个字起源于拉丁文torquere ，即 扭转的意思)。力是线性运动变化所必须的，而要使某一物体的转动发生变化就 需要有一个“旋转力”或“扭转力”，即转矩。定性地说，转矩就是“扭转’；但 定量地说，转矩又应该是什么呢？因为定义力的一个最好的办法是看在力作用下 通过某一给定的位移时，它做了多少功，所以通过研究转动一个物体时做了多少 功就能定量地得出转矩的理论。为了保持线性运动和转动的各个量之间的对应关 系，我们让在力作用下物体转过一个微小距离时所做的功等于转矩与物体转过的 角度的乘积。换句话说，我们是这样来定义转矩，使得功的定理对两者完全相同： 力乘位移是功，转矩乘角位移也是功。这就告诉了我们转矩是什么。如果粒子的 位矢转过一个很小的角度，它做了多少功呢？这很容易。所做的功是 角动量守恒定理及其应用 角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20 在里，使物体绕着或转动的趋向，称为力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。 根据，力矩的单位是。本物理量非能量，因此不能以（J）作单位； 力矩的表示符号是，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于对的研究。 力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的乘以到力的垂直。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的 方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 ，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。 角动量在中是与物体到原点的和相关的，在中表示为到原点的和的，通常写做。角动量是。 其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为：其中表示杆状系统的，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的 条件不同，角动量是否守恒与是否守恒没有直接的联系。 角动量在中与角度是一对。 若物体(或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统)的角动量守恒. 例如静电力或万有 引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律. 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外为零时系统的保持不变。当右边为零时，可知不随时间变化。 角动量守恒定律是普遍存在的之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转。例如，当考虑到中的受到的万有引力这一时，由于对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因。另外，角动量守恒定律也是的原因。 需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与是否守恒没有直接的联系。需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。专题六：力矩和角动量
角动量定理
角动量守恒定理及其应用
力矩与角动量的关系