二次根式的四则混合运算

二次根式的四则混合运算
二次根式的四则混合运算

乐学教育学员个性化教学辅导教案

学科: 数学任课教师:授课时间:年月日(星期 )

本次课授课内容

一、 知识回顾

1,计算:

(1)

(2)(

2.已知4x 2

+y 2-4x-6y+10=0,求(2

3

+y

-(x

)的值.

3

.下列各等式成立的是( ).

A

C

..5 二,新课讲解 二、探索新知

二次根式加减乘除混合运算时,等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式的运算:

(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减; (2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 (3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。 1. 计算:

15)3212

5

(

?+, )52)(103(-+, )23()23(-?+, 2)523(+, (3+22)× 6 , 12)3

2

3242731(

?-- )32)(532(+-, (

8

27

-53)· 6 , (6-3+1)×2 3

(22-3)2011( 22+3)2012,,。

12(75+3

1

3

-48) (508)2-÷ 1232127---, 1

1181222-??

-+-+ ???,2

6)1(30--+-π

4b

a b +2a

a 3

b)-(3a b a +9ab)(a>0,b>0), (26–5)(2+3)2 a+b+2ab a+b –a b –b a ab

(a>0,b>0)

])251()251[(51

22--+, 3

23

2353135-+-

--+, )23)(36(23346++++ ◆【典型例题】

2.(1)若x =10-3,求代数式x 2+6x +11的值.(2)若x =3+1,求代数式x 2-2x -3的值.

3.下列何者是方程式(

﹣1)x=12的解( ) A 、3 B 、6 C 、2

﹣1

D 、3

+3

4.设12211=112S +

+,2

22

11

=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S =_________ (用含n 的代数式表示,其中n 为正整数).

5.已知a b 、为有理数,m n 、分别表示57-21amn bn +=,则

2a b += .

6.先化简再求值。

ab

b a a b ab b a b a b a -÷

-++

-+])()

)((4

[

,其中a=3,b=4

7、已知2

323,2

323-+=

+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值

◆【变式训练】

8.设2611-的整数部分为x ,小数部分为y ,求y

y x 2

+

+的值。 9. 已知117-=a ,求19992345)1718172(-+--+a a a a a 的值

10.已知223-=x ,y 是x 的倒数,则22xy y x -的值为

11.已知2

323,2

323-+=

+-=

y x ,则22y x +的值为

12.已知75+的小数部分为a ,75-的小数部分为b ,则ab+5b= 13.若y

m y 1

+

=,则y y 2

1+的结果为

◆【巩固练习】 14.若22+=a a ,则=+a

a 1

15.化简y

x y

x xy x y y x 2)2(

-+?

?-= 16.已知3

51,3

51+=

-=y x ,求下列各式的值(1)225y xy x +- (2)

y

x y x y

x y

x +

--

-+

随堂检测

18.已知23+=-b a ,23-=-c b 求 ac bc ab c b a ---++222的值 19..已知1

54-=

a ,求出122

1

23---a a a 的值

20.已知2222-=+=b a 求代数式b

a b a b

a a

b a

ab a b

ab b +-?+÷-++)(的值

四、课堂小结

本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并

可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点: 1.被开方数不含分母;

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 二次根式的运算:

(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减; (2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 (3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。

课后巩固复习:作业_________题

1.下列计算正确的是( )

56243=+ B.248=

C.

()23-=-3 D.

27÷3=3

2.下列计算正确的是( )

1. 10220= B.632=?

C.224=-

D.()22

33-=-

5.若a,b 为实数,且满足∣a-2∣+02=-b ,则b-a 的值为( )

D.以上都不对

6.已知x

10182

22=++x x x ,则x 的值为( ) B.±2 D.±4

7.已知a>1,下列式子正确的是( )

A.

a a ?1

B.a a ?

C.

a

a 11? D.a a -=-1)1(2 二、 填空题

8.已知实数a 、b 、c 满足0=+a a ,ab ab =,0=-c c ,那么代数式

2222b bc c c a b a b +---++-化简后的结果为

9.满足不等式

2

34+<x <

3

54-的整数x 的个数是

10、设5的整数部分为m ,小数部分为n ,则5

1???

?

?-n m m 的值为

11.当a =______时,最简二次根式12-a 与73--a 可以合并. 12.若27+=a ,27-=b ,那么a +b =______,ab =______.

12.已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式,(a +b )a 的值是______. 13.

383

2

ab 与b a b 26无法合并,这种说法是______的.(填“正确”或“错误”)

14.已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式,(a +b )a

的值是______.

15.

383

2

ab 与b a b 26无法合并,这种说法是______的.(填“正确”或“错误”) 三、 计算题

16、化简:

)2(2

22322>-++-++x x x x x ,

3

211-+,

17、已知c >1,1--=c c x ,c c y -+=1,12+-+=c c z ,比较x ,y ,z 的大小关系。 18、已知a=(2+5)

2010

(25-)2011-2(25+)0

+

()22-,求a 2+4a 的值。

19、已知4x 2

+y 2

-4x-6y+10=0,求(3

2

932y x y x x +)-(x 2x y

x x 51-)的值。

20.已知x,y 为实数,y=3

1

9922-+-+-x x x ,求5x+6y 的值。

预习布置:

二次根式混合运算(教案)

教学过程 一、复习预习 学生活动:请同学们完成下列各题: 1.计算 (1)(2x+y)·zx (2)(2x2y+3xy2)÷xy 2.计算 (1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)?单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用. 新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢??仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,?当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1.计算: (1)(2)()÷ 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,?所以直接可用整式的运 算规律.解:(1) 解:()÷÷÷ -3 2 二、知识讲解

考点1 1、几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 3、在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 易错点1 在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里

面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 三、例题精析 【例题1】 【题干】计算(1(2

二次根式运算典型例题分析

二次根式运算典型例题分析 二次根式在中考中应用很广泛,现举几种运算供大家参考。 一、考查同级运算 例1= . 分析:先将每个式子化简,再进行加减运算. = 点评:本题是同级运算中的二次根式的加减运算一般先化简,再合并同类二次根式. 例2 ) . A 、2 B 、4 C 、8 D 、16 44. 点评:本题是同级运算中的二次根式的乘法运算,要注意运用法则进行计算. 例3.下列计算错误.. 的是( ) . . (D)3. 分析:先将每个选项分别进行同级运算,再进行选择,也可以直接观察而得解. 解:(A A )对; (B B )也对; (C 358a a a +=,故(C )也对;因此应选D . 也可以直接观察判断D 不对,从而选D . 点评:二次根式的同级运算要注意运用法则,一般的顺序是从左向右运算. 2.考查混合运算 例4.(1)化简122 154+?的结果是( ). (A )(B )(C (D ) (2的结果是( ) A .6 B . C .6 D .12

(3)计算:8+(-1)3-2×22 . 分析:本题的几个小题都是二次根式的四则混合运算,但题目不难,只要按照规则运算即可. 解:(1)122154+?D ); (2)的计算结果也选(D ); (3)8+(-1)3-2×22=11-. 点评:二次根式混合运算遵循先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的顺序进行,最后结果要化成最简二次根式,有时要注意一些方法技巧,可以简便计算.特别是第(3)小题计算时需要过程,考查了同学们的化简与计算能力,同时体现了数学能够帮助人们处理数据、进行计算,即义务教育的基础性. 3.考查求值计算 例5.先化简,再求值:22()()a a b a b +-+, 其中a =b = 分析:本题先将整式化简,再代入进行计算. 解:22()()a a b a b +-+=22222222a ab a ab b a b +---=-,当a =b = 原式22 22201120101a b =-=-=-=. 例6.下课了,老师给大家布置了一道作业题:当1x =时,求代数式222(1)(1)112x x x x x x ??-++÷+ ?-? ?的值,雯雯一看,感慨道:“今天的作业要算得很久啊!”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗?请写出你的求解过程. 分析:本题看起来是一道较复杂的化简求值题,要将1x =+简单且与x 的取值无关,无需代入就得结果. 解:原式=22(1)(1)22(1)(1)x x x x x x +-?-+. 点评:化简求值题是常考题型之一,它往往要求的是先化简所给的式子,再将数值代入求值;有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件,本类型题目方法灵活多变,技巧性较强,有时较难,希望同学们多加练习. 4.考查探索猜想能力 例7.观察下列各式: ===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来 .

数学人教版八年级下册16.3.2二次根式的加减乘除混合运算

16.3.2二次根式的加减乘除混合运算 教学目标 含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用. 重点与难点 重点 二次根式的加减乘除混合运算. 难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算. 教学设计 一、复习导入 (学生活动):请同学们完成下列各题. 计算: (1)(3x 2+2x +2)·4x; (2)(4x 2-2xy)÷(-2xy); (3)(3a +2b)(3a -2b); (4)(2x +1)2+(2x -1)2. 二、新课教授 由于整式运算中的x ,y ,a ,b 是字母,它的意义十分广泛,可以代表一切,当然也可以代表二次根式,因此整式中的运算规律也适用于二次根式,下面我们就使用这些规律来进行计算. 【例1】计算: (1)(8+3)×6; (2)(42-36)÷2 2. 分析:二次根式仍然满足整式的运算规律,所以可直接用整式的运算规律. 解:(1)(8+3)×6=8×6+3× 6 =48+18=43+32; (2)(42-36)÷2 2 =42÷22-36÷22=2-32 3. 【例2】计算: (1)(2+3)(2-5); (2)(5+3)(5-3); (3)(3-2)2.

分析:第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算,第(2)题把5当作a,3当作b,就可以类比(a+b)(a-b)=a2-b2,第(3)题可类比(a-b)2=a2-2ab+b2来计算. 解:(1)(2+3)(2-5) =(2)2+32-52-15 =2+32-52-15 =-13-22; (2)(5+3)(5-3) =(5)2-(3)2=5-3=2; (3)(3-2)2 =(3)2-2×3×2+(2)2 =5-2 6. 三、巩固练习 教材第14页练习第1,2题. 【答案】第1题:(1)6+10;(2)4+22;(3)11+55;(4)4.第2题:(1)9;(2)a-b;(3)7+43;(4)22-410. 四、课堂小结 本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算. 作业习题16.3 4、6题 设计意图 1.情境引入,复习整式运算的知识,旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算,培养学生继续探究的兴趣.2.例题的设计,旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用.

二次根式混合运算习题和答案

一.选择题 1. 下列运算正确的是() A.a+a=2a B.a6÷a3=a2 C.+=D.(a﹣b)2=a2﹣b2 2. 与不是同类二次根式的是() A. B.

C. D.

3. 下列各式中运算正确的是( ) A.2510)5225(-= ÷- B.529)52(2+=+ C.1)2 13 1)( 23(=- - D.c a b a c b a += +÷)( 4.(的运算结果是( ) A . 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 25. 等腰三角形两边分别为32和25,那么这个三角形的周长是( ) A.2534+ B.21032+ C.2534+或21032+ D.21034+ 二. 填空题 6.若最简二次根式与

是同类二次根式,则 . 7.设76,76,a b =+=-则20102011a b ?的值是_________ 8. 计算2﹣ 的结果是 . 三 综合题 9.若x ,y 为实数,且y= ++. 求﹣ 的值. 1052的整数部分为a ,小数部分为,b 求2222 444a b a a b b -++的值.

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】A 、a +a=(1+1)a=2a ,故本选项正确; B 、a 6÷a 3=a 6﹣ 3≠a 2,故本选项错误; C 、+=2+=3≠,故本选项错误; D 、(a ﹣b )2=a 2+2ab +b 2≠a 2﹣b 2,故本选项错误. 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B 【解析】注意运算技巧。 原式=()()a b b a b a a b +-=()()ab a b ab b a +-=()ab b a - 5.【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是23和52两种情况,但是当腰为23时, 232352+<, 所以这种情况不存在,只有腰为52一种情况,即23102+. 二、填空题 6.【答案】1;1 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+Q Q 又,所以1b = 7.【答案】76- 8.【答案】﹣2 . 【解析】原式=2×﹣3 = ﹣3 =﹣2 . 三.解答题 9.【解析】解:由二次根式的有意义,得, 解得x=,故y=, ∴原式= ﹣ = ﹣ = . 10.52的整数部分为a ,小数部分为,b 所以4a =,52452b =-=

人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的混合运算教案与教学反思

16.3 二次根式的加减 师院附中李忠海 第2课时二次根式的混合运算 【知识与技能】 1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算; 2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算. 【过程与方法】 通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法. 【情感态度】 通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识. 【教学重点】 二次根式的混合运算. 【教学难点】 多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法. 一、情境导入,初步认识 问题我们知道:(x+y)·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2, (2x2y+3xy2)÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y, (x+y)(x-y)=x2-y2及(x+y)2=x2+2xy+y2,…… 试问:如果上述各式中的x,y分别代表着一个二次根式,我们会有哪些新的收获呢? 【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式,进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系,激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究,获取新知

探究1由(x+y)·z=x·z+y·z=xz+yz,你能求出的值吗?你是怎样做的? 探究2由,你能求出 的值吗?由此你有何发现?类似地,请解决以下几个小题. 【教学说明】让全班同学共同参与探究,相互交流,在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视,予以点拨,肯定学生的成绩,并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识,最后师生共同给出问题的结果. 【归纳结论】 1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号. 2.在二次根式的运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 三、典例精析,掌握新知 例1 计算下列各题:

人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的混合运算(导学案)

16.3二次根式的加减 长郡中学 史李东 第2课时 二次根式的混合运算 一、新课导入 1.导入课题 整式四则运算的运算法则大家比较熟悉,那么二次根式的四则运算又该怎样进行呢?今天我们来学习二次根式的四则混合运算. 2.学习目标 熟练应用二次根式的加减乘除法运算法则及乘法公式进行二次根式的混合运算. 3.学习重、难点 重点:类比整式混合运算进行二次根式的混合运算. 难点:混合运算的顺序、运算律及乘法公式的灵活运用. 二、分层学习 1.自学指导 (1)自学内容:教材P14例3. (2)自学时间:8分钟. (3)自学方法:类比多项式乘以(除以)单项式的法则学习例3. (4)自学参考提纲: ①()a b c +=ac bc +. ②()a b c +÷=.a c b c ÷+÷ ③ 运用①、②中的结论体会教材P14例3中两道题的算理. ④ 例3中第(2)题也运用了分配律吗?为什么? ⑤ 计算: 2.自学:学生可参考自学参考提纲进行自学. 3.助学 (1)师助生:

①明了学情:了解学生是否领会例3中的算理,存在的疑点在哪里. ②差异指导:指导整式运算方法;例3第(2)题可写成(a+b)·c 的形式. (2)生助生:同桌之间相互研讨,帮助解决疑难之处. 4.强化:乘法分配律:()m a b ma mb +=+在二次根式运算中同样适用. 1.自学指导 (1)自学内容:教材P14例4. (2)自学时间:5分钟. (3)自学方法:类比多项式乘以多项式的运算法则和乘法公式学习例4. (4)自学参考提纲: ① (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. ② (a+b)(a-b)=a2-b2 . ③ (a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2. ④ 结合①②③说明例4中两题的算理. ⑤()()()()()222 2332232233232+=+??+=30126+. ⑥ 计算: 答案:上面6个小题答案依次为1155,4,9,743,22410.a b +-+-, 2.自学:学生可参考自学参考提纲进行自学. .助学 (1)师助生: ①明了学情:了解学生对教材例4中(1)、(2)计算的理由是否弄清楚. ②差异指导:指导学生按多项式乘法法则和乘法公式来体会例题中的计算依据. (2)生助生:同桌之间相互研讨. 4.强化 (1)整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算. (2)回顾本节所学知识点、数学思想方法及运算技巧. 三、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标):小组代表交流学习方法、收获及存在的疑惑.

人教版数学八年级下册 16.3 二次根式的混合运算 教案

《二次根式的混合运算》教案 教学目标 知识与技能: 1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用. 2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化. 3、使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 过程与方法 讲练结合,通过例题由浅入深,层层深入,从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点. 情感态度与价值观 1、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义. 2、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力. 教学重点

二次根式的混合运算. 教学难点 利用乘法公式进行计算及分母有理化. 教学过程 一、复习引入 1、对于实数我们学过哪些运算定律?分别用式子表示出来. (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)乘法交换律:ab=ba; (4)乘法结合律:(ab)c=(ac)b; (5)乘法对加法的分配律:(a+b)c=ac+bc. 1、单项式乘以多项式的法则是什么?(a+b)c=ac+bc; 多项式乘以多项式的法则是什么?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+b d. 2、二次根式的加减法怎样计算?乘除法怎样计算?(口述)

(1)加减法:先化简每一个二次根式,再把被开数相同的二次根式的系数相加减,被开方数不变. (2)乘除法:利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质. a ? b =ab (a ≥0.,b ≥0) a b =a b (a>0,b ≥0) 1、以前我们学过哪些乘法公式? 平方差公式b a b a b a 22))((-=-+ 完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=± 二、探究新知识 让学生阅读教材“做一做”,解决下面的问题. (1)在梯形面积的计算中,包含二次根式的哪几种运算?按什么顺序运算的? (2)计算过程中,每一步的依据是什么? (3)整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质?引导学生归纳:二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的.

二次根式的四则混合运算

二次根式的四则混合运 算 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师:授课时间:年月日(星期)

一、 知识回顾 1,计算: (12)()÷ 2.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(23+y -(x )的值. 3.下列各等式成立的是(). A .. C .. 二,新课讲解 二、探索新知 二次根式加减乘除混合运算时,等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式的运算: (1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减; (2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 (3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。 1.计算: 15)3212 5(?+,)52)(103(-+,)23()23(-?+, 2)523(+,(+2)×,12)323242731( ?-- )32)(532(+-,()-5)·,(-+1)×2 (2-3)2011(2+3)2012,,。(+3)-) 12 32127---1112-?? ???,2 6)1(30--+-π 4b)+)-(3a)+)(a>0,b>0),(2–5)(+)2,+)––b,)(a>0,b>0)

])251()251[(5 122--+,3232353135-+---+,)23)(36(23346++++ ◆【典型例题】 2.(1)若x =-3,求代数式x 2+6x +11的值.(2)若x =+1,求代数式x 2-2x -3的值. 3.下列何者是方程式( ﹣1)x=12的解?( ) A 、3 B 、6 C 、2﹣1 D 、3+3 4.设12211=112S ++,222 11=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S =_________(用含n 的代数式表示,其中n 为正整数). 5.已知a b 、为有理数,m n 、分别表示57-21amn bn +=,则2a b +=. 6.先化简再求值。 ab b a a b ab b a b a b a -÷-++-+])() )((4 [,其中a=3,b=4 7、已知2323,232 3-+=+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值 ◆【变式训练】 8.设2611-的整数部分为x ,小数部分为y ,求y y x 2++的值。 9.已知117-=a ,求19992345)1718172(-+--+a a a a a 的值 10.已知223-=x ,y 是x 的倒数,则22xy y x -的值为 11.已知232 3,232 3-+=+-=y x ,则22y x +的值为 12.已知75+的小数部分为a ,75-的小数部分为b ,则ab+5b= 13.若y m y 1+=,则y y 2 1+的结果为 ◆【巩固练习】 14.若22+=a a ,则=+a a 1

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算 例1.设 3131+-的整数部分是a ,小数部分是b ,试求22a b +的值。 例2.若a 、b 、c 是△ABC 的三边,化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+-- 例3若x 、y 为实数,且y >322+-+-x x ,求11--y y x 的值。 例4计算:(22-3)2011( 22+3)2012. 例5若x =10-3,求代数式x 2+6x +11的值. 三. 【课堂练习】 ⑴(3+22)× 6 ⑵(827-53)· 6 (3)(3-22)(33-2)

(4)( 2 2-3)(3+2) (5)(25-32)(25+32) (6)(3-2) 2 (7)(32-45)2 (8)(3-22)(22-3) (9)(a-b)2(10)(1-23)(1+23)-(1+3)2 练习 1. 计算12(2-3)=. 2. 计算⑴(2+3)(2-3)=;⑵(5-2)2010( 5+2)2011=. 3. 计算: ⑴12(75+31 3-48) ⑵( 1 327-24-3 2 3)·12 ⑶(23-5)(2+3) ⑷(5-3+2)(5+3-2) ⑸(312-21 3+48)÷2 3

4. 已知a =3+2 ,b =3-2,求下列各式的值. ⑴a 2-b 2 ⑵1a -1b ⑶a 2-ab +b 2 5. 若x =3+1,求代数式x 2-2x -3的值. 五【能力拓展训练】 1计算: ⑴. 11 2 21231548333+-- ⑵. ()1485423313??-÷+-+ ??? ⑶()()()2743743351+--- ⑷. ()()()()222212131213++-- 2已知:1 110a a +=+,求221 a a +的值。

(完整版)二次根式混合运算教学案

二次根式的混合运算教学案 教学内容:二次根式混合运算第一课 教学目标: 知识与技能 认识并掌握二次根式的混合运算与以前学习的整式的运算规则的 关系,能进行二次根式的混合运算。 过程与方法 新问题与旧方法通过比较,让学生把根式看作一个单项式而转变 问题,学会审题,寻求有效的计算方法。 情感态度与价值观 培养学生类比学习的思想,勤于动手细心计算的良好习惯。 教学重点:明确二次根式混合运算的先后顺序,正确使用乘法公式进行计算 教学难点:把二次根式化简和正确应用完全平方公式 学情分析:虽然学生前面学习了二次根式的加减乘除运算,但是对根式的化简仍然不熟练, 所以特别要加强巩固,设计了准备性练习,然后通过引发思考----自主探究,获取新方法,通过学生独立计算,交流合作,促进知识与能力的形成。 教学过程 1、指出本节课题及学习目标 (1)认识并掌握二次根式加、减、乘、除、乘方混合运算规则。 (2)正确运用乘法公式进行二次根式的有关运算。 2、PPT 知识准备 二次根式乘除加减的运算法则 完成下列计算:=?714 27 2232141=÷ 2231481483316 122+=++- 742525 12 4 =? 3、ppt 新课导入 知识迁移 提出思考 整式乘法用的字母若代表一个二次根式,我们会 同样进行计算吗? 请同学完成导学案”探究发现”的5个计算问题,然后学生在交流中发现问题,自我质疑,教师再根据学生反馈的情况进行强调。 探究发现 尝试完成下列计算 (一)利用乘法的分配律,仿照单项式乘多项式的法则 ( ÷ (二)利用整式乘法公式 ( )( )523 2-+ ( )( )353 5-+ () 2 252- 归纳结论:PPt 4、精讲点拔 教师讲解并PPt 展示。教师对各式分析,让学生去完成计算。 例题一 : (1 )?÷ ? ) 2 - (2 ( 2 +(3) ( ) 3 68? +

二次根式混合运算习题完整版本

● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件: ● 2、二次根式的双重非负性: ● 3、二次根式的平方公式: ● 4、二次根式的开方公式: ● ● 5、二次根式的乘法公式: ● 6、二次根式的除法公式: ● 7、最简二次根式: ● 8、同类二次根式: ● 9、二次根式的加法运算步骤: (1)先 ● (2)再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤:(1)先 ● (2)再 ● 11、二次根式的混合运算:先乘方,再乘除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算:() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简:4 1 6 = ,3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是______。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ,则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算: () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9. ● 10是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. ● 11.分母有理化

● 12.已知x=3,y=4,z=5_______. ● 13=_________.(x ≥0) ● 14.化简二次根式号后的结果是_________. ● 15.在实数范围内分解因式①2x 2 -27=________,②4x 4 -1=________. ● 42.设a ,b ,c 为△ABC 的三边长,则2)(c b a --+|a +b -c |=________. ● 43.若0<a <1,化简4)1 (2-+a a =________,a 3 1a =________. ● 46.当a <-b <1时,化简: 2 2) 1(1 )(++÷ ++b b a b b a 的结果为_____。 ● 选择题 ● 16、下列各式中不是二次根式的是 ( ) ● (A )12+x (B )4- (C )0 (D )()2b a - ● 17、下列运算正确的是 ( ) ● (A )x x x 32=+ (B )12223=- ● (C )2+5=25 (D ) x b a x b x a )(-=- ● 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) ● (A ) 18 (B )30 (C ) 48 (D ) 54 ● 19、化简20032002 2323)() (+?-的结果为( ) ● (A) –1 (B)23- (C)23+ (D) 23-- ● 20、2 2)(-化简的结果是( ) ● (A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 ● 21、使代数式8a a -+ 有意义的a 的范围是( ) ● (A )0>a (B )0

(完整版)二次根式计算专题训练.doc

二次根式计算专题训练 解答题(共 30 小题) 1.计算: ( 1)+;(2)(+)+(﹣).2.计算: ﹣ 2| ﹣+()﹣2 .(2)﹣4 ﹣(﹣). ( 1)(π﹣3.14) +| ( 3)( x﹣ 3)(3﹣x)﹣( x﹣ 2)2. 3.计算化简: ( 1) ++ ( 2)2﹣6 +3. 4.计算 ( 1)+﹣(2)÷×.

( 1)×+3×2(2)2﹣6+3. 6.计算: ( 1)()2﹣20+|﹣|(2)(﹣)× ( 3) 2﹣3+;(4)(7+4)(2﹣)2+(2+)(2﹣) 7.计算 ( 1)?(a≥0)(2)÷ ( 3)+﹣﹣(4)(3+)(﹣)

( 1)+﹣(2)3+(﹣)+÷. 9.计算 ( 1)﹣4+÷(2)(1﹣)(1+)+(1+)2. 10.计算: ( 1)﹣4+(2)+2﹣(﹣) ( 3)( 2 +)(2﹣);(4)+﹣(﹣1)0. 11.计算: ( 1)(3+﹣4)÷(2)+9﹣2x2?.

① 4 +﹣+4;②(7+4)(7﹣4)﹣(3﹣1)2. 13.计算题 ( 1)××(2)﹣+2 ( 3)(﹣ 1﹣)(﹣+1)(4)÷(﹣) ( 5)÷﹣×+(6). 14.已知: a=,b=,求a2+3ab+b2的值.

15.已知 x, y 都是有理数,并且满足,求的值.16.化简:﹣a. 17.计算: ( 1) 9 +5﹣3;(2)2;( 3)()2016(﹣)2015. 18.计算:. 19.已知 y=+﹣4,计算x﹣y2的值.

20.已知:a、b、c 是△ ABC的三,化.21.已知 1<x< 5,化:| x 5| . 22.察下列等式: ①==; ②==; ③== ?回答下列: ( 1)利用你察到的律,化: ( 2)算:+++?+. 23.察下面的形律: =,=,=,=,? 解答下面的: ( 1)若 n 正整数,你猜想=; ( 2)算: (++?+)×()

(八年级数学教案)二次根式的混合运算

二次根式的混合运算 八年级数学教案 教学建议 知识结构 重难点分析 本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础,同时又紧密地联系着整式、分式的运算,也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性,提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧,能够进一步开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力。 本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化,实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程,一般地,先确定分母的有理化因式,然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式,就可使分母有理化。所以对初学者来说,这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。 教法建议 1?在知识的引入上,可采取复习引入方式,比如复习有理数的混合运算或整式的运算

2?在二次根式的加减、乘法混合运算中,要注意由浅入深的层次安排,从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用,逐渐从数过渡到带有字母的式。 3?在有理化因式教学中,要多出几组题目从不同角度要求学生辨别,并及时总结。 学生特点:实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高,基础扎实,思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力有较好的思考、质疑的习惯。 教材特点:本节课是在学习了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)和二次根式的有关运算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法)基础上,将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。 鉴于学生的特点及教材的特点,本节课主要采用互动式”的课堂教学模式及谈话式”的教学方法,以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下: (一)在师生互动方面,教师注重问题设计,注重引导、点拨及提咼性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始,出示书中例题1: 让学生先进行思考,解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。 强调:运算顺序及运算律和有理数相同

二次根式的四则混合运算

二次根式的四则混合运 算 文档编制序号:[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

乐学教育学员个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师:授课时间:年月日(星期 )

本次课授课内容 一、 知识回顾 1,计算: (1(2)()÷ 2.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(23+y -(x )的值. 3.下列各等式成立的是( ). A .. C ..5 二,新课讲解 二、探索新知 二次根式加减乘除混合运算时,等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式的运算: (1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减; (2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 (3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。 1. 计算: 15)3212 5 (?+, )52)(103(-+, )23()23(-?+,

2)523(+, (3+22)× 6 , 12)3 2 3242731(?-- )32)(532(+-, (8 27 -53)· 6 , (6-3+1)×2 3 (22-3) 2011 ( 22+3) 2012,,。 12(75+3 1 3 -48) 12 32127---,1 112-?? ++ ???,2 6)1(30--+-π 4b a b +2a a 3 b)-(3a b a +9ab)(a>0,b>0), (26–5)(2+3)2 a+b+2ab a+b –a b –b a ab (a>0,b>0) ])251()251[(51 22--+, 323 2353135-+- --+, )23)(36(23346++++ ◆【典型例题】

二次根式混合运算优秀教案

16.3《二次根式的混合运算》教案 一、教学目标 知识与技能 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系,在比较中求得方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算。 过程与方法 1、对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用。 2、通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法。 情感态度、价值观 通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度,并且注意培养学生的类比思想。 二、重难点分析 重点:是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算。它是以二次根式的概念和性质为基础,同时又紧密地联系着整式、分式的运算,也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性,提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧,能够进一步开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力。 难点:有关两个二次根式的和与这两个二次根式的差的积;两个二次根式的和或差的平方,联想乘法公式,与多项式的乘法相类似,二次根式的和相乘,适用乘法公式时,运用乘法公式解决相关计算题。 三、教学过程分析 (一)复习回顾: 1.填空 (1)整式混合运算的顺序是:______

(2)二次根式的乘法、除法法则是: _____ (3)二次根式的加减法步骤是:______ (4)写出平方差公式和完全平方公式:____ 2.计算: 3.在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。 答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。用式子表示为 m(a +b +c)=ma +mb +mc 多项式与多项式相乘的法则是,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项,再把所得的积相加。用式子表示为 (a +b)(m +n)=am +an +bm +bn,其中a,b,m,n 都是单项式。 完全平方式是; 在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。引入新课。 (二)合作探究 例 ()()()()()(12325; 25353. +-+- ()()()()1836 242362 2.+?-÷ ;

初中数学八年级下册《二次根式加减乘除混合运算》优秀教学设计

二次根式的加减(2)教案 一、教学目标 (1)知识目标 :掌握二次根式加减乘除混合运算的方法; (2)能力目标 :培养学生较熟练的运算能力; (3)情感目标.:形成良好的思维习惯,学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识解决问 题。 二、教学重点:二次根式加减乘除混合运算 教学难点:二次根式加减乘除混合运算 三、教学方法:探究、合作、交流、讨论法 四、教学过程: (一)情景导入 1、怎样计算:)232)(223(--? 2、怎样计算:)223)(223(+-? 2)223(-? ◆小结:在进行二次根式的混合运算时,我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。 二)讲授新知 在进行二次根式的混合运算时,我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。 三)例题精讲 例1、计算: (1)15)3212 5(?+ (2))52)(103(-+ (3)5)5 3155(÷+ (4))23(2-÷ 例2、计算: (1))223()223(-?+ (2)2)523(+ (3))523)(523(+-++ 例3、(1)已知223,223-=+=b a ,则22a b ab +的值。 (2)已知121+= x ,求x x x x x x x -+---+-22212112的值。

四)课堂巩固练习 1、计算: (1)505 11221832++- (2)12)3 23242731(?-- (3))32)(532(+- (4))()3(33ab ab ab b a ÷+-(a>0,b>0) (5))31 21 (6+÷ (6)(6)20092008)322() 322(+- 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=23,AC=22,求Rt △ABC 的周长和面积。 3、,23,23-=+=b a 已知的值求22b ab a +-。 五)拓展与延伸 (1)已知m 是2的小数部分,求2122-+m m 的值。 (3)观察下列各式:1(21)21212121(21)(21)?--===--++-, 1(32)1(32)323232(32)(32) ?-?-===--++-,同理可得43,......43=-+从中找出规律并利用这一规律计算( 21++32++43++。。。+20082007+)(20082007-)

二次根式的加减乘除混合运算练习题(附答案)

二次根式的加减乘除混合运算练习题 一、单选题 1.计算()0221+-的结果是( ). A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2.若一个数的平方根与它的立方根完全相同,这个数是( ) A.1 B.1- C.0 D.1,0± 3.16的平方根是( ) A.4 B.4- C.4± 4.有下列说法: ①负数没有立方根; ②一个数的立方根不是正数就是负数; ③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0; ④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1或0. 其中错误的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ ( ) A.2± B.4± C.4 D.2 6.下列各组数中互为相反数的是( ) A.2- B.2- C.2与2( D.| 7.2(的平方根是x ,64的立方根是y ,则x y +的值为( ) A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 8.下列等式正确的是( ) 712± B.32- 3=- 4= 9.如图,用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫,若小猫头部(图中涂色部分)的面积是2100cm ,则原正方形的边长为( ) A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 10.一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+,则a 的值为( ) A.1- B.1 C.2- D.2 二、计算题 11.计算:

(1) 12.求下列各数的立方根. 1.27- 2.0.008 3.12527 13.计算下列各式的值. 1.35(5)()7 -÷- - - 14.一个正数x 的平方根是35a -与3a -,求a 和x 的值. 15.已知21a -的算术平方根是3,34a b ++的立方根是2,求4a b +的平方根. 16.化简: 17.化简: 18.计算: 19.计算: 22- 三、填空题 20.已知m ,n 为两个连续的整数,且m n <<,则m n +=__________. 21.827 -的立方根为______. 22.小红做了棱长为5cm 的一个正方体盒子,小明说:“我做的盒子的体积比你的大3218cm . ”则小明的盒子的棱长为__________cm . 23.一个正数x 的平方根是23a -与5a -,则x =________. 1的整数部分是____________

二次根式加减法练习题

二次根式加减法练习题 This manuscript was revised on November 28, 2020

二次根式加减法及混合运算 同类二次根式的定义:几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的被开 方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式 合并同类二次根式的法则:只把系数相加减,根号部分不变 1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式,则a 的取值范围是______ 2._________. 3.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是( ) A B .18与 4.,则它的周长是 cm . 5.下列说法正确的是: (A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a (C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式 6.已知x ,y 为实数,且满足y y x ---+1)1(1=0,那么x 2011﹣y 2011= 7.计算:①125455 15 20+-- ② ③1827122+- ④3 2+3-22-33 ⑤50511221832++- )+) ⑧9654+

⑩54540290+- ⑴+18-8-32 ⑵)27131(12-- ⑶ 27–45–20+75 ⑷2 127–2318–(43–412), ⑸2a -3a 2b +54a -2b a 2b , ⑹200320022323)()(+?- ⑺ 2 1)+ ⑻(35-)(5+3)-(2+6)2 ⑼(x +2xy +y )÷(x +y ) ⑽(x 2-y 2)÷(x +y )

⑾()()22313 1+-- ⑿32(212-481+348) ⒀(ab ab ab b a ?-+)33 ⒁)52)(103(-+ ⒂)23()23(-?+ 8n 是同类二次根式,求m 、n 的值. 9.已知a =2,b =2a b b a -的值.10(写出过程)

二次根式的混合运算(讲义)

二次根式的混合运算(讲义) 一、知识点睛 1.分母有理化,通过适当的变形把分母化成有理数的过程;须注意保持分 子、分母同时乘以相同的因式. 2.实数混合运算顺序:先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减.如果有括 号,则先算括号里面的. 3.二次根式的化简:根据二次根式的双重非负性挖掘题目中的隐含条件,在 运算过程中注意符号的变化. 二、精讲精练 1.把下列各式分母有理化 (1 (2 (3 (4 2.混合运算 (1(2)? (3)(4)1)(2 (5)2 - 2)(6)22

(7)-(8)1) (10 (9 (11 (12)

(13)211) 2? (14)22 - 3. 已知a = ,b =的值. 4. 已知b <0,则二次根式 ) A .- B .- C . D .

5. 已知xy <0,则二次根式 A B C . D . 6. 化简二次根式____________________. 7. 已知实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示, 0c a b 三、回顾与思考 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

【参考答案】 1.(1)4 (2)3+ (3)1- (4) 2.(1) (2)6- (3)2- (4)1-+ (5)7+ (6)- (7)6 (8) (9) (10) (11)7- (12) (13)52- (14)4- 34.C 5.C 6. 7.a -

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