初一数学第一章有理数教案

个性化教学辅导教案

学科： 数学 年级： 初一 任课教师： 李春雨 总课时： 共 16 讲

第一讲 有理数

一、 教学目标

1、 掌握正数和负数的概念及其意义

2、 掌握有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类

3、 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系，正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数

4、 掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点与数的对应关系

5、 掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则，学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小

6、 体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想

二、 教学重难点

重点：1、正确区分两种不同意义的量

2、数轴的概念和用数轴上的点表示有理数

3、相反数、绝对值的概念

难点：1、正确理解有理数的概念及分类

2、归纳相反数在数轴上表示的点的特征

3、两个负数大小的比较

三、 教学过程

导入：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数），在

生活中，仅有整数和分数够用了吗（简单讲解天气预报中的气温为零下的情况，引入负数）

1、 正数和负数

正数：像+，+12,,258这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。 负数：像-5,-3,这样在正数前加上“-”的数叫做负数，负数小于0。 例题：把下列各数填在相应的集合内：15，－6，－，21

，0，，－411，5

1，8，－2，27，71，－4

3， 正数集：{ }；

负数集：{ }；

正分数集：{ };

负分数集：{ }；

整数集：{ }；

自然数集：{ }.

（1）为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的。负数是根据实际需要而产生的。

如：收入1000元与支出500元、向东走2km与向西走3km，上升与下降，

规定收入为正则收入记做+1000，支出记做-500，规定向东走为正则向东走

2km记做+2km，向西走记做-3km，上升与下降让学生解答。

（2）0既不是正数也不是负数，它是一个非负、非正的数，正、负数以0为界，规定：0是最小的自然数。

例题：1、如果规定向南走10米记为+10米，那么－50米表示什么意义

2、天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5°C，最低温度是零下3°

C，若规定零上温度为正，则零上5°C可记作°C，零下3°C可

记作°C

2、有理数及其分类

按有理数的定义进行分类：

按有理数的性质符号进行分类：

例题：1、下列关于0的叙述中，不正确的是（）

是自然数既不是正数，也不是负数

是偶数既不是非正数，也不是非负数

2、下列语句：①所有的整数都是正数；②所有的正数都是整数；③分数都是

有理数；④奇数都是正数；⑤在有理数中不是负数就是正数，其中哪些语句是正确的

3、数轴及其三要素（重点）

M N m

n 10定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

4、 数轴的画法

数轴的画法可分为四个步骤：（1）画一条水平的直线；（2）在直线上适当选取一

点为原点；（3）确定向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右

边）；（4）根据需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右、向左每隔一

个单位长度取一点。

例题：1、把数－3，－1，，－ ，， 在数轴上表示出来，再用“<”号把它们连接起

来.

2、如图所示，数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ，那么以下结论正确

的是（ ）

>0,n>0 >0,n<0

<0,n>0 <0,n<0 5、 相反数（重点）

像2与-2，与,4与-4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其

中一个数叫做另外一个数的相反数。0的相反数仍是0。

相反数的性质：若a ，b 互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a ，b 互为

相反数。

例题：1、914

的相反数是_________,—16与____互为相反数，—（+3）表示______的相反数.

2、下列各对数中，互为相反数的是（ ）

A.+（—8）和（—8）

B.—（—8）和+8

C.—（—8）和+（+8）

D.+8和+（—8）

3、化简—[—(+]=________.

6、 绝对值（重点）

引入：星期天刘老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到三影塔，下午她又向西行30千米，回到家中（学校、三影塔、家在同一直线上），如果规

定向东为正 1、用有理数表示刘老师两次所行的路程 2、刘老师从从家到学校的

距离是多少

观察并思考：画一条数轴，原点表示学校，在数轴上画出表示三影塔和刘老

师家的点，观察图形，说出刘老师家与学校的距离．

学生回答后，教师说明如下：

数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所

表示的数的正负性无关；

绝对值的几何定义： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝

对值记做|a|，读作a 的绝对值。 如：|－2|读作－2的绝对值。

绝对值的代数定义：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的

绝对值是0,绝对值必须≥0。

a a>0

1

0-1

a 对于任何有理数a ，都有|a|= 0 a=0

-a a<0

例如：|20|=20，|－10|=10，|0|=0

例题：1、求下列各数的绝对值.

2

11- － 0 )213(-- 2、若数a 在数轴上对应的点如下图所示，则化简|a+1|的结果是（ ）

+1 B. －a+1

－1 D. －a －1

3、已知|a －1|+|b+2|=0，求a 和b 的值.

7、 相反数、绝对值的几何意义

相反数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并

且到原点的距离相等。

如图（数轴）所示，与互为相反数，-1与1互为相反数。

绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点

的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

如图所示，在数轴上表示-4的点与原点的距离是4，即-4

的绝对值是4，记作|-4|=4，在数轴上表示3的点与原点的

距离为3，即3的绝对值是3，记作|3|=3，表示0的点与原

点的距离是0，|0|=0.

例题： 1、若2x+1是－9的相反数，求x 的值.

2、如果x 与2互为相反数，那么|x —1|等于

3、若|x －2|+|y+3|=0，则x=_____,y=_____.当x=_____时，1+|x+1|的最

小值是________.

四、 教学目标

1、 能较为熟练地进行有理数的加法运算，并能解决简单的实际间题

2、 能较为熟练地进行两个有理数减法的运算

3、 理解加减法混合运算统一为加法运算的意义，学会把加减法统一成加法

4、 熟练有理数的乘法、除法运算并能用乘法运算律简化运算

5、 掌握除法法则，会进行有理数的除法运算

五、 教学重难点

重点：1、和的符号的确定

2、有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数

3、多个有理数相乘时积的符号的确定

4、正确运用乘法运算律，使运算简化

5、有理数的除法法则

难点：1、异号两数相加

2、加法交换律和结合律，及其合理、灵活的运用

3、把加、减混合运算统一成加法运算

4、正确进行多个有理数的乘法运算

5、理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系

六、 教学过程

1、 有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

有理数加法法则：

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0

3、一个数同0相加，仍得这个数

例题 计算：

（1）（－3）＋（-9）； （2）（－5）＋13；

（3）0十（－7）； （4）（）＋.

2、 有理数的加法运算律

（1） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a

（2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，

和不变，即（a+b ）+c=a+（b+c ）

例题1、计算：

)7(8)13(12)1(-++-+ )6.0()81()523

(125.1)2(-+-+-+ )21()74(6571)3(-+-++

)852()75.1(833)5.6(431)4(++-++-+ 2、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的有（ ）

① b+c>0 ②a+b>a+c ③a+c<0 ④a+b>0

个 个

个 个

3、 有理数的减法

已知两个有理数的和与其中的一个加数， 求另一个加数的运算，叫做有理数的减法。减法是加法的逆运算。

有理数的减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数，把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算，可表示为：

a-b=a+（-b ）

例题：1、计算

）（））（（431+-- )30()19)(2(+-+

)2

17(75.2)413()5.0)(3(+-+--- 变减为加 变为相反数

a b c 0)

314(4331|)214(312|)313(2151)4(---+------

2、设数轴上的点A 、B 、C 分别表示数－

3、 、4，利用数轴求A 与B ，B 与C ，A 与C 之间的距离，你能从中发现什么规律吗

4、 有理数的乘法

1、 乘法法则

（1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

（2） 任何数与0相乘，都得0

2、 乘法法则的推广

（1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有

奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正

（2） 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0

（3） 几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘 例题：1）6×（—9）= . 2）（—4）×6= .

3）（—6）×（—1）= 4）（—6）×0= .

5）29×(-)34= 6）11()34

-?

= .

5、 倒数（重点）

乘积为1的两个数互为倒数。

根据定义，要求a （a ≠0）的倒数，只要求即可。

一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。 倒数的特性：若a ，b 互为倒数（a ≠0，b ≠0），则ab=1；反之，若ab=1，则ab 互为倒数

例题：

（3）下列说法中，错误的是（）

A 、 一个非零数与其倒数之积为1

B 、 一个数与其相反数的商为-1

C 、 若两个数的积为1，则这两个数互为倒数

D 、 若两个数的商为-1，则这两个数互为相反数

6、 有理数的乘法运算律

（1） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba

（2） 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，

积相等，即（ab ）c=a （bc ）

（3） 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相

乘，在把积相加，即a （b+c ）=ab+ac

例题：1、（-5）×（-9）×（-）

2、30×（-+）

3、（）××+6×

4、[1

2

×（－

7

3

）]×（－4）与

1

2

×[（－

7

3

）×（－4）]

7、有理数的除法

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法

有理数的除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数

有理数的除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0

除以任何一个不等于0的数，都得0

过关练习；