高考数学 常见难题大盘点 数列

1. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设11a =，1()

'()

n n n n f a a a f a +=-

(n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值；

(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a ＞a ；

解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>， ∴1515

,αβ-+--=

=

； (2)'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝5114

(21)4

212n n a a ++

-

+，∵11a =，∴有基本不等式可知2510a -≥>(当且仅当151a -=

时取等号)，∴25102a ->

>同，样3512a ->，……，51

2

n a α->=(n ＝1，2，……)，

2. 已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），2

422

1+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2

n a b n n +=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；

（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 的不同而要分类讨论。

解：（1）∵2

n a b n n +=

∴2

2211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n

n n b n a 2222=+=(n ≥2)

由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+， ∵1a ≠-，∴20b ≠，

即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列。

（2）1(44)(21)

34(22)221n n n a S a a a -+-=+

=--++- 当n ≥2时，11

1(22)23434

2(22)234(1)234

n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1

-n n S S (n ≥2)是常数，

∴3a+4=0，即43

a =-

。 （3）由（1）知当2n ≥时，2(44)2(1)2n n

n b a a -=+=+，

所以2

21(1)

(1)2(2)n n a n a a n n +=?=?+-≥?

，

所以数列{}n a 为2a+1，4a ，8a-1，16a ，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。 当1(0,)4

a ∈时，最小项为8a-1；

当1

4a =

时，最小项为4a 或8a-1； 当11

(,)42a ∈时，最小项为4a ；

当1

2a =时，最小项为4a 或2a+1；

当1

(,)2

a ∈+∞时，最小项为2a+1。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和 3. 已知数列{}n a 中各项为：

12、1122、111222、……、111n ??????14243个

222n ??????14243个

……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 解：（1）12

(101)10(101)99

n n n n a =

-?+?- 1(101)(102)9

n n

=-?+101101()(1)33n n --=?+ 记：A =101

3n - , 则A=333n

??????14243为整数 ∴n

a

= A (A+1) ， 得证

(2)2112

1010999

n n n a =

+-Q 2422112(101010)(101010)999n n n S n =++??????++++??????-

2211(101110198210)891

n n n ++=+?-- 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 4. 已知数列{}n a 满足41

1=

a ，()),2(2

111N n n a a a n n n n ∈≥--=

--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21

n

n a b =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）设2

)12(sin

π

-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，7

4<

n T ． 分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不

等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解：（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a Θ，])1(1)[2()1(111

---+-=-+∴n n n n a a ， 又3)1(11

=-+a Θ

，∴数列()?

??

???-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列． 1

)2(3)1(1--=-+n n n a ， 即1

23)1(11+?-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1

121+?+?=+?=---n n n n b ．

9264321)

21(1641)41(19-+?+?=+--??+--??=n n S n n n n n ．

（Ⅲ）1)1(2)12(sin --=-n n π

Θ，

1

231

)1()2(3)1(1

11+?=----=∴---n n n n n c ． 当3≥n 时，则1

231

1231123113112+?+

++?++?++=-n n T Λ <21

22

1121

1321])(1[28112312312317141--+=?+?+?++--n n 7

484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ． 321T T T <<Θ， ∴对任意的*∈N n ，7

4

点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项

n a ，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。

考点三：数列与不等式的联系 5. 已知α为锐角，且12tan -=

α，

函数)4

2sin(2tan )(2π

αα+?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2

1

11n n a f a a ==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；

分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解：⑴1)12(1)

12(2tan 1tan 22tan 2

2=---=-=

ααα 又∵α为锐角

∴4

2π

α=

∴1)4

2sin(=+

π

αx x x f +=2)(

⑵n n n a a a +=+2

1∵2

1

1=a ∴n a a a Λ,,32都大于0 ∴02

>n a ∴n n a a >+1

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。

6. 已知数列{}n a 满足()

111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111

321+=----Λ，证明：{}n b 是等差数列；

（Ⅲ）证明：

()23111123

n n N a a a *++++<∈L 分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续

三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。 解：（1）121+=+n n a a Θ，)1(211+=+∴+n n a a 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。

n n a 21=+∴，12-=n n a

（2）n n b n b b b b a )1(4444

1111

321+=----ΛΘ，n n nb n b b b 24

)

(21=∴-+++Λ

n n nb n b b b =-+++2)(221Λ①

1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b Λ②

②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③

212)1(++=-+∴n n nb b n ④

④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列

（3）1111

212211211-++=-<-=n n n n a a Θ

设132111++++=n a a a S Λ，则)111(211322n a a a a S ++++<Λ)1(2111

2+-+=n a S a 3

213212112<-=-<++n n a a a S

点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。

7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<

（Ⅱ）2

1;2

n n a a +<

（Ⅲ）若12

,2

a =

则当n ≥2时,!n n b a n >?. 分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时,

因为0

x f x x x '=-

=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)

故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.

又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<

(Ⅱ)构造函数g(x)=2

2

x -f(x)= 2ln(1)2x x x ++-, 0

()01x g x x

'=

>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而2

1.2

n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +1

2

n +≥ ,

所以1211211

!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=??≥?L ————① ,

由(Ⅱ)21,2

n n a a +<

知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a a

a a a --?

2

a =

, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1

121222n a a a a -

n ————② .

由①② 两式可知: !n n b a n >?.

点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

考点四：数列与函数、向量等的联系 8. 已知函数f(x)=

52168x

x

+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．

(1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与

5

4

的大小，并说明理由； (3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1

n

i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n

－1)．

分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

解：(1)152168n n n a a a ++=-，因为11,a =所以2373

,.84a a ==

（2）因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<

155

48()52553444168432(2)22n n n n n n n

a a a a a a a +--

+-=-=

=?---, 因为20,n a ->所以154n a +-与5

4

n a -同号，

因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即5

.4

n a <

（3）当2n ≥时，1111

531531

()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=?

?-=??-- 113125

224

n n b b --

所以3121(12)

11114(21)422124n n n n n S b b b --??

=+++<++???+==- ?-??

L

点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。

9. 在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A

)0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的

线上.,11a b a a -==

（1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；

（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。

分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。 解：（1）

,),,1(),,1(1111n a a C B A A b C B a a A A n n n n n n n n n n n n n =-∴--=-=++++共线，与Θ

又∵{B n }在方向向量为（1，6）的直线上，6,6111

=-=-+-∴++n n n

n b b n

n b b 即 1

21123121...)(...)()()

1(6--++++=-++-+-+=-+-=∴n n n n n b b b a a a a a a a a a n a b

)

2(26)9(3)2)(1(3)1(6

2)

2)(1()1)((2≥+++-=--+--=?--+--+=n a n a n n n n a a n n n a a

（2）∵二次函数a x a x x f 26)9(3)(2

+++-=是开口向上，对称轴为6

9

+=a x 的抛物线

又因为在a 6与a 7两项中至少有一项是数列{a n }的最小项， ∴对称轴3624,2

15

69211]215,211[69≤≤∴≤+≤+=

a a a x 内，即应该在 点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数

学素养的。