勾股定理题目类型总结
勾股定理题目类型总结 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1.如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC
的长.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用
4.一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方
形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
类型四：利用勾股定理作长为的线段
6.作长为、、的线段。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积
【变式2】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上
一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直请说明。
经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【变式1】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒
【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
类型三：数学思想方法
方程的思想方法
3.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
类型一：勾股定理的直接用法
答案∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5又∵∠
ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的
长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴
（在中，如果一个锐角等于那么它所对的
直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，
. 根据勾股定理，在中，
. ∴
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.
而在中，则根据勾股定理有.
∴又∵（已知），∴. 在中，根据勾股定理有
，∴.
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三：勾股定理的实际应用
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得 CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，
则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，
AB+BC+CD＝3
图（3）中，
在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得： EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞> ∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得
（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７cm
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【答案】：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【答案】答：DE⊥EF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x ＝6x2＝96
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。【答案】：A
解：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理∴AC=5 ∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△
=AB·BC+AC·CD=36
ACD
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB ＝30°， AP＝160，
∴ AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点 A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m)。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
。（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK 中，，，故
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则，由勾股定理，得。因为
，所以，，，
。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在Rt△ABF中，
AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以。所以。设，则。在Rt△ECF中，，即，解得。即EF的长为5cm。