电磁场与电磁波习题答案第9章
第九章
9-1 推导式（9-1-4）。
解 已知在理想介质中，无源区内的麦克斯韦旋度方程为
E H ωεj =??， H E ωμj -=??
令 z z y x H H H e e e H y x ++=， z z y x E E E e e e E y x ++= 则
???? ????-??+???
????-??+???? ????-??=??y H x H x H z H z H y H x y z z x y z e e e H y x ???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??y E x E x E z E z E y E x y z z x y z e e e E y x 将上式代入旋度方程并考虑到z k z
j -=??
，可得
x y z z
H E k y
E ωμj j -=+?? y z
x z H x
E E k ωμj j -=??-
-
z x
y H y
E x
E ωμj -=??-
??
x y z z
E H k y
H ωεj j =+?? y z
x z E x
H H k ωεj j =??-
-
z x
y E y
H x
H ωεj =??-
?? 整理上述方程，即可获得式（9-1-4）。
9-2 推导式（9-2-17）。
解 对于TE 波，()()z k z z z z y x H z y x H E j 0,,, ,0-==。应用分离变量法，令
()()()y Y x X y x H z =,0
由于()y x H z ,0满足标量亥姆霍兹方程，得
()()()()0d d 1d d 12
2
222=++c k y
y Y y Y x x X x X 此式要成立，左端每项必须等于常数，令
()()2
22d d 1x k x x X x X -=；
()()2
2
2d d 1y k y y Y y Y -=
显然，22
2c y x k k k =+。由上两式可得原式通解为
()()()y k B y k B x k A x k A y x H y y x x z sin cos sin cos ,21210++=
根据横向场与纵向场的关系式可得
()()()y k B y k B x k A x k A k k y x E y y x x c
y x cos sin sin cos j ,21212
0+-+-=ωμ ()()()y k B y k B x k A x k A k k y x E y y x x c
x y sin cos cos sin j ,21212
0++--
=ωμ
因为管壁处电场的切向分量应为零，那么，TE 波应该满足下述边界条件：
()0,,00==b y x y x E ；
()
0,,00==a
x y y x E
将边界条件代入上两式，得
b n k A y π
=
=,02 ,2,1,0=n a m k B x π
==,02 ,2,1,0=m
故z H 的通解为
()z
k z z e
y b n x a m H z y x H j 0cos cos ,,-??
? ????? ??=ππ 其余各分量分别为
()z
k c z x z e y b n x a m a m k H k z y x H j 20cos sin j ,,-??? ????? ????? ??=πππ ()z k c z y z e y b
n x a
m b n k H k z y x H j 20sin cos j
,,-??
?
????? ?????
??=ππ
π
()z
k c
x z e y b n x a m b n k H z y x E j 2
0sin cos j
,,-??? ?????
?????
??=πππωμ ()z k c
y z e y b
n x a
m a m k H z y x E j 2
0cos sin j ,,-??
?
????? ?????
??-=ππ
πωμ
9-3 试证波导中的工作波长λ、波导波长g λ与截止波长c λ之间满足下列关系
2
221
1
1
λ
λ
λ
=
+
c
g
解 已知波导中电磁波的波长为
???
????????
?
??-=?
???
? ??-=
2
22
2
111
1c
g c
g λλλλλλλ
λ 则
222
2221
111
1
c c
g λλλλ
λλλ-=???
? ??-= 即 2
2
2
1
1
1
λ
λλ=
+
c
g
9-4 已知空气填充的矩形波导尺寸为cm 4cm 8?，若工作频率GHz 735.7=f ，给出可能传输的模式。若填充介质以后，传输模式有无变化？为什么？ 解 当内部为空气时，工作波长为()mm 78.38==f
c
λ，则 截止波长为
()mm 25.08022
2
2
2
n
m b n a m c +=
??
? ??+??? ??=
λ
那么，能够传输的电磁波波长应满足c λλ<，若令2225.0n m k +=，则k 应满足
256.4 由此可见，能够传输的模式为 12 12023131212111110140302010TM ,TE ,TE ,TM ,TE ,TM ,TE ,TM ,TE ,TE ,TE ,TE ,TE ,TE 填充介质以后，已知介质中的波长为r ελ λ= '，可见工作波长缩短，传输模式增多，因此除了上述传输模式外，还可能传输其它高次模式。 9-5 已知矩形波导的尺寸为b a ?，若在0≥z 区域中填充相对介电常数为r ε的理想介质，在0 解 已知波导中沿z 轴传输的10T E 波的电场强度为 z k i oy i y z e x a E j )sin( -=π y e E 那么，反射波和透射波的电场强度可分别表示为 z k r oy r y z e x a E j )sin( π y e E =；kz t oy t y e x a E j )sin( -=π y e E 式中 2 00 021?? ? ??-=a k z λεμω；2 21??? ??-=a k λμεω 考虑到边界上电场强度与磁场强度的切向分量必须连续的边界条件，因而在0=z 处，获知 t ox r ox i ox t oy r oy i oy H H H E E E =+=+ ; 根据波阻抗公式，获知z < 0和z > 0区域中的波阻抗分别为 t ox t oy TE r ox r ox i ox i oy TE H E Z H E H E Z -==- =+ - ; 将场强公式代入，得 2 00 21?? ? ??-= -a Z TE λεμ，0 21? ? ? ??-= + a Z TE λεμ，0>z 根据上述边界条件，得 +--- =+ - TE t oy TE r oy TE i oy Z E Z E Z E 那么，0=z 处的反射系数及透射系数分别为 - + -++-==TE TE TE TE i oy r oy Z Z Z Z E E R ; - + ++==TE TE TE i oy t oy Z Z Z E E T 2 反射波与透射波的电场强度分别为 z k i oy r y z e x a RE j )sin( π y e E =; kz i oy t y e x a TE j )sin( -=π y e E 根据H E 0j ωμ-=??，可得反射波的磁场强度为 z k i oy z r y r x z x a RE k z E H j 00sin j 1 ? ? ? ??=??=πωμωμ z k i oy r y r z z x a RE a x E H j 00cos 1j j 1 ?? ? ????? ??=??-=π πωμωμ 根据H E ωμj -=??，可得透射波的磁场强度 kz i oy t y t x x a TE k z E H j sin j 1-??? ??-=??=πωμωμ kz i oy t y t z x a TE a x E H j cos 1j j 1-??? ????? ??=??-=ππωμωμ 9-6 试证波导中时均电能密度等于时均磁能密度，再根据能速定义，导出式（9-4-9）。 解 在波导中任取一段，其内复能量定理式（7-11-14）成立。考虑到波导为理想导电体，内部为真空，因此内部没有能量损耗。因此式（7-11-14）变为 []V w w V eav mav S c d )()(2j d )(??-=?-r r S r S ω 因为流进左端面的能量应该等于流出右端面的能量，故上式左端面积分为零， 因而右端体积分为零。但是右端被积函数代表能量，只可能大于或等于零，因此获知 )()(r r eav mav w w = 已知能速的定义为av av e w S v = ，对于TE 波，波导中平均能量密度为 [ ] 2 2 2y x eav mav eav av E E W W W W +==+=ε 波导中能流密度平均值仅与场强的横向分量有关。对于TE 波，能流密度的平均值为 2 2 2 2 y x y x av H H E E S ++= 波导中电场和磁场的横向分量关系为 2 1??? ? ??-===c TE x y y x Z H E H E λλε μ 将上述结果代入，求得TE 波的能速为 2 2 TE 111??? ? ??-=??? ? ??-= ==c c av av e v Z W S v λλμε λλε 同理对于TM 波也可或获得同样结果。 9-7 试证波导中相速p v 与群速g v 的关系为 g p g p g d dv v v λλ-= 解 根据群速的定义k v g d d ω =，对于波导，z k k =。又知波导的相位常数与相速的关系为 p z p z v k v k =?= ωω ，则 ()z p z p z p z z g k v k v k v k k v d d d d d d +===ω 根据波导波长与相位常数的关系，得 g g z g z k k λλπ λπ d 2d 22 - =?= 则 g p g p g p g g p g v v v v v λλλπλλπd d d d 222-=???? ??-+= 9-8 推导式（9-6-3） 解 将麦克斯韦旋度方程E H ωεj =??，H E ωμj -=??在圆柱坐标系中展开，得 ()???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=φφωεφφφr z z r z H r r rH r r H z H z H H r 111j e e e E r ()???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=-φφωμφφφr z z r z E r r rE r r E z E z E E r 111j e e e H r 将z z r E E E e e e E r ++=φφ代入上式，并考虑到 z k z j -=?? ，得 r z z E H k H r ωεφφj j 1=+??；φωεE r H H k z r z j j =??--；()z r E H r r rH r ωεφφj 11=??-?? r z z H E k E r ωμφφj j 1-=+??；φωμH r E E k z r z j j -=??--；()z r H E r r rE r ωμφ φj 11-=??-?? 上式整理后，即可求得横向分量的表示式为 ???? ????+??- =φωμz z z c r H r r E k k E j j 12 ??? ? ? ???+??-= r H E r k k E z z z c ωμφφj j 12 ???? ????-??= r H k E r k H z z z c r j j 12φωε ???? ? ???+??- =φωεφz z z c H r k r E k H j j 12 其中 2 22 z c k k k -= 9-9 推导式（9-6-18） 解 对于TE 波，()()z k z z z z e r H z r H E j 0,,, ,0-==φφ 建立圆柱坐标系，z H 0满足的亥姆霍兹方程为 01102 20220202=+??+??+??z c z z z H k H r r H r r H φ 令()()()φΦφr R r H z =,0，代入上式，得 ()()()()()()2 22 2222d d 1d d d d φφφΦΦr k r r R r R r r r R r R r c - =++ 令方程两边等于2 φk ，获得下述两个常微分方程： ()()0d d 2 2 2=+φφ φφΦk Φ ()()() ()0d d d d 2222 22 =-++r R k r k r r R r r r R r c φ 其中()φΦ的通解为 ()φφφφφk B k B Φsin cos 21+= 由于z H 0随角度φ的变化周期为2π，因此，φk 必须为整数。即 ()φφφm B m B Φsin cos 21+= 式中m = 1,2,3?。考虑到圆波导具有旋转对称性，0=φ的坐标轴可以任意确定，总可适当选择0=φ的坐标轴，使上式中的第一项或第二项消失，因此，上式可表示为 ()?? ?=φφ φm m B Φsin cos ,2,1,0=m ()r R 的通解为 ()()()r k A r k A r R c c m 2m 1N J += 考虑到圆波导中心处的场应为有限，但0=r 时，()-∞→0N m ，故常数02=A ，即()()r k J A r R c m 1=。因此()z r H z ,,φ的通解为 ()()z k c z z e m m r k B A z r H j m 1sin cos J ,,-???=φ φφ 那么，根据圆波导的横向分量的纵向场分量表示式，即可求得各个分量 φφH H E E r r ,,,的表示式。 9-10 已知空气填充的圆波导直径m m 50=d ，若工作频率GHz 725.6=f ，给出可能传输的模式，若填充相对介质常数4=r ε的介质以后，再求可能传输的模式。 解 当圆波导内为空气时，工作波长为 ()mm 6.4410725.61039 8 =??==f c λ 已知TM 波的截止波长为mn c P a πλ2= ，因此能够传输的模式对应的第一类柱贝塞尔的根P mn 必须满足下列不等式 52.32 ?>mn mn c P a P λ πλλ 由教材表9-6-1可见，满足上述条件的只有P 01因此只有01T M 波存在。 TE 波的截止波长为mn c P a '= πλ2，那么能够传输的模式对应的第一类柱贝塞尔的导数根mn P '必须满足下列不等式 52.3<'?>m n c P λλ 由教材表9-6-2可见，满足上述条件的只有11P '和21P '，因此只有11T E 和21T E 波可以传输。 填充介电常数为4=r ε理想介质后，工作波长为()mm 3.22== 'r ελ λ，则能够传输的TM 模式对应的第一类柱贝塞尔的根P mn 必须满足下列不等式 04.72 ?'>'mn mn c P a P λ πλλ 由 教 材 表 9-6-1 可见，满足上述条件的模式为 波波，波，波，波，2112110201TM TM TM TM TM 。 能够传输的TE 模式对应的第一类柱贝塞尔的导数根mn P '必须满足下列不等式 04.72<'?'>'= 'mn mn c P P a λπλ 那么，由原书表9-6-2可见，满足上述条件的模式为 波波，波，波，波，波，222112110201TE TE TE TE TE TE 。 9-11 当比值)/(c f f 为何值时，工作于主模的矩形波导中波导壁产生的损耗最小？（指获得最小衰减常数k ''）。 解 当矩形波导传播10TE 波时，其衰减常数为 ? ?? ? ???????? ??-???? ??+=???????????? ??+??? ? ??-= ''22 22 12211f f f f f f b a A f f a b f f R k c c c c c S εμ 式中A 仅与波导的参数有关。令f f x c = ，则求k ''的最小值问题转化为求函数()() 2 212x x bx a x M -+= 的最小值问题。由 0d d =x M ，得()036224=++-a x a b bx ，解此方程，得 ()()b ab a b a b x 48363622 -+±+= 若取()()148363622 >-+++= b ab a b a b x ，则012<-x 。由于0>x ，则()012<-x x 。 故 ()()b ab a b a b x 48363622-+++= 不合理。应取 ()()b ab a b a b x 48363622 -+-+= 即 ()()2 12483636?? ? ? ?? ??-+-+=b ab a b a b x 得 ()()2 12483636- ?? ? ? ? ?? ?-+-+=b ab a b a b f f c 9-12 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为cm 4.3cm 2.7?，工作于主模，工作频率GHz 3=f 。试求：① 截止频率、波导波长及衰减常数；② 当场强振幅衰减一半时的距离。 解 当工作于主模10T E 波时，则截止频率为 Z c GH a c f 08.210 2.7210322 8 =???==- 波导波长为 ()cm 89.132.7210110212 2 =?? ? ???-= ?? ? ??-= a g λλ λ 因矩形波导为空气填充，故仅需考虑波导壁产生的衰减，则衰减常数为 ????? ?????? ??+??? ??-= ''220 022121a a b a R k S λλεμ 对于铜制波导，波导壁表面电阻f R S 7 1061.2-?=，则 ()m N 1026.2221211201061.2P 3227 --?=???? ? ?????? ??+? ? ? ??-?=''a a b a b f k λλπ 设场强衰减一半时的距离为d ，由2 1 =''-d k e ，求得 ()m 25.307=d 9-13 已知空气填充的铜质圆波导直径m m 50=d ，工作于主模，工作频率 GHz 4=f ，试求，① 截止频率、波导波长及衰减常数；② 当场强衰减一半的 距离。 解 当圆波导工作于主模11T E 波时，则截止频率为 ()Z 16311GH 52.3109 1 10252841 .12=?? ??= '= --πεμ πa P f c 波导波长为 ()cm 79.1510 52.3410319 2 2 82 2 2 =?-?= -= ??? ? ??-= c c g f f c f f λ λ 由于波导是空气填充,因此只需考虑波导壁的损耗。根据衰减常数k ''的定义，求得 ???? ??-'+=''121122P k k k ak R k c z S ε μ 其中波导壁表面电阻()Ω=?=-016.01061.27 f R S 波数 () 1 8 9m 73.8310 3110422-=????== πεπc f k r 传播常数 () 1 2 22 112m 85.39025.0841.173.83-=??? ??-=?? ? ??'-=a P k k z 截止传播常数()111 m 64.73-='= a P k c ，那么，求得 ()m N 00425 .0P =''k 设场强衰减一半时的距离为d ，由2 1 = ''-d k e ，求得 d = 163（m ） 9-14 已知空气填充的矩形波导尺寸为m m 10m m 20?，工作频率GHz 10=f 。若空气的击穿场强为)V/m (1036?，试求该波导能够传输的最大功率。 解 由于波导是空气填充，故工作波长为 ()m 03.010101039 8 =??==f c λ 已知()m 02.0=a ，为了满足a a 2<<λ，该波导只能传播10T E 波，其截止波长为 ()m 04.002.01222 2 2 =?? ? ??= ?? ? ??+??? ??= b n a m c λ 此时，矩形波导能够传输的最大功率为TE b b Z abE P 42 =，式中b E 为波导中空气的击 穿强度，()m V 1036?=b E 。 又知该矩形波导的波阻抗 ()Ω=?? ? ??-= ??? ? ??-= 67.56904.003.0112012 2 πλλc TE Z Z 求得该矩形波导能够传输的最大功率为 () ()MW 79.067 .569410301.002.02 6 =????= b P 9-15 若波导中填充介质的参数为σμε,,，试证由于填充介质产生的衰减常数为 2 12??? ? ??-??? ? ??=''f f k c εμσ 解 当波导中填充的媒质具有一定的电导率时，可以引入等效介电常数，即令??? ? ? -=-=ωεσεωσεεj 1j e 。因此，波导中的波数μεωe e k =。 已知 2 22 222??? ? ??-=-=c e c e z k k k λ πμεω，εμω=k 那么 ??? ????????? ??--=???? ????? ??-??? ??-=2 2 22 22j 12j 1c c z k k k λλωεσλλλπωεσ 2 2 21j 11j 1??? ? ??--??? ? ??-=-???? ??-=f f f f k f f k k c c c z ωε σ ωεσ 考虑到通常σ << ωε，上式可简化为 22 22121j 1121j 11??? ? ??-+???? ??-=??????? ??????????? ??--???? ? ? -≈f f k f f k f f f f k k c c c c z ωεσωεσ令传播常数 k k k z ''+'=j ，那么，衰减常数为 2 212112 1 ??? ? ??-=??? ? ? ?-=f f f f k k c c z εμσωε σ 9-16 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为m m 10m m 5.22?，工作于主模，工作频率G H z 10=f 。若该波导传输功率为kW 1，试求：① 波导壁产生的衰减常数；② 波导中电场及磁场强度的最大值；③ 波导壁上电流密度的最大值；④ 每米长度内的损耗功率。 解 ①已知工作于主模的空气填充的矩形波导，波导壁产生的衰减常数为 ??????? ???? ??+?? ? ??-= ''220022121a a b a b R k S λλεμ 式中波导壁的表面电阻()Ω?=?=--27 1061.21061.2f R S ，工作波长 ()m 03.0== f c λ，那么衰减常数为 ()m N 013.05.2223015.222305.22102101 .01201061.2P 2 2 2 =? ? ? ???-? ? ? ????+??= ''-πk ②设波导中的复能流密度为c S ，横截面为S ，则波导中的传输功率为 ()()S S P S c S d R d R e e ??=?=S S c 由于波导中填充理想介质，波阻抗TE Z 为实数，横向电场与横向磁场的相位相同，则 ()EH S c =e R 。 已知矩形波导中10T E 波强度的横向分量为 ??? ????? ??= =x a a k H E E c y ππωμsin 22 0 ?? ? ????? ??= =x a a k H k H H c z x ππsin 22 0 考虑到a k c π = ，则由上述场强公式求得 2 0?? ? ??=πωμaH ab k P z 因 ()m rad 1.15612 =??? ? ??-=f f k c z μεω 则 ()W 1024.142 02H P -?= 那么，当传输功率P = 1000(W)时，则 ()m A 8.830=H 由此求得波导中电场及磁场强度的最大值分别为 ()m V 4.669822 02 max ==H a k E c y π ωμ ()m A 5.11820max ==H H z ()m A 5.1322 02max ==H a k k H c z x π ③根据波导壁上磁场分量，即可求得波导壁上的表面电流。窄壁上表面电流为 ()z k t H H H z z z z x s --=-=?==ωsin 200y y x e e e e J ()z k t H H H z z z z a x s --==?-==ωsin 20y y x e e e e J 其最大值为 ()m A 5.11820max max =====H a x s x s J J 宽壁上表面电流为 ()z x z x y s H H H H x z z x 0 e e e e e J y +-=+?== ()z x z x b y s H H H H x z z x y e e e e e J -=+?-== 因此，宽壁上表面电流的振幅为 [ ] 2 1 222 2 02 122 0sin 112 ??? ? ??????? ?????? ??-+=+====a x a k H H H z z x b y y ππJ J 2 120sin 25.012??? ?? ???? ??+=a x H π 令()?? ? ??+=a x x F π2sin 25.01，则 ()?? ? ????? ??=x a x a a x x F π π πcos sin 2d d 由 ()0d d =x x F ，获知0=x ，2 a ，a 为极点。又因 ()?? ? ??=x a a x x F ππ2cos 2d d 2222 计算表明，当12cos 0=?? ? ??=x a x π 时，，()0d d 2 2>x x F ； 当12cos 2-=?? ? ??=x a a x π时，，()0d d 2 2 ? ??=x a a x π 时，，()0d d 2 2>x x F 。 由此可见，当2 a x = 时，即宽边中部()x F 取得最大值，求得表面电流最大值为 ()m A 5.13225.0120max max 0=+====H b y s y s J J ④因 k z z e ''-===0H H ，损耗功率 k z z e P P ''-===20 ，那么，单位长度内的损耗功率为 ()() ()W 66.251100011013.0220=-?=-=???-''-=e e P P k z 9-17 试证式（9-8-8）。 解 已知表面电流H e J s ?=n ，式中n e 为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么，表面电流的大小为t s H J =，式中t H 表示表面磁场的切向分量。因此，损耗功率为 s R s R P S S S S l d d 2 2 ??==t s H J 此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积，即 { ? ?? ? ==+=b a d b x z z x S l z y H y x H R P 00 02 020d d 2d d 2 ? ??????? ?++? ? ==z x H H d a y z y x d d 20 2 20 已知式中 ?? ? ??= =x a H a k H z z x ππ22 2 22 2 0sin 4 ()z k H H z x z 22 02 0sin 4== ()?? ? ??= =x a z k H a k H z z y x ππ222 2 2220 sin cos 4 ()?? ? ??==x a z k H H z y z π222 020 cos sin 4 则 20232 2 2 300 2 022d d H d b a H bk a y x H z b a z x == ?? =π 2 00 2 02d d bdH z y H d b x z =?? = 2030 20 20 d d H ad d a z x H H d a y z y x ??? ? ??+=????? ?+?? == 代入后，求得 ??? ? ??+++=233332 0222d ad d a b d b a H R P S l 9-18 推导式（9-8-10）及式（9-8-12）。 解 当圆波导传播TM 波时，则 2 2 2 ?? ? ??-=a P k k mn z 若谐振腔的长度为l ，则d l k z π = 。那么， 2 2 2?? ? ??+??? ??=a P d l k mn π 又知μεπf k 2=，则谐振频率为 2 2212?? ? ??+??? ??= = a P d l k f mn TM πμεπμε π 同理，对于TE 波的圆柱谐振腔，可以证明谐振频率为 2 2212?? ? ??'+??? ??= = a P d l k f mn TE πμε πμε π 9-19 已知矩形波导谐振腔的尺寸为cm 5cm 6cm 8??，试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。 解 已知矩形波导谐振腔的谐振频率为 2 2 2 21?? ? ??+??? ??+??? ??= d l b n a m f mnl με 当腔内为真空时，根据题中给定的尺寸，则谐振频率为 2 2210 56810 5.1?? ? ??+??? ??+??? ???=l n m f mnl 那么，发生谐振的4个最低模式为TM 110，TE 101，TE 011，TE 111和TM 111，对应的谐振频率分别为 ()GHz 125.3110=f ； ()GHz 54.3101=f ()GHz 91.3011=f ； ()GHz 33.4111=f 9-20 已知空气填充的圆波导半径为10mm ，若用该波导形成谐振腔，试求为了使30GHz 电磁波谐振于TM 021模式所需的波导长度。 解 已知圆波导谐振腔工作于TM 波时，其谐振频率为 2 221?? ? ??+??? ??= a P d l f mn TM πμεπ 若要求52.5 mm,10 ,GH 3002TM ===P a z f ，令腔长为半波导波长，即l = 1，那么，谐振腔的最短长度d 由下式 2 2 89 01.052.5105.11030?? ? ??+??? ???=?d ππ 求得 d = 10.5(mm) 9-21 已知空气填充的矩形波谐振腔尺寸为cm 60cm 25.15cm 2??，谐振模式为TE 102，在保证尺寸不变条件下，如何使谐振模式变为TE 103。 解 已知矩形谐振腔的谐振频率为 2 2 2 21?? ? ??+??? ??+??? ??= d l b n a m f mnl εμ 由此可见，改变腔内介质的介电常数即可变更谐振腔的谐振频率。当腔内充满空气时，谐振于102T E 模式的谐振频率为 2 2 102 212?? ? ??+??? ??=d a c f 若腔内充满介质，谐振于103T E 模式的谐振频率为 2 2 103312?? ? ??+??? ??= d a c f r ε 由f 102 = f 103，求得填充介质的相对介电常数 52.1=r ε。 9-22 试证波导谐振腔中电场储能最大值等于磁场储能最大值。 解 波导谐振腔内的电磁场应该满足无源区中的麦克斯韦方程，即 ()()r E r H ωεj =?? ()()r H r E ωμj -=?? 设谐振腔的体积为V ，则电场最大储能为v W V e d 2 12 E ε?=，磁场最大储能 为v W V m d 2 12 ?=H μ，那么 ()()?? ??==V V m v v W d 21d 212 22r E r H μωμ 因 ()()[]{} ()()()()r E r E r E r E r E r E ***?????-?????=????? ()()()r E r E r E *?????-??=2 故 ()()()[]{} ()()v v v V V V d d d 2 r E r E r E r E r E **?????+?????=????? ()()[]()()v V S d d r E r E s r E r E *?????+????=?? ()()[]()()v s V S d d r E r E e r E r E *n ?????+????=?? 利用矢量恒等式C B A C B A ??=??，则式中第一项积分的被积函数可改写为 ()()[]()()[]()()[]r E r E e r E r E e e r E r E i i n i i n n i i ????=????=???? 由于腔壁上电场强度的切向分量为零，即 ()0=?r E e n 故面积分 ()()[]0d =?????s S n e r E r E ，则 ()()()v v V V d d 2 r E r E r E *?????=???? 考虑到 ()()()r E r H r E εμωωμ2j =??-=???? 则 ()()()()()e V V V V m W v v v v W ==?=??==???? d 21d 21d 21d 212 *2 22r E r E r E r E r H εεμ ωμ 9-23 已知空气填充的黄铜矩形谐振腔的尺寸为cm 3===c b a ，谐振模式为TE 111，黄铜的电导率)S /m (105.17?=σ，试求该谐振腔的品质因素。 解 矩形波导中11T E 波的电场与磁场的各分量为 z k c z x z e y b x a a k H k H j 2 0cos sin j -?? ? ????? ??=πππ 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人： 实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A 5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< < A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28 《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为 1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1)); 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 邮电大学 电磁场与微波测量实验报告 实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。 为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号： 实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分 布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s)(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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