2003考研数三真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 设10,

cos ,()0,0,x x f x x

x λ

?≠?=?=??

若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是.

(2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2

b 可以通过a 表示为=

2

b .

(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤?

?

?==而D 表示全平面，则

??-=D

dxdy x y g x f I )()(=

.

(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T

E A αα-=，

T a

E B αα1

+

=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = . (5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

.

(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，

则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 1

2

1依概率收敛于

.

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

( ) (A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.

(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. (3) 设2

n

n n a a p +=

，2

n

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )

(A) 若

∑∞

=1n n

a

条件收敛，则

∑∞

=1n n

p

与

∑∞

=1n n

q

都收敛.

(B) 若

∑∞

=1

n n

a

绝对收敛，则

∑∞

=1

n n

p

与

∑∞

=1

n n

q

都收敛.

a b =(C) 若∑∞=1

n n a 条件收敛，则∑∞=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 敛散性都不定.

(D) 若∑∞

=1

n n

a

绝对收敛，则

∑∞

=1

n n

p

与

∑∞

=1

n n

q

敛散性都不定.

(4) 设三阶矩阵????

??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ) (A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠.

(C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠.

(5) 设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.

(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有

.02211=+++s s k k k ααα

(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正 面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( ) (A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.

三 、(本题满分8分)

设1111

(),[,1)sin (1)2

f x x x x x πππ=+-∈-，

试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.

四 、(本题满分8分)

设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v

f

u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2

222y

g

x g ??+??

五 、(本题满分8分)

计算二重积分

.)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x

+=??-+-π

其中积分区域22

{(,)}.D x y x y π=+≤

六、(本题满分9分)

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n

n

x n x 的和函数()f x 及其极值.

七、(本题满分9分)

设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件：

)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =, .2)()(x

e x g x

f =+

(1) 求()F x 所满足的一阶微分方程； (2) 求出()F x 的表达式. 八、(本题满分8分)

设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==. 试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

九、(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,

0)(,0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中

.01

≠∑=n

i i

a

试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

十、(本题满分13分)

设二次型)0(222),,(312

32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，

中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(1) 求,a b 的值；

(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

十一、(本题满分13分)

设随机变量X 的概率密度为

;],8,1[,0,31

)(32其他若∈???

??=x x x f

()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.

十二、(本题满分13分)

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为

???

? ??7.03.021

~X ，

而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题

(1)【答案】2>λ

【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量

10

001

cos

()(0)

1(0)lim

lim lim cos 00

x x x x f x f x f x x x x

λλ-→→→-'====-，

要使该式成立，必须10

lim 0x x λ-→=，即1λ>.

当(,0)(0,)x ∈-∞+∞ 时，

1211

()cos sin f x x x x x

λλλ--'=+

要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有

120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→?

?''=+== ??

? 由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．

(2)【答案】6

4a

【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则0

0x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =

又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有3

20030x a x b -+=，故

322

200003(3)b x a x x x a =-=-，

所以 .44)3(6422

202202a a a x a x b =?=-=

(3)【答案】2

a

【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．

??-=D

dxdy x y g x f I )()(=

20101

x y x a dxdy ≤≤≤-≤??

=1120x x a dx dy +??1

220[(1)]a x x dx a =+-=?

(4)【答案】-1

【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而2

2a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利

用乘法的结合律即可．由题设，有

)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα?-+-1

1

11()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21

-+-

1

(12)T E a E a

αα=+--+=，

于是有0121=+--a a ，即0122

=-+a a ，解得.1,2

1-==a a 已知0a <，故1a =-．

(5)【答案】0.9.

【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．

(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=---

()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+ ()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，

且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以

0.9.XY ρ=

==

(6)【答案】

12

． 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，

当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： ).(111

1∞→→∑∑==n EX n X n n

i i p n i i 【详解】本题中2

2221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且

22)(i i i EX DX EX +==2

1)21(412=+，

因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111

.2

n i i E X n ==∑

二、选择题 (1)【答案】()D

【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由x

x f x g )

()(=

，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数

()g x 在0x →的极限．

000()()(0)lim ()lim lim (0)0

x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义

存在， 故0x =为可去间断点．

方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,

0,

0,0,1=≠??

?=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．

(2)【答案】()A

【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有

000(,)(,)

(,)0y y x y x y df x y f

dy

y ==?=

=?

选项()A 正确．

(3)【答案】()B 【详解】由2

n

n n a a p +=

，2

n

n n a a q -=

，知0n n p a ≤≤，0n

n q a ≤-≤

若

∑∞

=1

n n

a

绝对收敛，则

∑∞

=1

n n

a

收敛. 再由比较判别法，

∑∞

=1

n n

p

与()1

n n q ∞

=-∑都收敛，后者

与1

n n q ∞

=∑仅差一个系数，故1

n n q ∞=∑也收敛，选(B)．

(4)【答案】(C)

【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1， 说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件． 【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *

秩之间的关系

()()()()1101

*n r A n r A r A n r A n =??

==-??

<-?

知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有

11(2)1(2)0010

a b b b b b b A b a b a b a b a b a b

b b a

b a

a b

==+=+--

2(2)()0a b a b =+-=

有02=+b a 或a b =．

当a b =时，

[][]()[][]()

2113

11000000b b b b b b A b b b b b b +?-+?-????????=→????

????????

显然秩()12A =≠， 故必有 a b ≠且02=+b a ． 应选(C)．

方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101

*

n r A n

r A r A n r A n =??==-??

<-?，

知()

1*

r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换

[][]()[][]()

2113

1100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +?-+?-????????=→--????

????--????

当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B)) 故a b ≠，这时

[]()[]()

[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++????????????→--→-→-??????

??????----??????

故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．

(5)【答案】(B)

【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现

形式．应注意是寻找不正确的命题．

【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有 02211≠+++s s k k k ααα ， 则s ααα,,,21 必线性无关.

因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得

02211=+++s s k k k ααα ，矛盾． 可见(A)成立．

(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数

s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立．

(C)

s ααα,,,21 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的

秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立．

(D)

s ααα,,,21 线性无关，

则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．

综上所述，应选(B)．

【评注】 原命题与其逆否命题是等价的． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数

s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关． 其逆否

命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．

(6)【答案】C

【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =

(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件：

(i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =??

【详解】方法1：因为{}112P A =

，{}212P A =，{}312P A =，{}41

4

P A =，且 {}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}241

4

P A A =，{}1230P A A A =，

可见有

{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =，

{}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．

故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)． 方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互

独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D)

{}{}{}{}{}234234111

0244

P A A A P P A P A P A =?=≠??=??

故(D)错，应选(C)．

三【详解】为使函数()f x 在1

[,1]2

上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1

x f x -

→，然后定义(1)f 为此极限值即可．

1

1

111

lim ()lim[]sin (1)

x x f x x x x πππ--

→→=+-- 1

1

11lim[]sin (1)x x x π

ππ-

→=

+--11(1)sin lim (1)sin x x x

x x

πππππ-

→--=+- 令1u x =-，则当1x -→时，0u +

→，所以

1

lim ()x f x -

→0

1

sin (1)

lim sin (1)

u u u u u πππ

ππ+

→--=+-

1

sin (1)

lim (sin cos cos sin )u u u u u u πππ

πππππ+

→--=

+??-?01sin (1)lim sin u u u u u πππ

ππ+

→--=+?

220

1

sin (1)lim u u u u πππ

π+

→--+等

2

01cos (1)

lim 2u u u

πππππ+

→+-+洛 22

01

sin (1)lim 2u u ππππ

+

→-+洛1

10ππ+== 定义π

1

)1(=

f ，从而有1

1

lim ()(1)x f x f π

-

→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)

1,2

1

[上连续，所以()f x 在]1,2

1[上连续．

四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ?ψ=的求导法则，得

221()()2x y g f xy f x u x v x ???- ?

??????=+?????f f y x u v

??=+??

221()()2x y g f xy f y u y v x ???- ?

??????=+?????.f f x y u v

??=-?? 从而

22222222222

22222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ????

??????=?+?++?+?????????????????????=+++

?????

22222222222

22222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v

??????????=?-?--?-?????????????????????=-+-

?????

所以 22222

2222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v

??????+=+++=++??????=.22y x +

五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．

作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有

2

22

22

2

2

()

22()

22222

220

sin()sin()sin sin sin .

2

x

y x

y D

D

t r r

r t I e x y dxdy e e x y dxdy

e e d r rdr d r dr e e tdt πππππ

π

ππθθπ-+--+=---=+=+=?=

=??????

?

记tdt e A t sin 0

?

-=

π

，则

0000sin cos cos cos t t t t A e tdt e d t e t e tdt ππππ

----??==-=-+????

???

0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππ

ππ-----??=---+=+--????

??=.1A e -+-π

因此 )1(21π

-+=e A ，).1(2

)1(2πππππe e e I +=+=

-

六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即

可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．

(2) 等比级数求和公式

20

1

1(11)1n n n x x x x x x ∞

==+++++=-<<-∑ 【详解】先对和函数21

()1(1)2n

n

n x f x n ∞

==+-∑求导

21

1

()(1)n

n n f x x

∞

-='=-∑22

21

(1)(1)n

n n n n n x x

x x ∞

∞

-===-=--∑∑

222

1()11n n x

x x x x x ∞=-=--=-?

=

++∑ 对上式两边从0到x 积分

20

0()1x

x

t f t dt dt t '=-+?

?

21()(0)ln(1)2

f x f x ?-=-+ 由(0)1f =， 得

21

()1ln(1)

(1).2

f x x x =-+<

为了求极值，对()f x 求一阶导数，22

12()211x x f x x x -'=-?=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =． 由于

2

22

1()(1)

x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f 由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．

七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．

【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有

)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +

2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -

可见()F x 所满足的一阶微分方程为

.4)(2)(2x e x F x F =+'

相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==． 方法2：由()()()F x f x g x =，有

)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+

2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-

又由.2)()(x e x g x f =+ 有()()2x f x g x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是

22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-

可见()F x 所满足的一阶微分方程为

.4)(2)(2x e x F x F =+'

相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==

(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程

()()dy

P x y Q x dx

+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -????=?+ ?

??

? 所以 ]4[)(222C dx e e e x F dx x

dx +???=?-=]4[42C dx e e x x +?

- =.22x x Ce e -+

将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-. 所以 .)(22x x e e x F --=

八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可． 条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于

13

)

2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最

值之间，最终用介值定理可以达到目的．

【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有

最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是

M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．

三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤ 从而 (0)(1)(2)1.3

f f f

m M ++≤

=≤

由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使

.13

)

2()1()0()(=++=

f f f c f

因为()(3)1f c f ==， 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(?∈c ξ，使.0)(='ξf

方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如

(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈?使.0)(='ξf 如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不

可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在

(,3)(0,3)ξη∈?，使.0)(='ξf 证毕．

九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值． 【详解】方程组的系数行列式

b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a A n n n n ++++=

3

2

13213213

21

23123

1231

2

3

1n

i

n i n i

n i n

i

n i n

i

n i b a a a a b a a b a a b a a a b a b a a a a b

====+++=

++++∑∑∑∑

23232312

3

1

1()1

1

n n n

i n i n a a a a b a a b a a a b a a a a b

=+=+++∑

2

31

10

00()0

000

n n i i a a a b b a b b

==+∑

=).(1

1

∑=-+n

i i n a b b (1) 当0A ≠，即0≠b 且01

≠+

∑=n

i i

a

b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．

(2) 当0b =时，0A =，原方程组的同解方程组为

.02211=+++n n x a x a x a

由

01

≠∑=n

i i

a

可知，),,2,1(n i a i =不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系

T a a )0,,0,1,(12

1 -

=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1

T n n a a -=α (3) 当∑=-

=n

i i

a

b 1

时，0A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为

1231

123112311

2

3

1n i

n

i n

i

n

i n

i

n i n

n i i a a a a a a a a a a A a a a a a a

a a a a ====?

?

-?????

?

-????=?

?-??

????????

-???

?∑∑∑∑

1231

1

11

11

1001(1)000

n

i

n i n

n

i

i

i i n

n

i i

i i n n

i i i i a a a a a a a a a a a =======?

?

-??

????

-??

??-?

?-??

????

????

-????∑∑∑∑∑∑∑

将第行的倍加到其余各行

1231

1211001

10101

01n

i

n i n i

i a a a a a n a ==?

?

-??

??

-??

-?

?-????

?

?

-??

∑∑ 从第行到第行同乘以倍

000()1

1001.2,3,,1

0001

001i i a i n ??

??--?????

?

=-????-??

将第行的倍加到第行，

由此得原方程组的同解方程组为

12x x =，13x x =，1,x x n = ．

原方程组的一个基础解系为

.)1,,1,1(T =α

十【分析】 特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．

【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200????

??????-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得 1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，

21230

||02

04212.02

a b

A a b b λλλ===--=--

解得1,2a b ==-．

(2) 求矩阵A 的特征值，令

21

020

2

(2)(3)02

2

E A λλλλλλ---=-=-+=-+，

得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ

对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-????????-??

，得基础解系

T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ

对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--????-????--??

，得基础解系

.)2,0,1(3T -=ξ

由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得

T )5

1,

0,5

2(

1=η，T )0,1,0(2=η，.)5

2,0,5

1(

3T -

=η

令矩阵

[

]12

30

0100Q ηηη???

==?

???，

则Q 为正交矩阵． 在正交变换X QY =下，有

??

??

?

?????-=300020002AQ Q T ，

且二次型的标准形为

.3222

32221y y y f -+=

【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：

二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为

)].2()2()[2(2

2

0022b a a b

b a

A E +----=+----=

-λλλλλλλ

设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得

1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ

解得1,2a b ==-．

第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．

十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论． 【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有

.131)(31

32

-==?

x dt t x F x

设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0

()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有

})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=

31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=

于是，()Y F x =的分布函数为

0,0,(),

01,1, 1.

y G y y y y

=≤

若若若

十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．

求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．

求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =．

全概率公式：如果事件1,,n A A 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >= 则对任一事件B 有

()1()(|)n

i i i P B P A P B A ==∑．

【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数

}{)(u Y X P u G ≤+=

{1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤= 0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．

由于X 和Y 相互独立，

所以 {1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-= 所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度

)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-