整体法和隔离法讲义

物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法

编稿：李传安 审稿：张金虎

【考纲要求】

1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；

2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；

3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法；

4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。 【考点梳理】

要点一、整体法与隔离法

1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。

2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。

3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。

要点诠释： 处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。 要点二、正交分解法

当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：

x F ma =（沿加速度方向） 0y F = (垂直于加速度方向）

特殊情况下分解加速度比分解力更简单。

要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在x 轴和y 轴上；分别沿x 轴方向和y 轴方向应用牛顿第二定律列出方程。一般沿x 轴方向（加速度方向）列出合外力等于ma 的方程，沿y 轴方向求出支持力，再列出f N μ=的方程，联立解这三个方程求出加速度。 要点三、合成法

若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。

【典型例题】

类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例4】

例1、如图所示，质量为2m 的物块A ，质量为m 的物块B ，A 、B 两物体与地面的摩擦不计，在已知水平力F 的作用下，A 、B 一起做加速运动，A 对B 的作用力为________。

【答案】

3

F

【解析】取A 、B 整体为研究对象，与地面的摩擦不计，根据牛顿第二定律

=3F ma 3F a m

=

由于A 、B 间的作用力是内力，所以必须用隔离法将其中的一个隔离出来，内力就变成外力了，就能应用牛顿第二定律了。设A 对B 的作用力为N ，隔离B, B 只受这个力作用

33

F F N ma m m ==?

=。 【总结升华】当几个物体在外力作用下具有相同的加速度时，就选择整体法，要求它们之间的相互作用力，就必须将其隔离出来，再应用牛顿第二定律求解。此类问题一般隔离受力少的物体，计算简便一些。可以隔离另外一个物体进行验证。 举一反三

【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A 和B 紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力1F 和2F ，且12F F >，则A 施于B 的作用力的大小为（ ） A ． 1F B ．2F C ．

121()2F F + D ． 121

()2

F F - 【答案】 C

【解析】设两物体的质量均为m ，这两物体在1F 和2F 的作用下，具有相同的加速度为

12

2F F a m

-=

，方向与1F 相同。物体A 和B 之间存在着一对作用力和反作用力，设A 施于B 的作用力为N （方向与1F 方向相同）。用隔离法分析物体B 在水平方向受力N 和2F ，根据牛顿第二定律有2N F ma -= 2121

()2

N ma F F F ∴=+=

+ 故选项C 正确。 【变式2】如图所示，A 、B 两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B 受到的摩擦力 A ．方向向左，大小不变 B ．方向向左，逐渐减小 C ．方向向右，大小不变 D ．方向向右，逐渐减小 【答案】 A

【解析】考查牛顿运动定律处理连接体问题的基本方法。对于多个物体组成的物体系统，若系统内各个物体具有相同的运动状态，应优先选取整体法分析，再采用隔离法求解。取A 、B 系统整体分析有 ()()A B A B A f m m g m m a μ=+=+地， a g μ= B 与A 具有共同的运动状态，取B 为研究对象，由牛顿第二定律有：

AB B B f m g m a μ===常数

物体B 做速度方向向右的匀减速运动，故而加速度方向向左。

例2、质量为M 的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t 内前进的距离为s 。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F ，受到地面的阻力为自重的k 倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变。求：

（1）拖拉机的加速度大小。

（2）拖拉机对连接杆的拉力大小。 （3）时间t 内拖拉机对耙做的功。

【答案】（1）

2

2s

t

（2）212[()]cos s F M kg t θ-+ （3）22[()]s F M kg s t -+ 【解析】（1）拖拉机在时间t 内匀加速前进s ，根据位移公式 212s at =

① 变形得 22s

a t

= ② （2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，

拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力T ， 根据牛顿第二定律

cos F kMg T Ma θ--= ③ 联立②③变形得 212[()]cos s

T F M kg t

θ=

-+ ④ 根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为

212[()]cos s

T T F M kg t

θ'==

-+ ⑤ 拖拉机对耙做的功：cos W T s θ'= ⑥ 联立④⑤解得22[()]s

W F M kg s t

=-+

⑦ 【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。 类型二、正交分解在牛顿二定律中应用

物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为x 轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。

例3、如图所示，质量为0. 5 kg 的物体在与水平面成30o

角的拉力F 作用下，沿水平桌面向右做直线运动．经过0.5m ，速度由0. 6 m/s 变为0. 4 m/s ， 已知物体与桌面间的动摩擦因数μ=0.1，求作用力F 的大小。 【答案】0.43F N B

【解析】由运动学公式2

2

2v v ax -= 得 22

20

0.2/2v v a m s x -=

=-

其中，负号表示物体加速度与速度方向相反，即方向向左。 对物体进行受力分析，如图所示，

建立直角坐标系，把拉力F 沿x 轴、y 轴方向分解得

cos30x F F =o sin30y F F =o

在x 方向上，=cos30N F F F ma μ-=o

合 ① 在y 方向上，=0F 合，即 sin 30N F F mg +=o

②

联立①②式，消去N F 得 cos30(sin 30)F mg F ma μ--=o o

所以 ()

0.43cos30+sin 30

m a g F N μμ+=

o o

B 【总结升华】对不在坐标轴方向的力要正确分解，牛顿第二定律要求的是合外力等于ma ，一定要把合外力写对。不要认为正压力就等于重力，当斜向上拉物体时，正压力小于重力；当斜向下推物体时，正压力大于重力。 举一反三

【变式1】 如图所示，一个人用与水平方向成30θ=o

角的斜向下的推力F 推一个质量为20 kg 的箱子匀速前进，如图（a ）所示，箱子与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.40．求： （1）推力F 的大小；

（2）若该人不改变力F 的大小，只把力的方向变为与水平方向成30o

角斜向上去拉这个静止的箱子，如图（b ）所示，拉力作用 2.0 s 后撤去，箱子最多还能运动多长距离？（2

10/g m s =）。

【答案】 （1） F=120 N （2）2.88m

【解析】 （1）在图（a ）情况下，对箱子有1sin F mg N θ+= cos F f θ= 1f N μ= 由以上三式得F=120 N

（2）在图（b ）情况下，物体先以加速度1a 做匀加速运动，然后以加速度2a 做匀减速运动直到停止。对匀加速阶段有 21cos F N ma θμ-= 2sin N mg F θ=- 111v a t =

撤去拉力后匀减速阶段有32N ma μ= 3N mg = 2

122v as = 解得 2 2.88s m =

【变式2】质量为m 的物体放在倾角为α的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为μ，如沿水平方向加一个力F ，使物体沿斜面向上以加速度a 做匀加速直线运动（如图所示），则F 为多少？ 【答案】(sin cos )

cos sin m a g g F αμααμα

++=

-

【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。

（1）受力分析：物体受四个力作用：推力F 、重力mg 、支持力N F ，摩擦力f F 。 （2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x 轴正向，分解F 和mg （如图所示）： （3）建立方程并求解

x 方向： cos sin f F mg F ma αα--= y 方向： cos sin 0

N F mg F αα--=

f N F F μ=

三式联立求解得 (sin cos )

cos sin m a g g F αμααμα

++=

-

【变式3】如图(a)质量m ＝1kg 的物体沿倾角θ＝37?的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图(b)所示。求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ； （2）比例系数k 。

(2

10/g m s =sin 530.8=o ，cos530.6=o

）

【答案】（1）0.25μ= （2）0.84/k kg s =

【解析】 （1）对初始时刻：0sin cos mg mg ma θμθ-= ○

1 由图读出2

04/a m s = 代入○

1式， 解得：0

sin 0.25cos g ma g θμθ

-==；

（2）对末时刻加速度为零： sin cos 0mg N kv θμθ--= ○

2 又 cos sin N mg kv θθ=+ 由图得出此时5/v m s = 代入○2式解得： k ＝mg （sin θ－μcos θ）

v （μsin θ＋cos θ

＝0.84kg/s 。

分解加速度：

分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x 轴正向时，其它

力都落在两坐标轴上而不需再分解。

例4、如图所示，电梯与水平面间夹角为30o

，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？ 【答案】3

5

N F mg =

【解析】对人受力分析：重力mg ，支持力N F ，摩擦力

f （摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推

知f 水平向右）。

建立直角坐标系：取水平向右（即F 的方向） 为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向（如图）， 此时只需分解加速度，

其中cos 30x a a =o sin30

y a a =o

（如图所示） 根据牛顿第二定律有 x 方向： cos30x f ma ma ==o

①

y 方向： sin30N y F mg ma ma -==o

② 又 65

N F mg =

③ 解①②③得 35f mg = 。

【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，

如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。

例5、(2014 武汉模拟)如图甲所示，在风洞实验室里,一根足够长的固定的均匀直细杆与水平方向成θ=37°角，质量m =1kg 的小球穿在细杆上且静止于细杆底端O 处，开启送风装置，有水平向右的恒定风力F 作用于小球上，在t 1=2s 时刻风停止。小球沿细杆运动的部分v-t 图像如图乙所示，g 取10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，忽略浮力。求：

(1)小球在0～2s 内的加速度a 1和2～5s 内的加速度a 2。 (2)小球与细杆间的动摩擦因数μ和水平风力F 的大小。

【答案】(1)15m/s 2，方向沿杆向上 10m/s 2，方向沿杆向下 (2)0.5 50N 【解析】 (1)取沿细杆向上的方向为正方向，由图像可知： 在0～2s 内，210

11

15m/s v v a t -=

=(方向沿杆向上) 在2～5s 内，221

22

10m/s v v a t -=

=-(“–”表示方向沿杆向下)。 (2)有风力F 时的上升过程，由牛顿第二定律，有

F cos θ-μ(mg cos θ+F sin θ)-mg sin θ=ma 1 停风后的上升阶段，由牛顿第二定律，有

-μmg cos θ-mg sin θ=ma 2

联立以上各式解得μ=0.5，F =50N 。

类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用

例6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动，不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为m 的土豆A 受其它土豆对它的总作用力大小应是（ ）

A. mg

B. mg μ

C. 21mg μ+

D. 21mg μ- 【答案】C

【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为M Mg Ma μ= a g μ=

箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个 质量为m 的土豆，合力大小为ma ，方向水平向左，一个土豆受重力， 把其它土豆对它的总作用力看成一个力F ，二力不平衡，根据合成法原理， 作出力的平行四边形，可知F 是直角三角形的斜边，

22222()()()()1F mg ma mg m g mg μμ=+=+=+ 所以C 正确。

【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。 举一反三

【变式】(2014 上海高考)如图，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a 的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s ，运动过

程中的最大速度为v 。

(1)求箱子加速阶段的加速度大小a ′。

(2)若a >g tan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。 【解题指南】解答本题注意以下两点:

(1)利用匀变速直线运动公式求箱子加速阶段的加速度a′; (2)先判断球受箱子作用力的情况,再列方程求解。

【答案】 (1)错误!未找到引用源。 2

2

2av as v - (2)0 m (a cot θ-g )

【解析】 (1)由匀变速直线运动公式有:v 2=2a ′s 1、v 2=2as 2，且s =s 1+s 2，解得:

2

2

2v as av a -='。

(2)假设球不受箱子作用，应满足: N sin θ=ma ，N cos θ=mg ，解得:a =g tan θ。

减速时加速度向左，此加速度由斜面支持力N 与左壁支持力F 左共同决定，当a >g tan θ，F 左=0，

球受力如图所示，在水平方向上根据牛顿第二定律有N sin θ=ma ，在竖直方向有N cos θ-F 上

=mg ，解得: F 上=m (a cot θ-g )。

【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例3】

例7、如图所示，质量为0.2kg 的小球A 用细绳悬挂于车顶板的O 点，当小车在外力作用下沿倾角为30°的斜面向上做匀加速直线运动时，球A 的悬线恰好与竖直方向成30°夹角。

g = 10m/s 2，求：

（1）小车沿斜面向上运动的加速度多大？

（2）悬线对球A 的拉力是多大？

（3）若以（1）问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角θ＝？

【答案】（1）2

/10s m （2）N 32 （3）600；

【解析】解法一：用正交分解法求解

（1）（2）A 受两个力：重力mg 、绳子的拉力T ，根据牛顿第二定律列出方程 沿斜面方向： cos30sin 30T mg ma -=o

o

（1） 垂直于斜面方向： sin 30cos30T mg =o

o

（2）

解得 23T N =， a =2

/10s m

解法二：用合成法求解

小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。

拉力与竖直方向成30o 角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为30o

角，合力大小为ma ，如图，三角形为等腰三角形，所以：ma mg =， 2

10/a g m s ==。

由几何关系得拉力 2cos3023T mg N ==o

（3）用合成法求解

小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角 为θ,竖直向下的重力加速度为g,沿斜面向下的加速度为

a =2/10s m =g,从图中几何关系可看出二者的夹角为60o ,则细线的

方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角60θ=o

。

【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往

已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。 【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例2】

例8、如图所示，一质量为0.2kg 的小球用细绳吊在倾角为θ=53o 的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T ：

（1）斜面以2

5/m s 的加速度水平向右做加速运动； （2）斜面以210/m s 的加速度水平向右做加速运动； （3）斜面以210/m s 的加速度水平向右做减速运动； 【答案】（1）N N N T 4.0,2.211== （2）20N =2 2.83T N

= 45α=o

（3）N

N N T 8.2,4.033==

【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当a 较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a 增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当a 增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a 继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度2

5/a m s =，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为0a ，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。

0cot mg ma θ= 代入数据解得：207.5/a m s =

（1）斜面以2

5/m s 的加速度水平向右做加速运动，0a a <，小球没有离开斜面， 小球受力：重力mg ，支持力1N ,绳拉力1T ,进行正交分解， 水平方向： 11cos sin T N ma θθ-= 竖直方向： 11sin cos T N mg θθ+= 解得N N N T 4.0,2.211==；

（2）因为2

010/a m s a =>，所以小球已离开斜面，斜面的支持力20N =， 由受力分析

可知，细绳的拉力为 (图中F ma =) 2

2

2()()22 2.83T mg ma N N =+== 此时细绳拉力2T 与水平方向的夹角为 arctan

45mg

ma

α==o （3）斜面以10m/s 2的加速度水平向右做减速运动,加速度方向向左，与向左加速运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力的平行四边形，合力向左，重力竖直向下， 0

tan ma mg

θ'=

0a '为绳子拉力为零的临界加速度 220

40

tan /10/3

a g m s m s θ'==>，所以绳子有拉力。 小球受力：重力mg ，支持力3N ,绳拉力3T ,进行正交分解， 水平方向： 33sin cos N T ma θθ-= 竖直方向： 33cos sin N T mg θθ+=

解得N N N T 8.2,4.033==。 解法二：采用分解加速度的方式

x 方向： sin cos mg T ma θθ-=

所以 sin cos 0.4T mg ma N θθ=-=

2.8N N =

在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。

【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题，临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷，在针对两个未知力垂直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快。