构建深度学习的数学课堂

构建深度学习的数学课堂

活动背景 随着《中国学生发展核心素养》总体框架的发布，数学课堂学生发展核心素养成了一线教师课堂教学追求的目标。但综观当前数学课堂教学，教师对课堂的“控制欲”仍比较强，以“学生的学为本”、“以学生的发展为本”的教学设计仍匮乏，有的教师纵然有较好的设计，但在课堂实施中总是喜欢用自己的“教”牵引学生的“学”，学生思维难以“驰骋”，自然地，课堂也就少了“探究”、“合作”与“发现”，学生的学习状态因停留在浅层水平而鲜有核心素养的发展。有的教师仍奉行“会做题才是硬道理”的数学教学取向，以“例题讲解+模仿练习”作为上课的主要方式，严重影响学生学习数学的兴趣和自信心，挫伤他们数学学习的积极性，学生发展数学核心素养也就成了一句空话。显然，学生的学习缺乏深度是目前大多数数学课堂教学之弊病，这样的数学课堂教学难以承担起学生发展数学核心素养的重任。[3]那么，在课堂教学中该采用怎样的路径来实现学生发展数学核心素养呢？ 本节课的设计就是一种积极的尝试。问题设计一脉相承、环环相扣，如问（3）及其追问的设计，不但可以让学生建构起不同函数模型的分类讨论较完整的知识体系，而且对于问题求解的方法体系和思维体系的建构也极为有利，能让学生学到一种可迁移应用的策略性知识。发展数学核心素养就需要这样的问题设计，让学生在深度学习中学会方法优化，学会比较与甄别，发展逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。

10月26日，工作室开设了《导数在函数中应用》的研讨课，整节课围绕一道例题设计问题，问题设计梯度合理、层次清晰，着意于帮助学生建构完整的知识体系，不同解法之间的比较和优化着意于帮助学生构建良好的方法体系，面对一个问题，如何寻找求解的逻辑起点，着意于帮助学生构建多元的思维体系。

活动过程

第一个活动环节：

先由工作室的邵林华老师开设一节《导数在函数中应用》的研讨课， 整节课给出了一道例题：已知函数2

()ln -f x x x ax =+.

（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 在(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；

请你将“减函数”改变成其他条件，求a 的取值范围；

（Ⅲ）讨论()f x 的单调性.

若2

()ln -f x x ax x =+，该如何讨论？

第二个活动环节：

工作室成员研讨为什么这样设计？形成了如下意见：

1.源于对复习课教学的思考

这是一节利用导数研究函数单调性问题的复习课，复习课的主要任务是通过引导学生梳理知识内容和参与数学问题解决活动，巩固和加深已学的基础知识，并使之系统化，提高学生的概括能力和运用数学知识分析和解决问题的能力。复习课在明了知识内核的同时，要着眼于知识之间的联系和规律，使知识以“系统中的知识”的面貌出现在学生面前，在此基础上构建较丰富的知识体系、方法体系和思维体系，以形成一个较完整的“系统”，复习课的教学也重在使学生养成从系统的高度去把握知识、认识世界和进行思考。以何为载体？无疑 是例题。因而，选例就变得格外重要，例题宜少而精，且有一定的自由度和广阔度，有“发挥”和“串联”空间，能由例及类，触及知识的“核心”。本节课仅给出一个函数模型，以此为背景设计问题，引导学生思考。

2.源于对课堂如何促进学生深度学习的思考

深度学习是内源性的学习，强调通过深切的体验和深入的思考，达成对学科本质和知识意义的渗透理解；深度学习是阶梯式的学习，要求学生的深度学习必须是促进式的、层次性的、阶梯式的。[1]这样学生才会积极主动地参与到课堂教学活动中，也只有学生在课堂上积极主动地参与，学习才有可能是有深度的。那么如何让学生积极主动地参与教学活动呢？本节课在设计时，突出问题设计的阶梯式，三个由浅入深，思维层层递进的问题较好地促进了学生深度学习。又由于深度学习是学生源于自身内部动机的对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习。[2]从本质上看，它是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者掌握非结构化的深层知识并进行批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决，进而实现元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高价能力的发展。为此，笔者在问（2）的基础上，设计了一个开放性的问题：请你将“减函数”改变成其他条件，求a 的取值范围。该开放性问题给学生提供了多元的思考视角，能较好地触动学生积极思维，对学生来说是深度学习。

第三个环节：

对教学设计中的第（2）问:请你将“减函数”改变成其他条件，求a 的取值范围；进行

了集体研讨，收集学生中的改变条件，主要有：

（1）若函数()f x 在(1,2)上是增函数；

（2）若函数()f x 在(1,2)上不单调；

（3）若函数()f x 在(1,2)上有且仅有一个极值点；

（4）若函数()f x 在(1,2)上没有极值点；

（5）若函数()f x 在(1,2)上既有极大值又有极小值；

（6）若函数()f x 在(1,2)上有最大值；

第四个环节：

再现邵老师在课堂上就该问题组织的教学录像：

选择学生添加的条件（1）和（2），与学生一起求解。

教师：若添加条件（1），则结果如何？

学生4：3a ≤。

教师：若添加条件（2）， 你会如何思考？

学生5：不单调与单调互补，单调递减得92

a ≥

，单调递增得3a ≤，也即若函数()f x 在(1,2)上单调，则92a ≥或3a ≤。故函数()f x 在(1,2)上不单调，得93<<2a 。 邵老师对学生5采用的“求补集”思想予以了充分肯定，并问道：大家都是怎么想的吗？如果直接求解呢？

学生6：若函数()f x 在(1,2)上不单调，则函数()f x 在(1,2)上有极值点，也即方程221=0x ax -+在(1,2)上有实数根（不是重根）。

教师：请大家按照学生6的思路求解一下。（学生采用数形结合的思想列不等式求解） 问（2）解后，邵老师引导学生及时对求解思维进行整理，并回顾小结：

①在某个区间()a b ，内，若()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在这个区间内的单调递减（或递增）；

②若函数()f x 在某个区间()a b ，内的单调递减（或递增），则()0f x '≥（或()0f x '≤）； ③函数()f x 在某个区间()a b ，上不单调，即函数()f x 在这个区间上有极值点，则方程

()0f x '=在这个区间上有实数根（不是重根）

教师：在问（1）求解时，有学生提出“先将函数()0f x '<的解D 表示出来，然后利用

()1,2D ?求解a 的取值范围”

，即先求函数()f x 的单调递减区间。那么，这里就有一个问题，如何讨论函数的单调性，请大家思考。

学生7：定义域为(0+)∞，，2121()=2x ax f x x a x x

-+'+-=，令2()21g x x ax =-+，

①当0?≤时，即a ≤≤()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0+)∞，上单调递

增；②当0?>时，即a <或a >a <，对称轴42

a x =<-，由图

象可知，()0g x >即()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0+)∞，上单调递增；若a >

()0f x '=，得1244

a a x x +==；当1(0)x x ∈，时，()0f x '>，即()f x 在1(0)x ，上单调递增，当12()x x x ∈，时，()0f x '<，即()f x 在12()x x ，上单调递减，

当2()x x ∈+∞，

时，()0f x '>，即()f x 在2()x +∞，上单调递增。综上，结论略。 学生8：定义域为(0+)∞，，2121()=2x ax f x x a x x

-+'+-=， 当0a ≤时，则()0f x '>恒成立，此时()f x 在(0+)∞，上单调递增；②当0a >时，令2()21g x x ax =-+，下按0?≤，0?>继续分类讨论。（略）

教师：分类讨论的关键，主要是要建立起按什么样的标准进行分类；厘清分类标准后，还要坚持“求简”的原则。显然，求解此题按照学生7的分类比较合理。

大多数学生对按照什么样的标准进行分类是比较模糊的，为解决这个问题，在问题（3）求解后，邵老师增加了一个追问：若2

()ln -f x x ax x =+，该如何讨论其单调性？

显然，此“追问”与问（3）分类讨论的方法不同，前者是按照方程有无实数根，即根的判别式与零的大小关系来分类，当然也可以按a 与0的大小关系来分类，后者则先按照a 与0的大小关系，再结合根的判别式来分类，属于二级分类讨论问题，把这两个函数式放在一起，让学生比较甄别，体会不同的分类，从而建立起分类讨论的“数学模型”。

活动反思

大家反思通过该活动，主要认识深度学习怎样的内涵和特征？深度学习，到底该深在哪里？深度学习到底需要怎么样的课堂？大家形成了比较一致的认识。

1．深度学习，该深在哪里？

其一，深在对教学内容的理解上。引导学生深度学习的基点是准确把握学情和深刻解读教材，课堂教学设计应牢牢拴住这两个基点。在深谙学生已有知识和经验的基础上，首先应考虑教学内容的心理因素，即如何选择、呈现、组织教学内容，使学生产生学习热情与认知欲望，使教材内容与学生已有的知识建立联系，为深度学习奠基；其次，应考虑教学内容的问题因素，即如何把教学内容变成一系列问题的链接，让知识学习的过程变成引导学生分析和解决问题的过程，使学生在解决问题的过程中激发起强烈的问题意识并生成更多更深刻的问题来，促进深度学习；第三，应考虑教学内容的结构因素，即如何对教学内容进行处理，尽可能让学生掌握知识的结构，而不是见树不见林，突出知识、方法和思维学习的系统性，保证深度学习的高效。在处理好上述心理因素、问题因素、结构因素的基础上决定教学内容的取与舍、主与次、详与略、简与繁、含与露的关系。

其二，深在对课堂教学的设计上。深度学习的教学设计应简而大气，数学教学是思维活动的教学，大气体现在思维锻炼的层次和水平上，思维不能停留在单一的线性水平上，而应该有较好的深度和广度，这取决于对问题的设计，课堂教学要促使学生深度学习，就要重视对“问题串”的设计，设计一系列相互“关联”的“问题串”可以引导学生进行系统的连续的思维活动，这里所指的“关联”，包括内容关联、方法关联和研究数学问题的视角关联。事实上，一串好问题，能构成一堂“不需讲授的课”。

其三，深在对教学形式的组织上。（美）帕克·帕尔默著的《教学勇气》中有一段话：“你问了一个框架很好的问题，随之而来的是一片沉寂，你就等啊等。你知道你应该再等等，不要急，但是最终你觉得无助而失控，于是你怀着焦虑、愤怒、专断等复杂感情回答了自己的问题。带着这些情绪只会使事情变得更糟。然后，你眼睁睁地看着沉默营造出的学习的开放性化为乌有——而且教学越来越像头撞南墙瞎跑。”[5]“在我打破沉默的那一刻，我阻止了所有真实学习的机会。当我的学生们知道我总是把自己的想法灌输给他们的时候，他们怎么会静心思考他们自己的想法呢？”[6]这启发我们，深度学习的课堂，教师应学会“等待”，应给学生充分的时间思考、交流和表达，学生在交流和表达中能更进一步地深度学习，在获得知识的同时，情感、态度和价值观也能得到发展。给学生充分的时间思考、交流和表达，

也可避免课堂教学中经常出现的“教师的思维代替学生的思维，学生一个人的思维代替全班学生的思维”现象。

其四，深在对学习质量的评价上。课堂上，学生的学习质量与深度学习是紧密相连的，深度学习需要对学生的学习质量进行即时评价，以推动学生进一步积极思维。本节课，学生在问（2）的求解过程中，主要出现了两种不同的思维“交锋”，无论学生采用何种思维求解，对他（她）的思维表达，都要进行积极评价，这是对其学习质量的肯定，教师的评价和鼓励，能促动学生往深处再“想一想”。同时，教师要引导学生对不同的求解方法进行比较与分析，引导学生如何“优化方法”也是教师日常教学需要特别关注的问题，在此基础上，让学生不断地建构起解题的种种“模型”。

2. 深度学习需要怎么样的课堂？

课堂上，学生是否深度学习？如果用一句话来概括，那就是“学生是否存在深刻的思维活动”。具体地说，学生有“沉思”的机会吗？学生有“探究”的机会吗？学生有“表达”的机会吗？要让学生拥有这些机会，课堂教学就要呈现四个特征，即问题开放、认知主动、思维多元和建构丰富。[7]深度学习的课堂，必须保证所有学生的学，而不仅仅是保证所有学生被教，要让学生在课堂上发现自己，唤醒自己，成为自己。课堂上，教师要经常地问自己：学生该听的听了没有？学生该做的做了没有？学生该想的想了没有？学生该说的说了没有？只有学生该听的听了，该做的做了，该想的想了，该说的说了，深度学习就有了外显的表现。同时，教师在课堂上要牢固树立“学生意识”，突出教学中“学”的第一性，更多地展现学生学的行为，而非教师教的表现；教师还要时刻反思自己的教学是否能够激发学生的兴趣，学生能否根据预期，积极主动地参与到学习中来，这样的教学活动能否激发和挖掘学生的最大学习潜力，学生通过这样的教学活动是否能够达到预期的学习目标等。教师不仅仅要关注学生的学习，更要关注学生作为一个“真实、完整的人”学习什么，如何学习，学得怎样，课堂促进学生深度学习要关注的也便是此。深度学习到底需要怎样的课堂？这是一个见仁见智的问题，期待同行共同探讨。