2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3_2_2半角的正弦余弦和正切学案新人教B版必修4
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
预习课本P145～146，思考并完成以下问题
(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？
(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？
[新知初探] 半角公式
[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α
2的正弦、
余弦、正切的值．
(2)对于S α2
和C α2
，α∈R ，但是使用T α2
时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．( )
(2)tan α2＝sin α
1＋cos α
，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )
答案：(1)× (2)√
2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α
2的值为( )
A.
6
3 B ．－63
C ．±
63
D.33 答案：A
3．已知cos α＝45，α∈? ????3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－
10
10
B.1010
C.
33
10 D ．－3
5
答案：B
4．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α
2＝________.
答案：－2
求值问题
[典例] 已知sin α＝－5，π<α<2，求sin 2，cos 2，tan 2的值．
[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－4
5，
∴cos α＝－35，且π2<α2<3π
4，
∴sin α
2＝
1－cos α2＝25
5， cos α
2
＝－
1＋cos α2＝－5
5
，
tan
α
2
＝
sin
α
2
cos
α
2
＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知sin
α
2
－cos
α
2
＝－
1
5
，450°<α<540°，求tan
α
2
的值．
解：由题意得
?
?
??
?
sin
α
2
－cos
α
2
2＝
1
5
，
即1－sin α＝
1
5
，
得sin α＝
4
5
.
∵450°<α<540°，
∴cos α＝－
3
5
，
∴tan
α
2
＝
1－cos α
sin α
＝
1－
?
?
??
?
－
3
5
4
5
＝2.
三角函数式的化简[典例
1＋sin α＋cos α?
?
??
?
sin
α
2
－cos
α
2
2＋2cos α
(π<α<2π)．
[解] 原式＝
? ????2cos 2α2＋2sin α2cos α2? ??
??sin α2－cos α22·2cos
2
α
2
＝2cos α2? ????cos α2＋sin α2? ????sin α2－cos α
22?
?????cos α2
＝
cos α
2
－cos α
?
?????
cos α2.
又∵π<α<2π， ∴π2<α
2<π， ∴cos α
2
<0，
∴原式＝cos α
2
·－cos α
－cos
α2＝cos α.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为： 1－sin α－cos α?
?
?
??
sin α
2＋cos α2
2－2cos α
(－π<α<0)，求化简后的式子．
解：原式＝
? ????2sin 2α2－2sin α2cos α2? ??
??sin α2＋cos α22×2sin
2α
2
＝2sin α2?
????sin α2－cos α2? ????sin α2＋cos α
22?
?????sin α2
＝sin α2?
?
???
sin 2
α
2－cos 2
α2????
??sin α2
＝－sin α
2
cos α
??????sin α2.
因为－π<α<0， 所以－π2<α
2<0，
所以sin α
2
<0，
所以原式＝－sin α
2
cos α
－sin
α2＝cos α.
2．[变条件]若本例中的式子变为：
1＋sin α1＋cos α－1－cos α
＋
1－sin α
1＋cos α＋1－cos α
，π<α<3π
2，求化简后的式子．
解：原式＝?
????sin α2＋cos α22
2??????cos α2－2??????sin α2＋
? ??
??sin α2－cos α22
2??????cos α2＋2?
?????sin α2，
∵π<α<3π
2，
∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α
2
>0.
∴原式＝? ??
??sin α2＋cos α22
－2?
????sin α2＋cos α2＋
? ??
??sin α2－cos α22
2?
????sin α2－cos α2
＝－sin α
2＋cos α
22＋sin α
2－cos
α
2
2
＝－2cos α
2
.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
三角恒等变换的综合应用
1．(浙江高考)函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
解析：由题意知，f (x )＝12sin 2x ＋1
2(1－cos 2x )＋1
＝
22sin ?
?
???2x －π4＋32，
所以最小正周期T ＝π.
令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8(k ∈Z)，故单调递减区间为??
??
??3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)．
答案：π ????
??3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)
题点二：与平面向量综合应用
2．已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .求f (x )的最大值及相应的x 值．
解：因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，
b ＝(1，sin x ＋cos x )，
所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2
x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ?
????2x －π4＋1.
因此，当2x －π4＝2k π＋π
2
，
即x ＝k π＋3π
8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1.
题点三：三角变换在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽
BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设
三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．
(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．
解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ， ∴HE ＝
50
cos x
. 在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ， ∴HF ＝
50
sin x
. 又∠EHF ＝90°， ∴EF ＝
50
sin x cos x
，
∴三条路的全长(即△HEF 的周长)
L ＝
50
sin x ＋cos x ＋1
sin x cos x
.
当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π
6；
当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π
3.
故此函数的定义域为??
??
??π6，π3.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．
由(1)得L＝
50sin x＋cos x＋
1
sin x cos x
，x∈??
?
??
?
π
6
，
π
3
，
设sin x＋cos x＝t，
则sin x cos x＝
t2－1
2
，
∴L＝
50t＋1
t2－1
2
＝
100
t－1
.
由t＝sin x＋cos x＝2sin?
?
??
?
x＋
π
4
，x∈??
?
??
?
π
6
，
π
3
，
得
3＋1
2
≤t≤2，
从而2＋1≤
1
t－1
≤3＋1，
当x＝
π
4
，
即CE＝50时，L min＝100(2＋1)，
所以当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
层级一学业水平达标
1．已知cos θ＝－
1
4
(－180°<θ<－90°)，则cos
θ
2
＝( )
A．－
6
4
B.
6
4
C．－
3
8
D.
3
8
解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<
θ
2
<－45°.又cos θ＝－
1
4
，所以
cos θ
2
＝
1＋cos θ
2
＝ 1－142＝6
4
，故选B. 2．已知α∈? ????－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( )
A ．3
B ．－3 C.1
3
D ．－1
3
解析：选 D 因为α∈? ????－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈? ????－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α
1＋cos α
＝－
1－451＋45
＝－1
3，故选D. 3．若α∈??
??
?
?7π4，2π，则
1＋cos 2α
2
－ 1－cos 2α
2
等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α
解析：选B ∵α∈??
??
?
?7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则
1＋cos 2α
2
－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2
α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2? ????π
4－α－1＝( )
A.8
9 B.1718 C ．－89
D ．－2
3
解析：选C ∵sin α＋cos α＝1
3
，
平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－8
9.
2cos 2? ????π
4－α－1＝cos ? ??
??π2－2α＝sin 2α＝－89.
5．函数y ＝sin ? ????2x ＋π6＋cos ? ????2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1
D ．2π， 2
解析：选A ∵y ＝sin ? ????2x ＋π6＋cos ? ????2x ＋π3
＝?
????sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋
?
????cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ
2＝0，则tan θ＝________.
解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ
2＝－2， 则tan θ＝2tan
θ
21－tan 2θ2＝4
3.
答案：43
7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23?
??
??32sin x －12cos x ＝23sin ? ????
x －π6，
因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π
6.
答案：－π
6
8．函数y ＝32
sin 2x ＋cos 2
x 的最小正周期为________． 解析：y ＝
32sin 2x ＋cos 2
x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12
＝sin ?
????2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π 9．求证：
cos 2
α
1tan
α2
－tan α2＝1
4sin 2α.
证明：∵左边＝cos 2
αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan
α
21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝1
2cos αsin α
＝1
4
sin 2α＝右边， ∴原式成立．
10．已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈?
??
??π2，π，且f (α)＝22，求α的值．
解：(1)因为f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x
＝cos 2x sin 2x ＋1
2cos 4x
＝1
2(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ?
????4x ＋π4，
所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2
2.
(2)因为f (α)＝
22
， 所以sin ? ??
??4α＋π4＝1， 因为α∈? ??
??π2，π， 所以4α＋π4∈? ??
??
9π4，17π4.
所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π
16
.
层级二 应试能力达标
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α
2＝( )
A.1
2 B.1
2或不存在
C ．2
D ．2或不存在
解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α
2＝2cos 2
α
2，
当cos α2＝0时，则tan α
2
不存在；
当cos α2≠0时，则tan α2＝12
.
2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 2
13°，c ＝1－cos 50°
2
，则有( ) A ．a >b >c B ．a
D ．b 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a 3．化简? ????sin α2＋cos α22＋2sin 2? ?? ??π 4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ? ????α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ? ????α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ??????2? ????π4－α2＝2＋sin α－cos ? ?? ??π2－α＝ 2＋sin α－sin α＝2. 4．已知cos ? ????π4＋θ·cos ? ????π4－θ＝34，θ∈? ????3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是 ( ) A.62 B ．－ 62 C ．－ 22 D. 22 解析：选C cos ? ????π4＋θ·cos ? ????π4－θ ＝sin ? ????π4－θcos ? ????π4－θ＝12sin ? ?? ??π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝3 2 . ∵θ∈? ????3π4，π，∴2θ∈? ?? ? ?3π2，2π， ∴sin 2θ＝－1 2，且sin θ＋cos θ<0. ∴(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. ∴sin θ＋cos θ＝－ 22 . 5．设α为第四象限角，且 sin 3αsin α＝13 5 ，则tan 2α＝________. 解析：sin 3αsin α＝sin 2α＋αsin α ＝cos 2αsin α＋2cos 2 αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝13 5， 所以cos 2α＝4 5 ， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－3 4. 答案：－3 4 6．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2 B 的最大值是________，最小值是________． 解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2 B ＝1 2 (1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋1 2(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π 3 cos(A －B ) ＝1－1 2cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值3 2 ； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值1 2. 答案：32 12 7．化简：cos ? ?? ??3π2－α－tan α2·1＋cos α1－cos α(0<α<π)． 解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α 2 ＝sin α. 又∵cos ? ?? ??3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α 2??????sin α2 ＝－22sin α2cos α 2 ???? ??sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α 2 >0. ∴原式＝－22cos α 2 . 8．已知cos 2θ＝725，π 2<θ<π， (1)求tan θ的值． (2)求2cos 2 θ 2 ＋sin θ 2sin ? ????θ＋π4的值． 解：(1)因为cos 2θ＝7 25 ， 所以cos 2 θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2 θ1＋tan 2 θ＝725， 解得tan θ＝±34 ， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34. (2)2cos 2θ 2＋sin θ 2sin ? ????θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θ cos θ＋sin θ， 因为π2<θ<π，tan θ＝－3 4， 所以sin θ＝35，cos θ＝－45 ， 所以2cos 2θ 2＋sin θ2sin ? ????θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θ cos θ＋sin θ ＝1－45＋3 5－45＋35 ＝－4. 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0 五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值. 同步训练(4)随机抽样 1、在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 2、某校为了解高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将他们随机编号为1,2,…,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中,编号落在区间[]1,200的人做试卷A ,编号落在[]201,560的人做试卷B ,其余的人做试卷C ,则做试卷C 的人数为( ) A.10 B.12 C.18 D.28 3、我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 4、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 5、要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ） A ．5，10，15，20，25，30 B ．3，13，23，33，43，53 C ．1，2，3，4，5，6 D ．2，4，8，16，32，48 6、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,,840?随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为( ) (人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全) 课题：直线系与对称问题 教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求 一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法： 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -； 关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --. 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++?? ??? 一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00 1y b a x a b -???-=- ?-?? 结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022 Ax By C D A B ++= +；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线 l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++?? -- ??? ，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ， 曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法： ①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 一、柱、台、锥、球的结构特征 二、柱体、锥体、台体、球体的表面积、体积 1、面积公式 2、体积公式 球体的表面积与体积 S4πR2 V=4/3πR3 = 习题： 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）. A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2．下列说法中正确的是（）. A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半 3．下列说法错误的是（）. A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形 4．下列说法正确的是（） A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 5.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）. A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥 6.下图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（） A. 圆锥，圆柱 B. 圆柱，圆锥 C. 圆柱，圆柱 D. 圆锥，圆锥 7.下图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为_________，圆锥母线长为______. 8.下列说法正确的是（）. A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C.两个全等三角形的直观图一定也全等 D.两个图形的直观图是全等三角形，则这两个图形一定是全等三角形 9.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）. A. 3 B. 6 C. 3232 2 10.用长为4，宽为2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）. 11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2 ，则 V1 : V2 =（）. A. 1: 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 12.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2 的正三 角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）. 三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值． 例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x 第一章空间几何体 （一）学情分析： 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的．例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积．因此，在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接． 本章中的有关概念，主要采用分析详尽实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到.教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念． 柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，繁复的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较繁复的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质． （二）教材分析： 1．核心素养 我们在高中阶段要培养学生数学的三大能力：计算能力，思维能力，空间想象能力.本章的主要任务就是培养学生的空间想象能力. 值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练．由于受有关线面位置关系知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，我们应该多强调感性认识.要确凿把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的严重作用. 2．本章目标 （1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征． ①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形． ②运用空间几何体的特征描述现实生活中简单物体的结构． （2）空间几何体的三视图和直观图 ①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简捷组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图． ②通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的例外表示形式． ③完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）． （3）空间几何体的表面积和体积 ①了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．②会使用球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式计算一些简单几何体的体积和表面积． 3．课时安排 本章教学时间约需12课时，详尽分配如下： 3课时 3课时 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积和体积 章末检测题 4．本章重点3课时 数学必修二第三章综合检测题 一、选择题 1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( ) A ．y ＋2＝33(x ＋1) B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝0 4．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．异面 5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2) 6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( ) A ．0 B.23＋52 C.－23＋52 D.－23－52 8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝12x ＋4 C ．y ＝－2x －83 D ．y ＝12x －83 9．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 10．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( ) A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0 C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 模块综合检测 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( ) A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等 D ．无法确定 2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.13 3．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 4．有五组变量： ①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②⑤ D ．④⑤ 5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 A ．0.13 B ．0.39 C ．0.52 D ．0.64 6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A ．91.5和91.5 B ．91.5和92 C ．91和91.5 D ．92和92 7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( ) A ．120 B ．720 C ．1 440 D ．5 040 8．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( ) A.29 B.23 C.13 D.19 9．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( ) A.110 B.310 C.610 D.710 10．三个数390,455,546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．13 11．在如图所示的程序框图中，如果输入的n ＝5，那么输出的i 等于( ) 高一数学必修2第一章及2.1测试题 班别 姓名 考号 得分 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台 3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 4.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 32 C. 33 D. 34 5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6．下列几种说法正确的个数是（ ） ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 8．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 9.一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个 （C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 10．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 穿越自测 一、选择题 1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是() A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半★★答案★★A 解析设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0．6M，而新农村建设后的种植收入为0．74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0．04M，新农村建设后其他收入为0．1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0．3M，新农村建设后为0．6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A． 2．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．12 B ．56 C ．76 D ．712 ★★答案★★ B 解析 初始化数值k ＝1，s ＝1，循环结果执行如下：第一次：s ＝1＋(－1)1 ·12＝12，k ＝2，k ＝2≥3不成立；第二次：s ＝12＋(－1)2·13＝56，k ＝3，k ＝3≥3成立，循 环结束，输出s ＝56，故选B ． 3．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0．6 B ．0．5 C ．0．4 D ．0．3 ★★答案★★ D 解析 设2名男同学为A 1，A 2，3名女同学为B 1，B 2，B 3，从以上5名同学中任选2人总共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共3种可能， 则选中的2人都是女同学的概率为P ＝310＝0．3．故选D ． 4．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为( ) 第三章 直线与方程 A 组 一、选择题 1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0 B ．等于π C ．等于 2 π D ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ． 3 π B ． 3 2π C ． 4 π D ． 4 3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )． A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0 D ．3x ＋19y ＝0 8．直线l 1：x ＋a 2 y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值 (第2题) 第三章三角恒等变换 密云县编写组 第一部分：第三章的教学设计 一、教材分析 1．教学内容 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 2．在模块内容体系中的地位和作用 在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫. 3．总体教学目标 （1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； （2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； (3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公 式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性， 体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 4.重点、难点分析 本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点. 5．其他相关问题 本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 二、教学方式概述 应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅. 三、教学资源概述 充分利用多媒体课件 1．算法与程序框图 名 称 内容 顺序结构条件结构循环结构 定义由若干个依次执行的 步骤组成，这是任何 一个算法都离不开的 基本结构 算法的流程根据条件 是否成立有不同的流 向，条件结构就是处 理这种过程的结构 从某处开始，按照一 定的条件反复执行某 些步骤的结构，反复 执行的步骤称为循环 体 程序 框图 (1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样． (2)常用方法：抽签法和随机数法． 3．系统抽样 (1)步骤：①先将总体的N个个体编号； ②根据样本容量n，当N n是整数时，取分段间隔k＝ N n； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本． (2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时． 4．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时． 5．统计图表 (1)频率分布直方图的画法步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． (2)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． (3)茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧． 6．样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 高中数学必修二第三章知识点总结 一、直线与方程 １．直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° ２．直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180 ,90∈α时，0 第一章 空间几何体 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个 ( ) ． 主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的 等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ( ) ． A ．2＋ 2 1＋ 2 2＋ 2 D ．1＋ 2 B ． 2 C ． 2 3．棱长都是 1的三棱锥的表面积为 ( ) ． A ． 3 B ． 2 3 C ．3 3 D ．4 3 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3， 4， 5，且它的 8 个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是 ( ) ． A ． 25π B ． 50π C ． 125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为 ( ) ． A ． 3∶1 B ． 3∶2 C ． 2∶ 3 D ． 3∶3 6．在 △ ABC 中， AB ＝ 2，BC ＝ 1.5，∠ ABC ＝ 120°，若使△ ABC 绕直线 BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是 ( ) ． A ． 9 π B ． 7 π C ． 5 π D ． 3 π 2 2 2 2 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是 ( ) ． A ．130 B ． 140 C ． 150 D ． 160 8．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF ∥AB ，EF ＝ 3 ，且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为 ( ) ． 2 9 B ． 5 (第8题) C ． 6 15 A ． D ． 2 2 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误 ．．的是 ( ) ． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是 ( ) ． 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++= - ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2 αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα =-． 2６、 2７、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： (１）角的变换:在三角化简,求值，证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角 之间的和差，倍半,互补，互余的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异,使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍;2α是4 α的二倍； ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2 cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-±=+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 22αααααα万能公式+-=+= 高中数学必修3知识点总结 第三章概率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件 A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= n n A 为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次 数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值 n n A ，它具有一定的稳定 性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机 事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作 为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案
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