2017年上海市宝山区高三二模数学试卷

2017年上海市宝山区高三二模数学试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 设，，则．

2. 已知复数满足（为虚数单位），则．

3. 函数的最小正周期是．

4. 已知双曲线的一条渐近线方程，则．

5. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为．

6. 已知，满足则的最大值是．

7. 直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是．

8. 已知函数的反函数是，则．

9. 设的展开式中项的系数为，则

．

10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工

序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是，则．

11. 设向量，，为曲线（）上的一个动点，若点到直线

的距离大于恒成立，则实数的最大值为．

12. 设，，，为，，，的一个排列，则满足对任意正整数，，且

，都有成立的不同排列的个数为．

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 设，则“”是“且”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

14. 如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的

射影可能是

A. ①②③④

B. ①③

C. ①④

D. ②④

15. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线，的同侧，且到，的距离分别为，，

点，分别在，上，，则的最大值为

A. B. C. D.

16. 若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为

的对称点”，设，若对于任意，总存在正数，使得“函数

在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 如图，在正方体中，，分别是线段，的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求直线与平面所成角的大小．

18. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线

交于，两点，为坐标原点．

（1）求抛物线的方程，并证明：的值与直线的倾斜角的大小无关；

（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．

19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在

内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间

上的“保值函数”．

（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；

（2）已知是区间上的“保值函数”，求的取值范围．

20. 数列中，已知，，对任意都成立，数列的

前项和为．（这里，均为实数）．

（1）若是等差数列，求；

（2）若，，求；

（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列?若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

21. 设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称

为集合的上界．

（1）设，，试判断，是否为有界集合，并说明理由；

（2）已知，记，，若，，且为有界集合，求的值及的取值范围；

（3）设，，均为正数，将，，中的最小值记为，是否存在正数，使得为有界集合均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．

答案

第一部分

1.

2.

【解析】由，得

则．

3.

【解析】函数

所以的最小正周期是：．

4.

【解析】根据题意，双曲线，则其渐近线方程为，又由题意，双曲线的一条渐近线方程为，

则有，解可得．

5.

【解析】因为圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，

所以该圆柱的高，底面周长，底面半径，

所以该圆柱的体积．

6.

【解析】由已知不等式组得到平面区域如图：

目标函数变形为，当此直线经过图中时在轴截距最大，

由得到，

所以的最大值为．

7.

【解析】直线（为参数）与曲线（为参数）的普通方程分别为

，，联立可得，

则，

所以交点个数是．

8.

【解析】由题意，当时，，

所以，当时，，

所以（舍去），

所以．

9.

【解析】根据题意，中的系数分别为，，，，，则；

则．

10.

【解析】因为生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，

每道工序产生废品相互独立，

经过两道工序得到的零件不是废品的概率是，

所以由题意得：，

解得．

11.

【解析】向量，，所以（），

又双曲线的渐近线方程为，

由点到直线的距离大于恒成立，

所以的最大值为直线与直线的距离，

即的最大值为．

12.

【解析】如果时，满足题意的排列个数是，即，或，；即．

如果的最大值为，则满足题意的排列个数为；分别为：，，；，，；，，；，，；个．即．

如果的最大值为，则满足题意的排列个数为；分别为：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；共个，即．

如果的最大值为，则满足题意的排列个数为；分别为：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；即．

所以：设，，，为，，，的一个排列，则满足对任意正整数，，且，都有成立的不同排列的个数为：．

第二部分

13. B 【解析】由且；反之不成立，例如取，．

所以“”是“且”的必要而不充分条件．

14. C 【解析】由题意知，为正方体的中心，则从上向下投影时，点的影子

落在对角线上，故在下底面上的射影是线段，是第一个图形；

当从前向后投影时，点的影子应落在侧面的中心上，点的影子落在上，故在面上的射影是三角形，是第四个图形；

当从左向右投影时，点的影子应落在侧面的中心上，点的影子落在上，故在面上的射影是三角形，是第四个图形．

15. A

【解析】由点位于两平行直线，的同侧，且到，的距离分别为，，可得平行线，

间的距离为；

以直线为轴，以过点且与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

由题意可得点，直线的方程为，

设点、点，

所以，，

所以；

因为，

所以，

所以或；

当时，，它的最大值为

，

当时，，它的最大值为，

综上可得，的最大值为．

16. A

第三部分

17. （1）根据题意，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，，

所以，，

所以设异面直线与所成的角为，异面直线与所成角的余弦值为

，

所以异面直线与所成角的大小为．

（2）设直线与平面所成的角为，平面的法向量为，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

所以直线与平面所成角的大小为．

18. （1）由题意可知：准线方程，则，则，

所以抛物线的标准方程为：，

证明：若直线的斜率不存在，则其方程为，代入得，，，

则，

则若直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，

联立整理得：．

设，，则，，

所以，

综上，的值为，与直线的倾斜角的大小无关．

（2）由抛物线的对称性，不妨设，则

由二次函数的性质可知：当对称轴即时，当时，取最小值，最小值为，

当即时，当时，取最小值，最小值为，则的解析式为

．

19. （1），

时，，

则函数不是定义域上的“保值函数”．

（2）由的定义域和值域都是得，，

因此，是方程的两个不相等的实数根，

等价于方程有两个不等的实数根

，

即，

解得或．

20. （1）因为，，且，

所以，

解得，．

（2）由，得，

所以，，

当是偶数时，

当是奇数时，