3数列的递推关系

3数列的递推关系

对于数列{}1n n a ≥,若当1n k ≥+时,12,,

,n n n n k a a a a ---与之间满足函数关系

12(,,,,)0n n n n k F a a a a ---= (1)

或 12(,,

,)n n n n k a f a a a ---= (2)

则称(1)或(2)为k 阶递推关系或k 阶递归关系.由此递推关系及初值条件12,,,k a a a ???所确定的数列称为k 阶递推数列.在k 阶递推关系(1)中,我们规定每一项的次数为该项中

12,,,,n n n n k a a a a ---的次数的和,该项的系数为这项中除12,,,,n n n n k a a a a ---之外其余 的

因数.在k 阶递推关系(1)中,若各项的系数均是与n 无关的常数,则称这个递推关系为常系数递推关系；若递推关系中各项的次数相同,则称这个递推关系为齐次递推关系；若递推关系中各项的次数均不超过一次,则称这个递推关系为线性递推关系.例

如,2130(2)n n n a a a n -+++=≥是常系数递推关系.3253

1220(3)n n n n a na a n a n ---++=≥是二阶齐次递推关系.2

123(3)n n n a na a n n --=++≥是二阶线性递推关系；

12334(4)n n n n a a a a n ---=++≥是3阶常系数线性齐次递推关系.下面我们介绍递推关系中

常见的一些求解方法.

1 基本原理

定理1 设()g n 是已知数列,对于关于n a 的一阶递推关系,

(1)（叠加法）若1()(2)n n a a g n n --=≥,则12

();n

n k a g k a ==+∑

(2)（累乘法）若1()(2)n

n a g n n a -=≥,则12

()n

n k a a g k ==∏； (3)（不动点法）若1(2)1,()n n a ba c n b p f x bx c -=+≥≠=+且是得不动点,则有 1()(2)n n a p b a p n --=-≥.

证 (1),(2)显然.

(3)因为()p f x 是的不动点,所以p bp c =+,又1n n a ba c -=+,两式相减得 1()n n a p b a p --=-.

对于常系数线性齐次递推关系

11220n n n k n k a b a b a b a ---+++

+= (3)

其中0k b ≠,我们称方程

121210k k k k k x b x b x b x b ---+++

++= (4)

为递推关系(3)的特征方程.特征方程(3)的根称为递推关系的特征根.若0x 为特征方程(4)的r 重根,我们将r 个数列{}{}{}1000,,

,n n r n x nx n x -称为递推关系(3)的由特征根0x 所确

定的r 个特解.有了这些约定,对于常系数线性齐次递推关系,我们有如下结论：

定理2 设12,,,s x x x 分别为特征方程(4)的1r 重根,2r 重根,,s r 重根,则递推关系(3)

的通解为

1122111112111121222222112,

s s r n n n n r r n n n r r n n n s s s s sr s a c x c nx c n x c x c nx c n x c x c nx c n x ---=++++++++

+++

+

其中(1,1)ij i c i s j r ≤≤≤≤为任意常数,即递推关系(3)的通解为各个特征根所确定的特解的线性组合.

定理2的证明见组合数学教材.由定理2知，对于常系数线性齐次递推关系，只要能求出特征方程的特征根,就能求出这个递推关系的通解,在给定初值条件下,我们可用初值条件确定通解中的任意常数,进而求出满足初值条件的特解.

一个数列常常可能满足多个递推关系,对于分式递推关系

11(2)n n n aa b

a n ca d

--+=

≥+ (5)

其中0ad bc -≠,我们希望找到两个常数,p q 使得能将(5)化成如下形式

11n n n n a p a p

k a q a q

----=-- （6）

下面我们讨论,p q 应满足的条件.

因为1111111

1()()()()n n n n n n n n n n aa b b pd

p a a p ca d a pc a b pd a pc a pc

aa b b qd

a q a qc a

b qd a q

c a q a qc ca d

--------+--+

-+-+---===?+---+--+--+,所以,

要将(5)化为(6),只需

b pd

p a pc

-=-

- (7)

b qd

q a qc

-=-

- (8)

由(7)得 ap b

p cp d

+=

+ (9)

由(8)得 aq b

q cq d

+=

+ (10)

令(),(9),(10)ax b f x cx d +=

+表明,p q 是()f x 的不动点,这就说明了若函数()ax b

f x cx d

+=

+有两个不动点,p q ,则递推关系(5)可化为递推关系(6).

如果()ax b

f x cx d

+=

+只有一个不动点,同样可证明递推关系(5)可化为如下形式： 111

(2)n n k n a p a p

-=+≥--

这样我们得到如下结论：

定理3 设0ad bc -≠,()ax b

f x cx d

+=+,若函数()f x 有两个不动点,p q ,则分式递推关系 11(2)n n n aa b

a n ca d

--+=

≥+ ()*

可化成

11(2)n n n n a p a p

k n a q a q

----=≥--.

若函数()f x 只有一个不动点p ,则递推关系()*可化成

111

(2)n n k n a p a p

-=+≥--.

3 方法解读

对于某些递推关系,我们可用定理1至定理3中的叠加法,累乘法,不动点法,特征根法求解,也能够先猜测数列的一般项,然后再用数学归纳法证明.除这些方法外,我们常常是通过代换及代数恒等变形,将一个不熟悉的递推关系转化成一个可求解的递推关系,在作代换与变形时,常用的化归思想有如下几种.

（1）无理化有理：当递推关系中含有无理式时,通过代换与变形化去递推关系中的无理式.

(2)多元化少元：当递推关系中所含的未知数列有多个时,通过消元化成只含有一个未知

数列的递推关系.

(3)高次化低次：当递推关系的次数较高时,通过变形与代换降低递推关系的次数.

(4)高阶化低阶：当递推关系的阶较高时,通过代换与变形,降低递推关系的阶.

(5)非线性化线性：对于一个非线性递推关系关,若能把它化为线性递推关系,就先作这

种化归.

(6)非齐次化齐次：一个非齐次的递推关系,利用代换、消元的思想把它化为齐次递推关系.

需要说明的是,一个数列所满足的递推关系常常不是唯一的,所以,对于一个较为复杂的

递推关系,我们可猜测满足这个递推关系的数列也满足某一个较为简单的递推关系,在证明了我们的猜想之后,通过简单递推关系的求解去寻求原问题的答案.

例1 在正项数列中,

已知11100,n a a +==,求这个数列的通项.

解 11

lg 2lg ,lg 3

n n n n a a b a +=+=令,则有11

23

n n b b +=

+. 解方程123x x =+,得3x =,由定理1知(1)可化为11

3(3)3n n b b +-=-,得

∴111

3()(3)3

n n b b --=-

.

11lg 2b a == ， ∴1111

()(23)3()333

n n n b --=-+=-+，

1

13()3

1010

n n

b n a --∴==.

例2 已知112,4,1a b n ==≥当时,

11

2(1)

66(2)n n n n n n a a b b a b ++=--??

=+? 求,.n n a b 解 由(2)得,116n n n a b b +=

-,从而有1211

6

n n n a b b +++=-,代入(1),得 2156n n n b b b ++=- (3)

(3)的特征方程为2560x x -+=,从而知特征根为122,3x x ==,所以(3)的通解为

1223n n n b c c =?+?.

12114,66122436b b a b ==+=+=

1212234,

4936.

c c c c ?+?=?∴?+=?

解之得122812,3

c c =-=

， 2812233

n n

n b ∴=-?+

?. 将n b 代入(2),得148233

n

n

n a =?-

?. 例3 已知1112

1,1,1

n n n a a n a a --+=>=+当时,求.n a .

解

解方程122

,1

x x x x x +=

==+得

11112

13)21

n n n n a a a a ----+-+===+++

从而有

13)3).n n -==

解之得n n a = 例4 已知正数数列n a 满足

= (1)

且121,3,a a ==,求{}n a 的通项公式.

解 (1)

,

2= (2)

令n b =则由(2)可得132n n b b +=+. 解方程32,1,x x x =+=-得从而有113(1)n n b b ++=+，

1113(1)n n b b -∴+=+

.

112b =+

==,13,31,n n n n

b b ∴+==-31n =-. 221

(31)1323,n n n n n

a a +=--=-?

再由累乘法知1

21

(3

23)n k

k n k a -==

-?∏.

例5 已知{}n a 为数列,14,a =当1n ≥时,有

22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=+-, (1)

求.n a

解 由(1)得22

111(2)168(),n n n n n n a a a a a a ++++++=+

211()8()160,n n n n a a a a ++∴+-++= 21(4)0,n n a a +∴+-=

从而有140n n a a ++-=.14n n a a +=-+.

解方程4, 2.x x x =-+=得所以1(2)(2),n n a a +-=--

1112(1)(2)(1)2,n n n a a --∴-=--=-? 1(1)2 2.n n a -∴=-?+

例6 已知{}n a 满足121,a a ==≥当n 1时,有

2122n n n n a a a ++=-+ (1)

求.n a

解 由(1)得1

1122n n n n a a a -+-=-+ (2)

(1)(2)2,-?得21112242,n n n n n n a a a a a a +++--=--+

211452n n n n a a a a ++-∴=-+

123452n n n n a a a a ---=-+ (3)

(3)的特征方程为 32452,x x x =-+ (4) (4)的3个根分别为1232,1,x x x ===所以(3)的通解为1232.n n a c c c n =?++?

因为121a a ==,所以33,a =解方程组

12312312

321,421,831,

c c c c c c c c c ++=??

++=??+-=? 得1231,1,2,c c c ===-

22 1.n n a n ∴=-+

注：本题是用通法求解.若将(1)变形为211()()2,n

n n n n a a a a +++-=-+并令

1n n n b a a +=-,则解法会简单一些.

例7 已知{}n a 满足1231,2,a a a ===当3n ≥时,有1

12

3n n n n a a a a -+-+= (1)

求.n a

解 由(2)得3123n n n n a a a a ---=+ (3)

(2)(3)-得

123112n n n n n n n n a a a a a a a a +------=-， 121213n n n n n n n n a a a a a a a a +-----+=+， 11213()()n n n n n n a a a a a a +----+=+.

0n a >,两边同除以2n n a a -,得

1113

2,n n n n n n a a a a a a +----++=

1113

312

23,n n n n n n a a a a a a a a a +----+++∴

===

=或1142

3

3,n n n a a a a a a +-++∴== 从而有113,n

n n a a a

+-+=即1

23.n n n

a a a --=- 利用特征方程的特征根,易得

5353((.5

222

n n

n a -+=

+ 例8 已知11,1a n =≥当时,

11

(1416

n n a a +=

+ (1) 求.n a

解

令n b 则有21

,24n n b a -=

从而有22

1111(14),241624n n n b b b +--=+?+ 化简得221469,n n n b b b +=++ 22

1(2)(3).n n b b +=+

又因为0,n b >所以123n n b b +=+,

11

3(3)2n n b b +-=-

111

3()(3),2

n n b b -∴-=-

1115,3()2,2n n b b -=∴-=?221

323,2

n n n b --∴=+=+

222

1(23).2424

n n n b a --+==

例9 数列{}n a 满足16,1a n =≥当时

,15

[4n n a a +=+ (1) 这里[]x 表示x 的整数部分,求.n a

解

12346,11,21,41,a a a a ====猜想 12 1.n n a a +=- (2)

下证(2)成立.

当1n =时,(2)显然成立,假设对于(2)n k =时成立,那么当1n k =+时

,

113224k k

a a ++-<<，

121,k a +∴=-

即2121k k a a ++=-，所以对于1n k =+时(2)也成立.由归纳法原理知(2)成立. 由(2)得112(1),n n a a +-=-

11112(1)52,n n n a a --∴-=-=?152 1.n n a -∴=?+

例10 设整数数列{}n a 满足122,7,a a ==当2n >时,有

2

1211

22

n n n a a a ++-<-≤ (1) 试求{}n a 的通项公式.

分析 当1,n n a a +给定时,满足(1)式的整数2n a +是唯一的,所以(1)式也给定了数列{}n a 所满足的一个递推关系.为了找到{}n a 所满足的其它递推关系,可猜测{}n a 满足一个二阶常系数线性齐次递推关系21,n n n a Aa Ba ++=+然后利用(1)式求出3425,89,a a ==再用

1234,,,a a a a 的值求出3,2A B ==,最后证明2132,n n n a a a ++=+ (3)

解 我们用数学归纳法证明：当1n ≥时,(3)式成立.

当1n =时,因为122,7,a a ==由(1)得325,253722a ==?+?,所以(3)式成立. 假设对于n k =时(3)成立,那么当1n k =+时,因为

2222221211212211111

(32)()2()3232k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++++++-+-==+?=++ 22

2

12121112211(32).22

k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++∴+-=-≤<

从而有32132k k k a a a +++=+,即对于1n k =+,(3)式成立.由归纳法原理知结论成立.

递推关系(3)的特征方程为2

320x x --=,

特征根为12x x =

=,所以(3)

的通解为1233(

)(.22n n

n a c c =+ 由122,7,a a ==

得1217176868

c c +-=

=

173173((.682682

n n

n a +-∴=

+

习题3

2. 已知{}n a 为整数数列,121,10,a a ==当1n ≥时,23

211,n n n a a a ++=求.n a

3. 在数列{}{},n n a b 中,已知1110,a b ==当1n ≥时,1341

1n n n n n n a a b

b a b

++?

=???=?,求,.n n a b

5. 已知{}n a 为正数数列,011,2a a n ==≥当时

12,n a -=求n a .