高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》全集汇编附答案

【最新】数学《矩阵与变换》复习资料

一、15

1．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当

01x

>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21

()1

x g x a

x +=

--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8

{|3

x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】【分析】

(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由

01x

>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.

【详解】

(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,

即270271x x x ->??-≥-?或270

721x x x -≤??

-≥-?

, 解得6x ≥或8

x ≤

, 故不等式的解集为8

{|3

x x ≤或6}x ≥; (2)由

01x

>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,

当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,

设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70

(1)50F F a =>??=+≥?

解得5a ≥-,

因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21

()1

x g x a

x +=

--2|1|(1)x a x =-++,

若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,

即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.

2．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα

απααα-=?≤≤?

+=?

【答案】见解析. 【解析】【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，

()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.

①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22

α≠且322π

α≠

时，即当4πα≠且34

πα≠时，

11sin cos x y D x D

D y D αα?

==???

?==-?+?

； ②当4πα=

时，方程组为22

x x =

=??

，则该方程组的解为1x y R =??∈?

；

③当34πα=

时，方程组为2

x x =-?

?-=

??，该方程组的解为1x y R =-??∈?

. 【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

3．用行列式解关于的二元一次方程组：1

2(1)x y x k y k +=??++=?.

【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11

k x y k k -=

=-- 【解析】【分析】

由题方程组中x ,

y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】

由题意可得:11

D 21

k =+= 1k -,11

D 11

X k

k ==+,11 D 22y k k

=-,

∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1

D 1X x k ==-,D 2 D 1

y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.

综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11

21x k k y k ?

=??-?-?=?-?

; 1k =时,方程组无解. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.

4．[选修4-2：矩阵与变换]

已知矩阵11a A b ??

=??-??的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α??=????．若x a A y b ????

=????????

，求x ，y 的值．

【答案】x ，y 的值分别为0，1．

【解析】

试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：

由条件知，2A αα=，即][1222111a b ????=????-????，即][2422a b +??=??-+??

，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ??

=??-??

．则][][][12221444x

x x y A y y x y +????===????--+????

，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．

5．已知命题P ：lim 0n n c →∞

=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5

236418x c x ?? ?- ? ???

中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4

??-∞ ??

上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.

【答案】112

c -<< 【解析】【分析】

先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代

数余子式写出2

()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最

后即可解决问题．【详解】

由已知命题:lim 0n

n P c →∞

=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。三阶行列式5

641

8x c

-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则2()4f x x cx =-+-，且函数()f x 在上单调递增．

∴函数()f x 在1(,]4-∞上单调递增，11

242

c c ?厖，

Q 命题Q 是假命题，1

c ∴<

． ∴命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，

实数c 的取值范围是112

c -<<．【点睛】

本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号

问题．

6．已知ABC ?的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ?的面积.

【答案】

312

【解析】【分析】

解法一：用行列式求解，面积公式为1

ABC x y S x y x y ?=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用1

ABC S BC d ?=??计算即可. 【详解】

解法一：行列式求解，

315013113

312

ABC x y S x y x y ?-==-=

；解法二：平面解析几何知识求解，直线BC 的方程为：

y x +-=-，即：5360x y +-=，点A 到直线BC

的距离34d =

=，

BC ==

所以1131

222

ABC S BC d ?=??==. 【点睛】

本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.

7．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22

3(1)21mx y x m y m +=??+-=+?

，当实数m 为何值时，并在

有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？（2）方程组无解？

（3）方程组有无穷多解？

【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m

m y m ?=??-?-?=?-?

；（2）3m =；（3）2m =-

【解析】【分析】

分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可；【详解】

一元二次方程组：22

3(1)21mx y x m y m +=??+-=+?

对应的

()()22

63231

m D m m m m m =

=--=-+-

()2222211x D m m m =

=-++-，()()2

232321

y m D m m m ==-++

（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m

D m y D m ?

==??-?-?==?-?，即

23233x m

m y m ?

=??-?

-?=?-?

；（2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；

（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】

本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题

8．用行列式解关于x 、y 的方程组3

(31)484

mx y m x my m -=??

+-=+?，并讨论说明解的情况.

【答案】当1m =时，无穷解；当14

m =-

时，无解；当1m ≠且1

4m ≠-时，有唯一解，

441x m =

+，83

41m y m +=-

+. 【解析】【分析】

先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况．【详解】解：

3(31)484mx y m x my m -=??+-=+?

Q 21

431(41)(1)431m

m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，

44431

48x D m m

m -==--+，

()()23

853*******

y m D m m m m m m =

=--+++=-，

①当1m ≠且1

m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，

即144(41)4(14)x D m x m D m m -=

==+++-，()()()()83183

41141

y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1

m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解．【点睛】

本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．

9．解方程：

23649x x

【答案】1x = 【解析】【分析】

根据行列式的运算性质，求得29346x

x x ?-?=，转化为322()3()12

?-?=，令

3()2x t =，得到方程1

231t t ?-?=，进而即可求解

【详解】

根据行列式的运算性质，可得

23293449x

=?-?，即29346x x x ?-?=，

方程两边同除6x ，可得322()3()12

?-?=，

令3()2

t =，且0t >，则21()3

t =，可得1231t t

?-?=，解3

t =

或1t =-（舍去），

即33

()2

，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】

本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.

10．关于x 的不等式

201

x a x

+<的解集为()1,b -．

()1求实数a ，b 的值；

()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．

【答案】（1）1a =-，2b =（2）12

- 【解析】【分析】

(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;

(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．【详解】

解：(1)不等式

x a

+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，

解得1a =-,2b =． (2)由(1)知

1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为

纯虚数，

20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,

解得1

tan α=-.

【点睛】

本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

11．已知向量10211

2A ??-??

=????-????

u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.

【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12?? ?-??，11??

???

【解析】【分析】

先求得1

A -u r ，以及其特征多项式()f λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定

义求解即可. 【详解】

设1A -u r a b c d ??= ???

，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?

02 10? 1?1? 2a b c d ??- ?????= ? ? ? ?????- ?

?，解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，故得1

-u r 1? 12?

0--??= ?-??.

则其特征多项式()()1? 1?

122? f λλλλλ

=+-，

令()0f

λ=，可得特征值为121,2λλ==-.

设11λ=对应的一个特征向量为x y α??

= ???

，

则由1

1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1

A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12?? ?-??；

同理可得矩阵1

A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11?? ???

【点睛】

本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.

12．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=??

+-=??--=?

的解的情况，并求出相应

的解.

【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ?

?=?

=?+?

?=-?+?

；

（ii ）当1a =-时，无解；

(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ?

=+??

=??=???

【解析】【分析】

首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】

方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --????????????

-=????????????--??????

2 1 1

1 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,

21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1

1 1 1

x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q

（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ?

?=?

=?+?

?=-?+?

；

（ii ）当1a =-时，无解；

(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ?=+??

=??=???

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

13．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -??

=????

对应的变换作用下得

到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标．【答案】()1,4- 【解析】

试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -??=????

确定：A B ''u u u u r

因为

，所以1

{

x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，

依题意，由10110122--??????

=????

????????

，得()1,2A ' 则

．

记旋转矩阵0110N -??

=??

，则01211022x y --??????=?

?????-??????，即2122x y --????

=????-????

，解得1{4x y =-=，所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵

14．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转

的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ??=??

求曲线22

1x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.

【答案】22

221x xy y -+= 【解析】【分析】

旋转变换矩阵10110M -??=?

???，求出211110M M M -??==????，设x y ??

是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ??

????，得到00

x y y y x =??=-?，即得解.

【详解】

旋转变换矩阵10110M -??

=????

记21110111011010M M M --??????===????????????

设x y ??????

是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00

x y

?????

，

面积00x x M y y ????

???????，也就是000x x y y x =-??=?

，即00x y y y x =??=-?，代入22001x y +=，得22

()1y y x +-=，

所以所求曲线的方程是2

221x xy y -+= 【点睛】

本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝01a k ?????? (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ??

??-??

， A 的逆矩阵A

－1

对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．

【答案】解：设特征向量为α＝1k ????-??对应的特征值为λ，则01a k ?????? 1k ????-??＝λ1k ??

??-??，即

1ak k k

λλ-=??

因为k≠0，所以a ＝2． 5分

因为13111A -????

=????????

，所以A 11??????＝31??????，即201k ????

??11??????＝31??

????

，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k

考点：特征向量, 逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．

16．已知矩阵14a b A ??

=??

??若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ??=??-??

u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ??

=????u u r 求矩阵A .

【答案】2314??

???? 【解析】【分析】

根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ??

=??-??

u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一

个特征向量为211a ??

=????

u u r ，故5a b +=，解得答案.

【详解】

矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ??=??-??u u r ，1114a b a a ??=???

?u r u r

，故33-=a b ；属于特征值5的一个特征向量为211a ??=????u u r ，21514a b a a ??=????u u r u r

，故5a b +=，解得23a b =??=?，故2314A ??=????. 【点睛】

本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.

17．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ??

=????

对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】【分析】

根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】

设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点?()

,P x y '

，

则0112x x y y '??????

=??????'??????，化简，得2x x y y x =-+??='''?

，代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】

本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.

18．设变换T 是按逆时针旋转

的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；

（2）求曲线2

:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.

【答案】（1）()1,1-；（2）2

y x =-.

【解析】【分析】

（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；

（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】

（1）由题意变换T 是按逆时针旋转

的旋转变换，对应的变换矩阵是M ，可知cos sin

012

210sin cos 2

2M ππππ??

- ?-??

? ? ??? ???

， 1011111011M --????????=?= ? ? ? ?????????

，

所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.

（2）设x y ??

???

是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ??

???

，则00x x M y y ?????=

? ???

??，即000110x x y y -??????

?= ? ? ???????，所以00y x x y -=??=?，即00

x y

y x =??=-?，

因为00x y ?? ???

在曲线2

:C y x =上，将00x y y x =??=-?代入可得2x y -=，

即2

y x =-，

所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2

y x =-. 【点睛】

本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.

19．已知矩阵4321M -??

=??-??

，向量75α??=????u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求3M α.

【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11??????和32??

????

，（2）

34933M α??=????

r .

【解析】【分析】

（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α??????==+ ???????????

r g ，即可求3M αr

．

【详解】

（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--，令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，

设11λ=对应的一个特征向量为x y α??

=????

，

则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11??????

，同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32

????．

（2）7132512α??????

==+ ???????????

r g

所以33

1349221233M α??????=+??=????????????

r ．

【点睛】

本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

20．设,,a b c 分别是ABC ?的三边，行列式b a c

c b a a c b .

（1）求字母b 的代数余子式的展开式；

（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ?+-=与sin 0C x by c ?+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】【分析】

（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()

()

111b a b c b a c b

a b

c b

-+-+-即可求解；

（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】

（1）,,a b c 分别是ABC ?的三边，行列式b a c

c b a a c b ，

所以字母b 的代数余子式的展开式为：

()

111b a b c b a c b

a b

c b

-+-+-

222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-

（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b

=，由正弦定理：sin sin c C b B

= 所以

sin sin c C b c b B a b

-===- 所以直线sin 0B x ay b ?+-=与sin 0C x by c ?+-=的位置关系是重合. 【点睛】

此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学大题经典习题(2020年九月整理).doc

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12，【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是