2020高考文科数学押题卷(带答案)
赢在微点★倾情奉献
文科数学押题卷(二)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )
A ．{0，1}
B ．{0，1，2}
C ．{1，2}
D ．{0，1，2，3} 2．已知复数z ＝1－2i
（1＋i ）
2，则z 的虚部为( )
A ．－12
B ．12
C ．－12i
D ．12i
3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
A ．利润率与人均销售额成正相关关系
B ．利润率与人均销售额成负相关关系
C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系
4．已知a ＝? ????13，b ＝? ??
??13错误!，c ＝π错误!，则下列不等式正确的是( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．c >b >a
5．已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )
A ．π
B ．
π2 C ．3π8 D ．π4
6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝－35，cos B ＝4
5，a ＝20，则c ＝( )
A ．10
B ．7
C ．6
D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )
A B C D 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
9．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的
另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1|
|AF 2|
＝( )
A ．13
B ．12
C ．2
3
D ．3
10．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．20
11．三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，已知SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝2，且2a ＋b ＝5
2，则此三棱
锥的外接球的表面积的最小值为
( )
A ．21π4
B ．17π4
C ．4π
D ．6π
12．已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x ，若不等式f ? ??
??1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．? ????0，12
D ．? ??
??12，1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足约束条件?????x >0
y >0
x －y ＋1>0x ＋y －3<0
，则z ＝2x －y 的取值范围为________。
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图。
现在上述图③中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为________。 15．已知数列{a n }满足a n ＝
n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 018
2 018
2＝________。 16．已知函数f (x )＝sin x cos ?
??
??π6－x ，把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y
＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3
ac cos B，且sin A＝3sin C。
2
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长。
18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为平行四边形，沿BD将△ABD折起，使点A到达点P。
(1)点M，N分别在线段PC，PD上，CD∥平面BMN，试确定M，N的位置，使得平面BMN平分三棱锥P －BCD的体积；
(2)若AD＝2AB，∠A＝60°，平面PBD⊥平面BCD，求证：平面PCD⊥平面PBD。
19．(本小题满分12分)近年来，以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展，引领了全民健身新时尚。某城市举办城市马拉松比赛，比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手，对选手的年龄进行大数据分析，得到了如下的表格：
(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助，现对100名选手进行调查，调查结果如下，
据此调查，能否有99%
附：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
(n ＝a ＋b ＋c ＋d )。
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上存在一点P
满足PF 1⊥F 1F 2，且sin ∠F 2PF 1＝4
5
，△F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A ，B 两点，如图，已知直线l ：x ＝4，过点A 作l 的垂线交l 于点M ，连接F 2M ，MB ，设直线F 2M ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 2＝2k 1。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1
x
。
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若a >0，b >0，证明：ab 2 。 (二)选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ????x ＝1＋t cos α， y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点、x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ 1－cos2θ 。 (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，过点(1，0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C ，D 两点，求|AB |＋|CD |的最小值。 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|。 (1)求不等式f (x )≤5的解集； (2)设f (x )的最小值m ，若a ，b 为正实数，且2a ＋3b ＝m ，求证： 1a ＋b ＋4a ＋2b >m 。 参考答案与试题解析 1．B A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }＝{0，1，2}。故选B 。 2．A z ＝1－2i （1＋i ）2＝ 1－2i 2i ＝（1－2i ）·i －2＝i ＋2－2＝－1－12i ，所以虚部为－1 2 。故选A 。 3．A 画出利润率与人均销售额的散点图，如图。由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。故选A 。 4．D 函数y ＝? ????13在定义域内是减函数，所以? ????13 ??13错误!<错误!错误!＝1<π错误!，即a 选D 。 5．C 由三视图可知该几何体是一个圆锥，其底面半径为32，高为3×32＝3 2 ，所以圆锥的体积V ＝13π? ????32×32＝3π 8 。故选C 。 6．B 由cos A ＝－35，cos B ＝45，得sin A ＝45，sin B ＝3 5，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×45－35×35＝725。根据正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即2045＝c 7 25 ，解得c ＝7。故选B 。 7．A 由于f (－x )＝ln|－x |·sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又当0 8．C 初始值S ＝100，k ＝0，第一次循环，S ＝99，k ＝2；第二次循环，S ＝95，k ＝4；第三次循环，S ＝79，k ＝6；第四次循环，S ＝15，k ＝8；第五次循环，S ＝－241，此时满足S ≤－100，输出k ＝8。故选C 。 9．A 如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝ 2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2。所以|AF 1||AF 2|＝1 3 。故选A 。 10．B 二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数E ＝20×3×1 2＝30，面数F ＝20，顶点数V ＝E －F ＋2＝12。故选B 。 11．A 由题意，设三棱锥的外接球的半径为R ，因为SA ，SB ，SC 两两垂直，所以以SA ，SB ，SC 为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝2，所以4R 2 ＝a 2 ＋b 2 ＋4＝a 2 ＋? ????52－2a ＋4＝5(a －1)2＋214，所以a ＝1时，(4R 2 )min ＝214，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为 21π 4 。故选A 。 12．D 由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 32＋x 2－x ＝log 3x －2＋4 2－x ＝ log 3? ? ???－1－ 4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式?? ? ??m f 1>3成立等价于不等式?? ? ??m f 1>f (1)成立，所以?????－2<1 m <21m >1 ，解得12 13．(－1，6) 画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(不包括边界)，画出直线2x －y ＝0, 平移该直线，且直线与阴影部分有公共点时，直线越靠近点A ，目标函数z ＝2x －y 的取值越小，直线越靠近点B ，目标函数z ＝2x －y 的取值越大，且过点A (0，1)时，z ＝2×0－1＝－1，过点B (3，0) 时，z ＝2×3－0＝6，因为A ，B 两点不在约束条件表示的平面区域内，所以目标函数z ＝2x －y 的取值范围是 (－1，6)。 由题意可知每次挖去等边三角形的1 4，设题图①中三角形的面积为1，则题图②中阴影部分的面积 为1－14＝34，题图③中阴影部分的面积为? ????1－14? ????1－14＝? ????34＝9 16，故在题图③中随机选取一点，此点来自 阴影部分的概率为916 。 018,2 019) 由题意，因为数列{a n }满足a n ＝ n n ＋1 ，所以数列???? ?? a n n 2的通项公式为a n n 2＝ 1n （n ＋1）＝1 n － 1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019 。 f (x )＝sin x cos ? ????π6－x ＝sin x ? ????32cos x ＋12sin x ＝32sin x cos x ＋12sin 2x ＝34sin2x ＋12·1－cos2x 2＝ 12? ????32sin2x －12cos2x ＋14＝12sin ? ? ???2x －π6＋14。将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )＝12sin ? ????2x －2m －π6＋14，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m －π6＝k π＋ π2(k ∈Z )，解得m ＝－ k π2－π 3(k ∈Z )，因为m >0，所以取k ＝－1，得m 的最小值为π6 。 17．解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝3 2ac cos B ，所以tan B ＝3。 又0 3 。 (2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6。 由余弦定理得，b 2＝62＋22 －2×2×6×cos60°＝28，所以b ＝27。 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27 ＝－7 14。 因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7。 所以BD 2 ＝AB 2 ＋AD 2 －2AB ·AD cos A ＝22 ＋(7)2 －2×2×7×??? ? ?? - 147＝13。 所以BD ＝13。 18．解：(1)因为CD ∥平面BMN ，平面BMN ∩平面PCD ＝MN ，所以CD ∥MN 。 要使平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积， 则只需MN 平分△PCD 的面积，则PM 2PC 2＝1 2 ， 即PM ＝ 22PC ，同理PN ＝2 2 PD ， 所以当PM ＝ 22PC ，PN ＝2 2 PD 时， 平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积。 (2)证明：设AB ＝1，则AD ＝2， 在△ABD 中，由余弦定理，得BD ＝3， 所以AD 2 ＝AB 2 ＋BD 2 ， 所以AB ⊥BD ，则PB ⊥BD 。 因为平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， 所以PB ⊥平面BCD ， 又CD ?平面BCD ，所以PB ⊥CD 。 因为CD ∥AB ，所以CD ⊥BD ， 因为PB ∩BD ＝B ，所以CD ⊥平面PBD 。 因为CD ?平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PBD 。 19．解：(1)作出如图所示的频率分布直方图。 由直方图可估计参加比赛的选手们的平均年龄是25×＋35×＋45×＋55×＋65×＝(岁)。 (2)由2×2列联表可得K 2 ＝100×（15×20－25×40） 2 60×40×45×55 ≈>， 所以有99%的把握认为选手是否需要志愿者提供帮助与性别有关。 20．解：(1)在Rt △PF 1F 2中，sin ∠F 2PF 1＝45，则|F 1F 2||PF 2|＝4 5， 因为|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝5 2 c ， 又|PF 1|＝32c ，所以△PF 1F 2的周长为52c ＋3 2c ＋2c ＝6c ＝6，则c ＝1， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝32c ＋52c ＝4，即2a ＝4，a ＝2，b 2＝a 2－c 2 ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1。 (2)证明：设直线AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题易知M (4，y 1)，F 2(1，0)， 联立?????x 24＋y 2 3＝1，y ＝k （x －1）， 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0， 由根与系数的关系可得?????x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3 ， x 1x 2 ＝4k 2 －12 4k 2 ＋3 ， 因为点F 2(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立， k 1＝k MF 2＝y 13＝k （x 1－1）3，k 2＝k MB ＝y 2－y 1x 2－4＝k （x 2－x 1） x 2－4 ， k 2－2k 1＝k （x 2－x 1）x 2－4－2k （x 1－1）3＝k ·－2x 1x 2＋5（x 1＋x 2）－8 3（x 2－4）＝k ·－2·4k 2－124k 2＋3＋5·8k 2 4k 2＋3－8 3（x 2－4）＝ k ·－8k 2 ＋24＋40k 2 －32k 2 －24 3（x 2－4）（4k 2 ＋3） ＝0。 所以k 2＝2k 1。 21．解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －1－1x 2＝－x 2 ＋2x －1x 2＝－（x －1） 2 x 2 ≤0。 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减。 (2)由题意得a ≠b ，不妨设a >b >0，则 ab < a － b ln a －ln b ?ln a －ln b ?ln a b < a b －1 a b ?2ln a b －a b ＋1a b <0。 由(1)知f (x )是(0，＋∞)上的减函数，又 a b >1，所以f ? ?? ?? a b ? ? ?? a b ＝2ln a b －a b ＋1a b <0，所以ab 2（a －b ）a ＋b ?ln a b >2? ?? ? ? a b －1a b ＋1 。 令g (x )＝ln x －2（x －1）x ＋1，则g ′(x )＝（x －1） 2 x （x ＋1）2 ，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )≥0，即g (x )是(0， ＋∞)上的增函数。 因为a b >1，所以g ? ?? ??a b >g (1)＝0，所以ln a b >2? ??? ?a b －1a b ＋1，从而a －b ln a －ln b 0，b >0时，ab 2 。 22．解：(1)消掉参数t ，得直线l 的普通方程为x sin α－y cos α＝sin α。 由ρ＝8cos θ1－cos2θ，得ρ＝4cos θsin 2 θ，即ρsin 2 θ＝4cos θ， 两端乘ρ，得ρ2 sin 2 θ＝4ρcos θ， 由极坐标与直角坐标的互化公式，得y 2 ＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2 ＝4x ， (2)把??? ? ?x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α 代入y 2＝4x ，得t 2sin 2 α－4t cos α－4＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2 α，t 1t 2＝－4sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2 －4t 1t 2＝16cos 2 αsin 4α＋16sin 2α＝4 sin 2 α 。 用a ±π2代换α，得|CD |＝4 cos 2α。 所以| AB |+|CD |= α 2sin 16 αcos 4αsin 4222= +≥16,所以|AB |+|CD |的最小值为16。 23．解：(1)当x ≤－2时，1－x －x －2≤5，解得－3≤x ≤－2， 当－2 1a ＋b ＋4a ＋2b ＝13(2a ＋3b )? ?? ??1a ＋b ＋4a ＋2b ＝13[(a ＋b )＋(a ＋2b )]? ????1a ＋b ＋4a ＋2b ＝13?????? 5＋a ＋2b a ＋b ＋4（a ＋b ）a ＋2b ≥13? ? ? ?? 5＋2a ＋2b a ＋b ·4（a ＋b ）a ＋2b ＝1 3(5＋4)＝3＝m ， 又当且仅当 a ＋2 b a ＋b ＝4（a ＋b ） a ＋2b 时等号成立，化简上式得3a ＝－4b 或a ＝0，显然与a ，b 均为正实数矛盾，故等式不成立，即1a ＋b ＋4 a ＋2b >m ，不等式得证。