代数几何综合题

y= ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

B (4, 0),与过A点的直线相交于另一点D ( 3,旦)，过点D作DC丄x轴，垂

足为C.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P在线段0C上(不与点0、C重合)，过P作PN丄x轴，交直线AD于M , 交抛物线

于点N,连接CM，求△ PCM面积的最大值;

(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设0P的长为t,是否存在t,使以点M、C、

D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

2.如图1,抛物线y= ax2+2x+c与x轴交于A (- 4, 0), B (1, 0)两点，过点B的直线y= kx+

因分别与y轴及抛物线交于点C, D .

(1)求直线和抛物线的表达式;

(2)动点P从点0出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速

运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△ PDC为直角三角形？请直接写出所有

满足条件的t的值;

(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E, F

两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N,使

DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M, N的坐标；若不存在，请说明

理由

3.如图，已知抛物线 y =- X +bx+c 与一直线相交于 A (- 1, 交于点N .其顶点为D .

抛物线及直线AC 的函数关系式;

0), C (2, 3)两点，与y 轴

若P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△

APC 的面积的最大值. EF // 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点B , E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作

BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，

F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能,

求点E 的坐标；若不能，请说明理由;

4.如图1，抛物线y= ax2+ bx + c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O,点B(2,-)

3 和点C(- 3, - 3)均在抛物线上，点F(o,-)在y轴上，过点(0,?)作直线I与x轴平行.

4 4

(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式;

(2)设点D(x, y)是线段BC上的一个动点(点D不与B、C重合)，过点D作x

轴的垂线，与抛物线交于点G,设线段GD的长为h求h与x之间的函数关系式，并

求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少?

(3)若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物

线于另一点Q,过点Q作QS丄I,垂足为S,过点P作PN丄I,垂足为N,试判断△ FNS

的形状，并说明理由

;

5.如图，抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6 .

(1 )求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)连接BD, F为抛物线上一动点，当/ FAB= / EDB时，求点F的坐标;

(3)平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ当点P在x轴上，且PQ兮MN时，求菱形对角线MN的长.